Induction électromagnétique

Force électromotrice d’induction Courant continu produit champ magnétique Mais champ magnétique constant ne produit pas de courant Aucune force sur charge au repos Force normale à la vitesse d’une charge en mouvement Champ magnétique variable produit un courant Exemple: - variation courant dans primaire  courant dans le secondaire (lignes de champ concentrées dans noyau de fer) - mouvement d’un aimant dans un solénoïde  force électromotrice · signe dépend sens déplacement · s’annule pour v = 0 Force électromotrice induite (E )

Loi d’induction de Faraday F.é.m induite µ aire S de la spire ^ au champ Spire inclinée: S^=S cosq (q=90°  f.é.m. = 0) DB/Dt ¹ 0  f.é.m. µ S^DB/Dt DS^/Dt ¹ 0  f.é.m. µ BDS^/Dt Définition : flux du champ magnétique FM = B^S=BS^=BS cosq Ou: Unité: 1 Weber (Wb) = 1 T.m2 F.é.m. moyenne: ; instantanée : Loi d’induction de Faraday Bobine (N spires):

Exemple: rupture de champ Bobine (200 spires) plate et circulaire (S=100 cm2); champ magnétique uniforme et ^ (B=0,50 T) coupé en 200 ms. Force électromotrice moyenne ? Courant ? (Rbobine= 25 W) Flux magnétique: FM = BS^= BS = (0,50 T)(0,01 m2) FM = 0,0050 Wb Coupure  DFM = -0,0050 Wb Loi de Faraday: Em = 5 V

Loi de Lenz La f.é.m. induite produit un courant qui s’oppose à la cause qui l’a produite Aimant entre dans bobine : FM (B dirigé vers la droite) Z BI®gauche et courant entre par la gauche ® Aimant sort de la bobine : FM (B dirigé vers la droite) ] BI®droite et courant entre par la droite ® Interprétation: conservation de l’énergie Déplacement aimant  travail (Wac)  énergie électrique Courant induit  travail (Wca) = au travail fourni: Wac=-Wca

Exemple: écrasement d’une bobine Bobine (200 spires) plate et circulaire (S=25 dm2; R = 5 W); écrasée en 100 ms B (0,40 T) uniforme et ^ F.é.m moyenne ? Courant (module et sens) ? Flux magnétique: FM = BS^= BS = (0,40 T)(0,25 m2) FM = 0,100 Wb Écrasement  DFM = -0,100 Wb Loi de Faraday: Em = 200 V Champ produit renforce B (s’oppose à la diminution de FM)  I dans sens aiguilles d’une montre

F.é.m. due au mouvement Déplacement conducteur (longueur l, vitesse v) ^ champ B Porteurs de charges subissent FM vers le haut Électrons poussés vers le bas  « pile » (borne positive en haut) Charges en mouvement (vitesse vm)  subissent force transversale: Opposée au mouvement du fil Circuit ouvert: travail fourni transformé en énergie potentielle électrique: EPE = qvBl F.é.m. induite: Seule v^ compte  E = lvBsinq Charges séparées  champ électrique E (f.é.m. El): E = vB

Exemple: le fil qui tombe Fil horizontal (direction est-ouest) de 1 m de long est lâché. Champ magnétique terrestre de 2,0´10-5 T dirigé vers le nord. F.é.m. induite après 4 s de chute ? Vitesse : v = v0 + gt = 0,0 + (9,8 m/s2)(4,0 s) = 39,2 m/s B ^ fil F.é.m. induite: E = vBl = (39,2 m/s)(2,0´10-5 T)(1,0 m)  E = 78,4´10-5 V = 0,78 mV

Retour à la loi de Faraday Simple fil  pas de circuit Mouvement du fil º mouvement du champ (seul le mouvement relatif compte) Surface balayée par le fil par intervalle Dt: vlDt Nombre de lignes de champ balayées: BvlDt  par unité de temps: BDS/Dt = Bvl = E Si circuit fermé: fil circulant sur 2 rails Loi de Faraday: On retrouve la loi précédente ! Point commun ?

