Les régimes variables et les équations de Maxwell ELECTROMAGNETISME II Les régimes variables et les équations de Maxwell

Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Champ scalaire, champ de vecteur Opérateurs différentiels et équations locales Champ et symétrie (recherche des plans de symétrie et d’antisymétrie, vecteur ou vecteur polaire et pseudo-vecteur ou vecteur axial ) Champ uniforme Champ stationnaire, permanent, constant Fonction de plusieurs variables et différentielle de cette fonction

dOM = k a ; dx/ax = dy/ay = dz/az; Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Champ de vecteurs a Lignes de champ dOM x a = 0; dOM = k a ; dx/ax = dy/ay = dz/az; Circulation CM1M2 = G(M1,M2) a.dOM ; l’intégrale est calculée le long de la courbe d’un point M1 à un point M2 Élément de surface orienté et flux surface s’appuyant sur un contour orienté et « règle du tire bouchon de Maxwell » surface fermée et « de l’intérieur vers l’extérieur » =  S a.dS dans le cas d’une surface fermée on parle de flux sortant

Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez) Le gradient : champ de vecteur attaché à un champ scalaire f grad f(x,y,z) = ( f/dx )ex +( f/dy)ey +( f/dz)ez df = grad f . dOM : la circulation élémentaire de grad f est égale à la différentielle de la fonction f le vecteur grad f est normal aux surfaces f = Cte et dirigé vers les valeurs croissantes de f

Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez) La divergence : champ scalaire attaché à un champ de vecteur a div a =  ax/  x +  ay/  y +  az/  z Définition intrinsèque de la divergence de a : Soit  F le flux sortant de l’élement de volume  t Alors div a = lim dt0 ( F/  t ) Interprétation de la divergence on prend un champ a = aOM lignes de champ divergent ou convergent à partir du point O suivant le signe de alpha

rot a = ( az/dy- ay/dz)ex+ ( ax/dz- az/dx)ey+( ay/dx- ax/dy)ez Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez) Le rotationnel : champ de vecteur attaché à un champ de vecteur a rot a = ( az/dy- ay/dz)ex+ ( ax/dz- az/dx)ey+( ay/dx- ax/dy)ez On peut exprimer rot a à l’aide du déterminant d’une matrice Définition intrinsèque du rotationnel : (rot a).n = lim  S 0  C/  S Un contour fermé G, un sens de circulation positif, une surface S, un vecteur normal n et une circulation C Interprétation physique du rotationnel il évoque la rotation ……………………

Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez) Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel DV = 2 V/dx2 + 2 V/dy2 + 2 V/dz2; Da = (Dax) ex + (Day) ey + (Daz) ez ; L’équation DV = 0 porte le nom d’équation de Laplace

Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Définition des opérateurs différentiels. Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez) Tous ces opérateurs sont linéaires. a une constante Op(aa) = aOp(a) ; Op(a1+a2) = Op(a1)+Op(a2) Op(af) = aOp(f): Op(f1+f2) = Op(f1) +Op(f2)

Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Combinaison deux à deux des opérateurs différentiels du premier Ordre div(grad f) = Df div(rot a) = 0 rot (grad f) = 0 rot(rot a) =grad(div a) – Da Le vecteur Nabla  en coordonnées cartésiennes :  = ex  /dx + ey  /dy + ez  /dz;

 S fermée a.dS =   V(S) diva dt Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Théorème de Green-Ostrogradsky  S fermée a.dS =   V(S) diva dt Pour démontrer ce théorème il faut utiliser la définition intrinsèque de div a et découper le volume V en petits parallélépipèdes et prendre en compte que pour deux éléments de volume ayant une face commune l’aspect flux sortant ……….. À connaitre, très utile, pour une démonstration math rigoureuse voir cours d’analyse…….

. G fermée a.dl =  S(G) rot a . dS Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1) L’outil mathématique Les champs et les opérateurs différentiels Théorème de Stokes-Ampère . G fermée a.dl =  S(G) rot a . dS circulation de a sur le contour fermé G sur lequel s’appuye la surface ouverte S; Le sens de dS est fixé par le sens positif de circulation sur G Ce théorème est admis et à connaitre La démonstration ….. Utilise définition intrinsèque de rot a

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 1. Champ électrique E pour une distribution de charges caractérisée par la densité volumique r(P) rot E = 0 . (1) div E = r /e0 . (2) Le champ E tend vers 0 lorsqu’on s’éloigne à l’infini de la distribution de charges. Cette condition et les équations 1 et 2 suffisent pour déterminer parfaitement le champ E. Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky permettent d’écrire les relations intégrales correspondantes rot E = 0  C fermée E.dl = 0 div E = r /e0   S fermée E.dS = 1 /e0   V(S)rdt Cette dernière relation exprime le théorème de Gauss

