La fonction LOGARITHMIQUE Mathématiques SN La fonction LOGARITHMIQUE

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Utilité du logarithme Sert à déterminer la valeur d’un exposant. Exemples : log2 8 signifie « l’exposant de la base 2 dont le résultat est 8 » 2? = 8 l’exposant, c’est 3 ! donc log2 8 = 3 log3 9 signifie « l’exposant de la base 3 dont le résultat est 9 » 3? = 9 l’exposant, c’est 2 ! donc log3 9 = 2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Utilité du logarithme Permet d’isoler « x » dans f(x) = cx . Exemple : Transformer les expressions exponentielles en expressions logarithmiques et vice-versa. a) 2x = 32 x = log2 32 b) 5x = 125 x = log5 125 c) x = log4 256 4x = 256 d) x = log3 81 3x = 81

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Définition et lois des LOG On sait que 3x = 27 x = log3 27 cx = y x = logc y donc Par conséquent : logc 1 = 0 (car c0 = 1) Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1 logc c = 1 (car c1 = c) Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4 Lorsque la base « c » du logarithme est « 10 », on écrit log x au lieu de log10 x. Lorsque la base « c » du logarithme est « e », on écrit ln x au lieu de loge x.

ex = y x = loge y loge y = ln y donc et Exemples : a) ex = 20 x = ln 20 b) ex = 6 x = loge 6 x = ln 6 c) x = ln 56 x = loge 56 ex = 56 d) x = ln 40 x = loge 40 ex = 40

LOI # 1 2 2 • 2 3 = 2 5 4 • 8 = 32 2 + 3 = 5 log2 4 + log2 8 = log2 32 On sait que : 2 2 • 2 3 = 2 5 On peut aussi dire que : 4 • 8 = 32 Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : 2 + 3 = 5 Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : log2 4 + log2 8 = log2 32 = log2 (4 • 8) Donc : logc m + logc n = logc mn

logc m – logc n = logc (m / n ) LOI # 2 = 2 5 On sait que : – = 2 3 2 2 32 On peut aussi dire que : = 8 4 Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : 5 – 2 = 3 Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : log2 32 – log2 4 = log2 8 = log2 (32 / 4) Donc : logc m – logc n = logc (m / n )

• • • • LOI # 3 ( 2 2 ) 3 = 2 6 4 3 = 64 2 3 = 6 log2 4 log4 64 = x = On sait que : ( 2 2 ) 3 = 2 6 On peut aussi dire que : 4 3 = 64 Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : 2 • 3 = 6 Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : log2 4 • log4 64 = log2 64 log2 4 • 3 = log2 43 ou 3 • log2 4 = log2 43 n • logc m = logc mn Donc :

LOI # 4 log2 8 = 3 log m log2 7 = ??? log c logc m = (Loi du changement de base) La définition d’un LOGARITHME nous permet de calculer facilement, par exemple, que : log2 8 = 3 Cependant, comment calculer précisément une situation comme celle-là : log2 7 = ??? Pour le faire, il faut absolument changer la base « 2 » du logarithme par une base « 10 » ou « e » (constante de Néper). Ce sont les deux seules bases que les calculatrices utilisent. Pour effectuer un changement en base « 10 », on utilise la relation suivante : log m log c logc m = (où log m = log10 m)

LOI # 4 log m log c logc m = log 8 log 2 ~ 0,9 ~ 0,3 log2 8 = = = 3 (Loi du changement de base) log m log c logc m = log 8 log 2 ~ 0,9 ~ 0,3 Exemple #1 : log2 8 = = = 3 log 9 log 3 ~ 0,9542 ~ 0,477 Exemple #2 : log3 9 = = = 2 log 7 log 2 ~ 0,845 ~ 0,3 Exemple #3 : log2 7 = =  2,81 log 46 log 5 ~ 1,6628 ~ 0,7 Exemple #4 : log5 46 = =  2,38

 cm • cn = cm + n  logc mn = logc m + logc n cm cn m n  = cm – n  LOIS DES EXPOSANTS LOIS DES LOG  cm • cn = cm + n  logc mn = logc m + logc n cm cn m n  = cm – n  logc = logc m – logc n  (cm)n = cmn  logc mn = n • logc m log m log c  logc m =

LOIS DES LOG  logc mn = logc m + logc n Ex.: log4 2x = log4 2 + log4 x m n x 3  logc = logc m – logc n Ex.: log4 = log4 x – log4 3  logc mn = n • logc m Ex.: log4 x2 = 2 log4 x log 8 log 4 log m log c  logc m = Ex.: log4 8 = Note : log3 x2 ≠ log3 2x log3 x2 = log3 (x • x) log3 2x = log3x • log3x car

Exemples : Réécrire les expressions à l’aide d’un seul logarithme. a) log2 x2 – log2 x x2 x log2 x2 – log2 x = log2 = log2 x b) log5 (x + 2) + log5(2x)3 – log5 8x2 log5 [ (x + 2) • (2x)3 ] – log5 8x2 = log5 [ (x + 2) • 8x3 ] – log5 8x2 = log5 [ 8x4 + 16x3 ] – log5 8x2 = log5 8x4 + 16x3 8x2 = log5 8x4 + 16x3 8x2 8x2 = log5 (x2 + 2x) c) log6 2x4 + log6 3 log6 2x4 + log6 3 = log6 (2x4 • 3) = log6 6x4

