MODULE - METHODES POTENTIELLES - 2014 Contenu du cours (par M. Munschy, S. Fleury & P. Sailhac) : I. M. Munschy Notions de Bases des méthodes potentielles (gravimétrique et magnétique) I.a Propriétés physiques des roches : densités, aimantations induites et aimantations rémanentes. I.b. Champs de potentiel (gravimétrique, magnétique, …) I.c. Etablissement de profils et cartes d'anomalies gravimétriques et magnétiques : les mesures, les corrections des données, ... I.d. Calculs de l’effet de structures simples : sphère, cylindre, filon, faille et prisme quelconque à deux dimensions. II. P. Sailhac Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies qui permettent d'affiner la localisation des structures et d'en délimiter les contours. II.a Prolongement et dérivations II.b Spectre de Fourier II.c Réduction au pôle et signaux analytiques II.d Couche équivalente

Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme 500m ~40° Structures en Profondeur (Objectif) ~2km Signature de Filons Signature d’une faille Profil aéromagnetique de l’anomalie du champ total Profil de l’anomalie Aéromagnetique (Données)

Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme 500m ~40° Structures en Profondeur (Objectif) ~2km Signature de Filons Signature d’une faille Profil aéromagnetique de l’anomalie du champ total Profil de l’anomalie Aéromagnetique (Données) Model 2D Géologie en Surface & Model 3D Anomalie du Champ Total Gradient Horizontal Horizontal Phase

Champ de Potentiel = solution de l’équation de Poisson : Principe de base : définition des champs de potentiel Champ de Potentiel = solution de l’équation de Poisson : En Gravimétrie : Potentiel gravimétrique (Newtonien) produit par densité massique r : Anomalie ponctuelle en 1/r Anomalie gravimétrique : dérivée verticale du potentiel Newtonien Anomalie ponctuelle en 1/r3 (à l’horizontale) ou 1/r2 (verticale) Autres champ de potentiel en exploration géophysique : Magnétique (relié au potentiel gravi par dérivation car les sources sont dipolaires) VLF (utilisant le champ magnétique secondaire) SP (dans le cas de l’approximation dans un milieu de conductivité constante)

Champ Gravimétrique à 2D : Principe de base : le prolongement, comme propriété essentielle des champs de potentiel Champ Gravimétrique à 2D : Masse locale en z=z0  Prolongement vers le haut z2=z0+h z0

Exemple d’utilité du prolongement vertical : Application à la caractérisation d’une marche et d’un pendage Source = Marche inclinée Une ligne d’iso-potentiel est droite Partie inférieure des iso-potentiel est droite Intersection = point singulier des sources (coin, et segment supérieur d’un bord) Ref.: Paul et al. 1966, Geophysics 31, 940

des altitudes différentes (par prolongement vertical) Combinaison de levés à des altitudes différentes (par prolongement vertical) (ref. Thomas Ridsdill-Smith - PhD)

Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Objectifs Principaux = Corriger les artéfacts liés à des altitudes irrégulières, à la topographie et au bruit des données Moyen = Utilisation d’un filtre passe-bas transformant les donnée d’une altitude vers une altitude plus élevée Masses en z=z0  Prolongement vers le haut z2=z0+h z0 Equation de Poisson : Solution où : Fonction de Green en gravi définit l’opérateur de prolongement vers le haut : Définition Propriété

Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Objectifs Principaux = Mettre en évidence le bord des anomalies, et placer le maximum des anomalies à l’aplomb des sources Moyen = Utilisation de combinaison de filtres de dérivation Dérivation  z2=z0+h z0 Masses à z=z0 Dipôles à z=z0 Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle qu’on aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale

Problématique comparable à la réduction au pôle, par transformation en signal analytique des anomalies magnétiques du champ total La réduction au pôle ramène le sommet de l’anomalie au-dessus du centre de la structure. Le signal analytique aussi (à 2D), et permet en plus de localiser les sommets de la structure par dérivation (pour des sources de grande largeur devant leur profondeur).

Anomalies magnétiques de structures 2D en fonctions de l’inclinaison apparente I’

Prolongement dans le domaine de Fourier à 1 et 2 variables Exercice permettant de déterminer l’opérateur de prolongement vers le haut On considère la fonction homogène f(x,y,z) dans le demi-plan supérieur ne contenant aucune source (z croissant vers le bas). Cette fonction f est soit l’anomamie magnétique du champ total T soit l’anomalie gravimétrique g. Ainsi l’anomalie vérifie l’équation de Laplace : (1) 1/ Définir la transformée de Fourier 2D F(u,v,z) de f(x,y,z) suivant les variables x et y. 2/ Montrer que l’équation (1) dans le domaine de Fourier 2D s’écrit : (2) 3/ Pour résoudre l’équation différentielle (1 ou 2), on a besoin de fixer les conditions aux limites. Une première condition est fournie par l’argument physique : l’anomalie est nulle très loin des sources, i.e. f(x,y,z)→0 pour z→-. La deuxième condition est fournie par des données sur le plan z=0 : f0(x,y)=f(x,y,z=0). En notant F0(u,v)=F(u,v,z=0), déterminer les solutions F de l’équation (2) en fonction de F0, puis les solutions f de l’équation (1) en fonction de f0. 4/ Déduire de la question 3/ l’expression de l’opérateur de prolongement vers le haut depuis un plan horizontal.

V.3 Opérations de prolongement et de dérivation   on obtient les expressions suivantes dans le domaine de Fourier (z positif vers le bas) : prolongement :    dérivations :     opérateur de prolongement :    opérateur de dérivation :    

V.3 Opérations de prolongement et de dérivation   on obtient les expressions suivantes dans le domaine spatial :    opérateur de prolongement d’un profil (à 2D) : opérateur de prolongement d’une carte (à 3D) :        

Exercice : Pz(u)=e2pz|u| On s’intéresse à l’opérateur de prolongement de hauteur z dont le spectre de Fourier (à 1D) s’écrit Pz(u)=e2pz|u| où u est la fréquence et z est positif pour un prolongement vers le bas. Représenter le spectre Pz(u) de l’opérateur de prolongement vertical pour plusieurs valeurs de z (petites et grandes, négatives et positives) et discuter du rôle de z sur le filtrage.