Chapitre 3bis Applications linéaires et Matrices ALGEBRE LINEAIRE Chapitre 3bis Applications linéaires et Matrices

A.L. et Base Dans le terme général , i correspond à un vecteur de la base de F et j à un vecteur de la base de E.

Matrice d’une A.L. Matrice de l’application linéaire E  F relativement aux bases BE et BF

Exemple

Opérations

Théorème Une application linéaire f est bijective si et seulement si sa matrice associée relativement à deux bases quelconques est inversible.  On rappelle qu’une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est NON nul.

Un éleveur de bovins dispose en hiver de trois aliments (foin, ensilé, farine) qui contiennent chacun trois éléments nutritifs indispensables (A, B, C) selon le tableau suivant (unités arbitraires) :     Foin   Ensilé   Farine A 1 B C Sachant que chaque animal doit quotidiennement disposer de 6 unités de A, 3 unités de B et 5 unités de C, on peut alors chercher les doses x de foins, y d'ensilé et z de farine que doit lui fournir l'éleveur. Pour cela, il faut résoudre le système suivant :

Recherche des solutions (S) admet une solution unique si et seulement si A est inversible c’est-à-dire det(A)  0 : Sinon (S) admet soit 0 solution, soit une infinité de solutions.

Résolution pratique Par combinaison de lignes et de colonnes Par inversion de matrice : voir cours Par la méthode de Cramer

La méthode de Cramer On appelle système de Cramer un système de n équations à n inconnues dont la matrice est inversible (une solution unique), c’est-à-dire telle que : D est appelé déterminant du système. Di est le déterminant issu de D en remplaçant la i-ième colonne par B.

Exemple

Changement de base La matrice d’une application linéaire f est toujours construite relativement à un choix de bases dans E et dans F. Comment relier deux matrices qui représentent la même application linéaire lorsque l’on change de bases pour E et F ? P est une matrice carrée d’ordre égal à la dimension de E. Elle est toujours inversible.

Si f est un endomorphisme de E, f : E  E, alors : On dit que les matrices et sont semblables.

Exemple