Calcul Intégral Au XVIIIème siècle, les mathématiciens progressent dans deux domaines séparés : les problèmes des tangentes (et la longueur des arcs) et ceux des quadratures (ou calculs d’aires). On doit cependant à l’Anglais Newton et à l’Allemand Leibniz d’avoir, par des approches complémentaires, clairement établi que ces deux domaines étaient liés : c’est la naissance du calcul infinitésimal : calcul différentiel et intégral.

1§ Notion d ’intégrale sur un intervalle 1. Intégrale d ’une fonction en escalier. La fonction f présentée ci-contre est dite en escalier. Elle est constante par morceaux. L ’intégrale de f sur [a ; b] est la somme algébrique des aires des rectangles colorés. c1 + c3 + On compte positivement les aires au-dessus de l’axe des abscisses et négativement celles en dessous de cet axe. a x1 - x2 b c2 L’intégrale de f sur [a ; b] est notée : Attention : c2 < 0 ! On a ici :

2. Intégrale d ’une fonction continue. On admet que, si f est une fonction continue sur [a ; b], il existe deux suites de fonctions en escalier (gn ) et (hn ) telles que : Exemple : Voici présentée la courbe d’une fonction f continue , positive et décroissante sur [-1 ; 4]

Ch2 Cg2 Les deux figures illustrent une façon « simple » de choisir des suites de fonctions en escalier qui vérifient la première condition. Pour chaque valeur de n > 0 , on a choisi de subdivisé l’intervalle [- 1 ; 4] en 2n intervalles de longueur égale. Cg2 On peut alors représenter et calculer : en vert en bleu

Ch3 Cg3 Pour créer g3 et h3 , on a donc choisi de prendre deux fois plus d’intervalles Et on poursuit la démarche en augmentant le nombre d’intervalles et donc en diminuant la longueur de ces intervalles. Cg3 On peut démontrer, avec ce procédé, que les deux suites d’intégrales ainsi crées sont adjacentes et donc convergent vers une même limite l qui est donc par définition :

L’exemple précédent est assez simple (!) car la fonction est positive et décroissante sur [- 1 ; 4]. Mais la démarche peut être utilisée pour toutes fonctions continues sur [a ; b] . Remarque : les intervalles de la subdivision ne doivent pas obligatoirement être de longueur égale et on ne doit pas avoir forcément 2n intervalles. Il y a donc beaucoup de choix différents pour créer ces suites de fonctions en escalier mais on admet que toutes donneraient la même limite l .

3. Intégrale et aire. Lorsque f est continue et positive sur [a ; b] , le nombre représente l’aire « sous la courbe » de f sur [a ; b] . Cette aire est exprimée en unité d’aire (u.a.) en u.a. 1 u.a.

2§ Premières Propriétés. 1. Extension de la définition. Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tout a et b de I , tel que a  b on peut prolonger assez naturellement la définition donnée pour l’intégrale de f en posant : Si a > b : Attention, si f est positive sur I , cette intégrale ne représente plus une aire sous la courbe. Si a = b : !

2. Relation de Chasles. Cf Cf Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tout a , b et c de I : a b c Cf Cf a c On illustre ce théorème assez facilement en prenant une fonction positive sur I et a < b < c. Ce théorème devient alors une somme d’aires sous la courbe de f. Mais ce théorème reste valable dans tous les autres cas, la seule condition étant la continuité de f.

3. Linéarité de l’intégration. Soit f et g deux fonction continues sur un intervalle I . Soit  et  deux réels. Pour tout a et b de I :

3§ Encadrement - Valeur moyenne. Soit f et g deux fonction continues sur un intervalle I . Pour tout a et b de I tels que a  b :  Si f  0 sur [a ; b] , alors :  Si f  g sur [a ; b] , alors : « Preuves » :  Si f est positive sur [a ; b] , l’intégrale de f sur [a ; b] représente l’aire sous la courbe de f. Or une aire est toujours positive. D’où la première assertion.  Si f  g sur [a ; b] , alors f - g  0 sur [a ; b] , en utilisant la propriété précédente ainsi que la linéarité de l ’intégration, on obtient : D’où la seconde propriété.

La seconde propriété peut aussi s’interpréter en termes d’aires : Si f et g continues et positives sur [a ; b] et si f  g sur [a ; b] , alors l’aire sous la courbe de f est supérieure à l’aire sous la courbe de g. Cf Cg

Inégalité de la moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; m et M deux réels. Pour tout a et b de I tels que a  b : Si m  f  M sur [a ; b] , alors : Cf m M L’ inégalité de la moyenne est une conséquence de la seconde propriété. On peut interpréter cet encadrement en termes d’aires (si m  0 sur [a ; b] )

Théorème Valeur moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels distincts de I. Il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que : Ce théorème est une application du théorème des valeurs intermédiaires. Valeur moyenne Le nombre  défini par : est appelé valeur moyenne de f entre a et b.

 Là encore, on interprète la valeur moyenne en termes d ’aires : Si f continue et positive sur [a ; b] , la valeur moyenne  est la hauteur d’un rectangle dont l’aire est égale à celle sous la courbe de f . 