Exemples de calculs d’aires à l’aide de fonctions en escalier. Remarque : Pour faciliter la compréhension, on n’utilisera pas deux suites de fonctions en escalier adjacentes mais simplement une suite convergente.

1. Aire d’un triangle ! Commençons le plus simplement par une aire d’un triangle rectangle isocèle ! Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x) = x . On s ’intéresse à l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe de f et les axes d’équations x = 0 et x = 1. On définit la suite de fonctions en escaliers (fn ) pour n supérieur ou égal à 2 en posant : Pour tout x  avec k entier naturel compris entre 1 et n.

Cf4 Cf3 Cf2 Voilà à quoi ressemble cette suite de fonctions en escaliers (fn ). Cf4 Cf2 Cf3 x 

Calculons maintenant On doit faire la somme des cinq rectangles sous la courbe de f5 ; ces cinq rectangles ayant tous la même largeur égale à 1/5. Aire de ce rectangle : On obtient donc comme résultat :

Et ainsi de manière plus générale : En utilisant la somme d’une suite arithmétique, on obtient : Or la suite converge vers .

Ainsi, pour ceux qui ne le savais pas encore : l’aire du triangle considéré vaut ou encore : n = 20 n = 40

2. Aire sous une parabole. Considérons maintenant la parabole d’équation y = x2 . Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x) = x2 . On s ’intéresse à l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe de f et les axes d’équations x = 0 et x = 1. De la même manière que pour l’exemple 1. , on définit la suite de fonctions en escaliers (fn ) pour n supérieur ou égal à 2 en posant : Pour tout x  avec k entier naturel compris entre 1 et n.

Calculons On doit faire la somme des quatre rectangles sous la courbe de f4 ; ces quatre rectangles ayant tous la même largeur égale à 1/4. Aire de ce rectangle : On obtient donc :

Pour n = 20, l’approximation donnée en utilisant fn est de 0,35875.

En utilisant une formule qui donne En généralisant : En utilisant une formule qui donne la somme des n premiers entiers au carré (formule qui se démontre facilement par récurrence !!!) On obtient : Et on a :

Ainsi, l’aire sous cette parabole est de : en unité d’aire. et on a :