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 2. Potentiel électrique et équation de Poisson V : E = - grad V . (3) div grad V + r /e0 = 0 Equation de Poisson : D V + r /e0 = 0. (4) Cette équation définit de façon unique une fonction V lorsque les conditions aux limites et r sont données Les équations (3) et (4) sont équivalentes aux équations (1) et (2) pour le calcul de E

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques On déduit de ces équations le champ et le potentiel d’une charge ponctuelle : E(M) = (1/ 4p e0 )q(P) PM / PM3. V(M) = (1/ 4p e0)q(P) / PM +Cte Pour une distribution de charges r(P) on obtient : E(M) = (1/ 4p e0 )    (r(P) PM / PM3)dt. V(M) = (1/ 4p e0)    (r(P) / PM) dt L’expression de V correspond à V = 0 à l’infini. Ce choix peut ne pas convenir si la distribution comporte des charges à l’infini

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 3. Loi de Coulomb F = qE 4. Les équations locales + loi de Coulomb  Formulation des lois de l’électrostatique.

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 5. Continuité de V et discontinuité de E en présence d’une distribution superficielle de charges ( s = dq/dS) E2 – E1 = (s/ e0) n12 La composante tangentielle de E est continue à la traversée d’une surface chargée La composante normale de E subit une discontinuité égale à s/ e0 à la traversée d’une surface chargée 6. Le potentiel n’admet pas d’extremum en dehors des charges 7. Energie électrostatique d’une distribution de charge Ue =   D r(P)V(P)dt = e0 /2  espace E2 dt .

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 1. Champ magnétique B pour une distribution volumique statique de courants j(P) div B = 0. (5) rot B = m0j. (6) B tend vers 0 lorsqu’on s’éloigne à l’infini d’une distribution de courant. Le théorème d’Helmholtz montre que les équations 5 et 6, avec la condition à l’infini, suffisent à déterminer parfaitement le champ B Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky permettent d’écrire les relations intégrales : rot B = m0j  C fermée B.dl = m0  S(C) jdS div B = 0  S fermée B.dS = 0 La première relation traduit l’inexistence de charges magnétiques, la seconde le théorème d’Ampère

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 2. Potentiel vecteur du champ magnétique A : B = rot A (7) Si A est solution A + grad f est aussi solution pour tout champ scalaire f Équation locale A, j : DA + m0j = 0 avec div A = 0. (8) Avec DA = grad div A - rot rot A . div A = 0 est obtenu en utilisant le fait que A n’est défini qu’à un gradient près. Pour le calcul de B les équation 5 et 6 sont équivalentes aux équations 7 et 8

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques On déduit de 5,6 et 7,8 les expressions du potentiel et du champ pour une distribution volumique de courant : A(M) = m0 /4p   j (P) /PM dt B(M) = m0 /4p  ( j (P) x PM) / PM3 dt On sait que pour un circuit filiforme il suffit de remplacer jdt par Idl on reconnaît alors la formule de Biot et Savart B(M) = m0 /4p  ( Idl(P) x PM) / PM3

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 3. Discontinuité du champ B dans le cas d’une distribution superficielle de courants B2 – B1 = m0 ( jS x n12) . La composante tangentielle de B subit une discontinuité à la traversée d’une nappe de courant

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 4. Action d’un champ magnétique Force de Lorentz F = q(E + v x B) Action mécanique exercées par B sur une boucle de courant df(P) = Idl(P) x B (P) dG0 = OP x df , ….. Soit M = IS le moment magnétique du circuit….. Alors à l’échelle de la boucle de courant l’action mécanique se traduit essentiellement par un couple qui tend à orienter M selon B : G = M x B et si on tient compte de l’inhomogénéité de B la résultante de la force de Laplace : R = ( M.grad ) B

L2 : RAPPELS (2) Les équations locales des régimes statiques 5. Dipôle électrique Soit p( O) (= q NP) alors V(M) et E(M) V(M) = (1/ 4p e0 ) ( p.OM )/OM3 . E(M) = (1/ 4p e0 ){3(p.OM)OM/OM5 – p/OM3} 6. Dipôle magnétique Soit M (O) (= IS ) alors B(M) et A(M) A(M) = (m0 /4p) (M x OM) / OM3 B(M) = (m0 /4p) {3OM(M .OM)/OM5 – M / OM3}