Champs magnétiques et électriques induits Charge en mouvement  champ électrique variable Un champ électrique variable produit un champ magnétique Solénoïde de rayon R Bobine d’essai: rayon r, coaxiale Courant primaire Z , FM Z dans bobine  EI induit Autre interprétation: courant Z  nouvelles lignes de champ Charges positives soumises à une force tangentielle qv´B  courant (loi de Lenz: sens aiguilles d’une montre) ® ® En tout point de l’espace: champ magnétique variable s’accompagne toujours d’un champ électrique induit

Caractéristiques champ électrique induit EI non produit par des charges  lignes de champ en boucle Boucle fermée: tout point est identique (pas de générateur  pas de différence de potentiel) Pas d’énergie potentielle  EI n’est pas conservatif Loi de Faraday en fonction de EI: Travail sur une charge en mouvement: EI: pas de différence de potentiel  interprétation en terme de f.é.m. induite le long du chemin:  Loi d’induction de Faraday:

Transformation énergie mécanique en énergie électrique Générateurs Disque en rotation dans champ magnétique Charges du disque subissent force radiale : q v´B Charges négatives ® centre Charges positives ® périphérie Différence de potentiel Courant dans la résistance ® Générateur de courant continu La dynamo Transformation énergie mécanique en énergie électrique

Générateur de courant alternatif Bobine de plusieurs spires en rotation dans champ constant aimant permanent Bagues collectent courant induit Côtés 12 et 34: vitesses opposées f.é.m. 12 : E = v^Bl=Blvsinq (v´B de 2 vers 1) Même E en 34 (de 4 vers 3) Dans la spire: E = 2Blvsinq N spires : E = 2NBlvsinq Vitesse angulaire w  q = wt, v=rw, r=h/2 Aire de la spire S = lh  lv = ½ hwl = ½ Sw ® E = NSBw sin wt Courant alternatif de fréquence: f = w/2p

Générateur de courant continu Courant continu plus difficile à produire Utilisation de 2 demi bagues  suppression inversion de polarité Redressement mais f.é.m. s’annule 2 fois par tour et est en moyenne assez faible Deux bobines ^ et bague à 4 segments Déphasage à 90° entre les f.é.m. induites (décalage dans le temps p/2w) Balai toujours en contact avec la bobine ayant la plus grande f.é.m. Trois bobines à 60°  3 f.é.m. avec décalage temporel p/3w NB. Moteur à courant continu º dynamo inversée

Exemple: un générateur simple Générateur formé d’une seule bobine 10 spires (S=12,0 dm2) Rotation à fréquence constante (50 Hz) dans champ magnétique de 0,60 T Valeur maximum de la f.é.m. induite ? E = NSBw sin wt Em º amplitude (sin wt = 1)  Em = NSBw w = 2pf = 2p(50 Hz) = 314,16 rad/s Em = 10(0,12 m2)(0,60 T)(314,16 rad/s) Em = 226 V

Courants de Foucault Disque tournant de Faraday: Champ non uniforme traverse le disque F.é.m. induite  boucles de courant Boucles de courant génèrent leur propre champ Ce champ s’oppose à la cause de l’induction (Lenz) Forces générées s’opposent à la rotation du disque  Courants de Foucault Présents: - dans armature en fer des générateurs - dans objets métalliques se déplaçant dans le champ magnétique terrestre - lors de l’ouverture et la fermeture de circuits électriques

Auto-induction F.é.m. auto-induite Courant qui s’établit dans une bobine crée un champ magnétique variable Les lignes de champ interceptent d’autres segments de la bobine La variation de flux crée une f.é.m. induite opposée F.é.m. auto-induite Conséquences: - courant ne s’établit pas instantanément - courant ne se coupe pas instantanément Auto-induction retarde augmentation et diminution du courant dans une bobine (ou tout autre circuit)

Inductance Auto-inductance d’une bobine (N spires): Flux total (NFM) µ intensité courant: NFM = L I L: auto-inductance (self-inductance, inductance propre, inductance) de la bobine équivalente à l’inertie en mécanique Unité: le Henry (H); inductance d’une bobine qui produit un flux de 1 W pour un courant de 1 A. NB. L devient une fonction de I si perméabilité du milieu varie avec B (par ex. présence d’un corps ferromagnétique) Approximation: B uniforme dans un solénoïde long et creux (N spires sur longueur l; n = N/l; section S) : Bz » µ0nI Pour milieu d’autre perméabilité µ0 « µ et calcul pour un I donné

Exemple: antenne d’un poste de radio Solénoïde de 3,0 cm de long, de section 0,50 cm2 300 spires de fil de cuivre Onde électromagnétique radio génère une f.é.m. traitée par le circuit radio Auto-inductance du solénoïde vide ? Auto-inductance approchée si solénoïde enroulé autour cylindre ferrite (µ/µ0 » 400) ? ; L » 1,9´10-4 H » 0,19 mH Ferrite: µ = 400 µ0  L » 400´(0,19 mH) = 75 mH

La force électromotrice auto-induite Loi d’induction de Faraday appliquée à l’auto-inductance F.é.m. moyenne: Si auto-inductance L constante: D(LI) = LDI F.é.m. induite instantanée proportionnelle au taux de variation du courant dans bobine (sens positif est celui de I) 1 H ® f.é.m. auto-induite de 1V pour variation courant de 1A/s Relation entre unités: 1 V = 1 H.A/s; 1 H = 1 V.s/A ou 1 H = 1 W.s Si bobine de résistance négligeable: f.é.m. auto-induite = tension entre ses bornes

Inducteur ou self Courant entrant dans bobine par A Si intensité Z  FM dans bobine Z Courant II circule dans bobine de B vers A Opposé au courant initial (qui ]) EL = -LdI/dt < 0 et chute de potentiel Si intensité ] ,EL > 0 et potentiel Z Inducteur: élément pour introduire auto-induction dans circuit S’oppose à un courant alternatif Laisse passer un courant continu « Résistance » au courant alternatif Z avec sa fréquence Dispositif de filtrage Bobine enroulée autour d’un cylindre (vide ou ferromagnétique)

Exemple: f.é.m. aux bornes d’une bobine Courant dans une bobine de 50 µH et de résistance négligeable augmente de 0 à 2,0 A en 0,10 s. F.é.m. moyenne entre les bornes de la bobine ? (EL)m = -1,0 mV S’oppose à l’augmentation du courant (cf polarité reprise sur la figure)

Circuits RL, régimes transitoires Pile en série avec résistance et inducteur (de résistance négligeable) Loi des mailles de Kirchhof: V, R, L constante; I varie  plateau car RI Z (dI/dt ® 0 pour t ® ¥) t=L/R: constante de temps

Circuits RL, évolution temporelle Instant t=0 (I = 0):  et pente initiale: Instant t = t (constante de temps L/R): I = 0,632 V/R (NB. V/R º valeur maximum) Instant t = 5t  I = 0,99 V/R R grande  chute de potentiel dans résistance: petite auto-induction, établissement courant rapide L grande  grande auto-induction, établissement courant lent Potentiel pile coupé  LdI/dt+RI = 0 dI/I=-R/L dt Intégrale [V/R,I] dI/I = -R/L Intégrale [0,t]dt I(t) = V/R exp(-Rt/L) Coupure de courant:  diagramme inverse

Exemples: Constante de temps circuit RL Circuit RL: R = 100 W; L = 10H  R = 100 W; L = 1,0 H  Lampe et inducteur en parallèle Circuit fermé: Rinducteur = Rlampe lampe luit faiblement Ouverture du circuit: f.é.m. d’auto-induction  Lampe luit plus intensément puis s’éteint progressivement en fonction de la constante de temps L/R du circuit Bobine emmagasine énergie magnétique du circuit (énergie restituée à l’ouverture)

Travail instantané du champ magnétique Rappel: énergie électrique d’un condensateur (Surface plaques: S; distance: e) Énergie uniformément distribuée dans volume (Sd)  Densité d’énergie (par unité de volume): De même pile branchée aux bornes d’un inducteur (courant instantané I) Puissance pour surmonter f.é.m. d’auto-induction (EL=-LDI/Dt): P = -ELI Travail par intervalle Dt: Passage à la limite (Dt ® 0): dW = LIdI

Énergie du champ magnétique Travail nécessaire pour augmenter le courant de I=0 à I=If (I considéré comme courant final If) (L constante)  Solénoïde (longueur l; section S; N spires)  L = NBS/I et champ interne B » µ0NI/l Densité d’énergie magnétique par unité de volume (Sl):

Notion de champ Il est possible d’emmagasiner de l’énergie électro-magnétique dans des champs électriques et magnétiques dans le vide et dans la matière. Le champ apparaît du point de vue macroscopique comme un continuum capable d’emmagasiner, de transférer et de transporter de l’énergie. Du point de vue microscopique (quantification des champs et énergie de rayonnement) cette image n’est plus d’application.