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique f(x) = logc x (forme générale de BASE) Exemple : f(x) = log2 x f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) Exemple : f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5 x = h (Équation de l’asymptote)

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = log2 x (forme générale de BASE où c  1 ) x f(x)  1 2 1 4 2 Asymptote x = 0 8 3 ½ -1 ¼ -2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = log½ x (forme générale de BASE où c  ]0, 1[ ) x f(x)  Asymptote x = 0 1 2 -1 4 -2 8 -3 ½ 1 ¼ 2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = - log2 x (forme où c  1 et a = -1) x f(x)  Asymptote x = 0 1 2 -1 4 -2 8 -3 ½ 1 ¼ 2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = log2 -x (forme où c  1 et b = -1) x f(x)  1  -1 -2 1 -4 2 Asymptote x = 0 -½ -1 -¼ -2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = log2 (x + 4) (forme c  1 et h = -4) x f(x) -4  -3 -2 1 2 Asymptote x = - 4 4 3

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  1 x = h (Équation de l’asymptote) Dom f = ] k , +∞ Ima f =  Asymptote x = h c  ] 0 ,1 [

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = log (- 4x + 13) . 1 0 = log (- 4x + 13) Il faut que - 4x + 13 > 0 donc que x < 13/4 100 = - 4x + 13 1 = - 4x + 13 -12 = - 4x 3 = x Asymptote x = 13/4 Réponse : x  { 3 }

Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 . Exemple #2 : Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 . 0 = 3 log (4x – 3) + 1 Il faut que 4x – 3 > 0 donc que x > 3/4 - ⅓ = log (4x – 3) 10-⅓ = 4x – 3 0,464 = 4x – 3 3,464 = 4x 0,866 = x Réponse : x  { 0,866 }

Exemple #3 : Résoudre 2 log3 (2x + 10) = 6 . 2 log3 (2x + 10) = 6 Il faut que 2x + 10 > 0 donc que x > - 5 log3 (2x + 10) = 3 2x + 10 = 33 2x + 10 = 27 2x = 17 x = 8,5 Réponse : x  { 8,5 }

Exemple #4 : Résoudre 2 ln (x + 4)2 = 12 . 2 ln (x + 4)2 = 12 Il faut que (x + 4)2 > 0 donc que x > - 4 4 ln (x + 4) = 12 ln (x + 4) = 3 loge (x + 4) = 3 x + 4 = e3 x + 4 = 20,1 x = 16,1 Réponse : x  { 16,1 }

Résoudre log3 (x + 36) – log3 (x – 18) = 1 . Exemple #5 : Résoudre log3 (x + 36) – log3 (x – 18) = 1 . log3 (x + 36) – log3 (x – 18) = 1 Il faut que x + 36 > 0 et que x – 18 > 0 donc que x > - 36 et que x > 18 x + 36 x – 18 log3 = 1 x + 36 x – 18 = 31 x + 36 = 3 (x – 18) x + 36 = 3x – 54 90 = 2x 45 = x Réponse : x  { 45 }

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Résolutions d’équations EXPONENTIELLES 2 méthodes : 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même base exponentielle 2- Utiliser les logarithmes PROPRIÉTÉ IMPORTANTE DES LOG Si a = b , Ex.: Si 3 = 3 Alors log 3 = log 3 alors logc a = logc b De plus, nous pouvons utiliser ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles.

Exemple : Avec LOG Avec LN 3x = 2x – 1 3x = 2x – 1 log 3x = log 2x – 1 ln 3x = ln 2x – 1 x • log 3 = (x – 1) • log 2 x • ln 3 = (x – 1) • ln 2 x • (0,477) = (x – 1) • (0,3) x • (1,1) = (x – 1) • (0,7) 0,477x = 0,3x – 0,3 1,1x = 0,7x – 0,7 0,177x = – 0,3 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 x = – 1,7 Réponse : x  { -1,7 } Réponse : x  { -1,7 }

Exemple #1 : Résoudre 42x – 3 = 5x . 42x – 3 = 5x ln 42x – 3 = ln 5x OU 2x – 3 = log45x (2x – 3) • ln 4 = x • ln 5 2x – 3 = x • log45 (2x – 3) • (1,386) = x • (1,61) 2x – 3 = x • 1,16 2,772x – 4,158 = 1,61x 2x – 3 = 1,16x 1,162x = 4,158 0,84x = 3 x = 3,58 x = 3,58 Réponse : x  { 3,58 }

Exemple #2 : Résoudre 3x + 2 = 45x . 3x + 2 = 45x log 3x + 2 = log 45x OU x + 2 = log345x (x + 2) • log 3 = 5x • log 4 x + 2 = 5x • log34 (x + 2) • (0,477) = 5x • (0,6) x + 2 = 5x • 1,26 0,477x + 0,954 = 3x x + 2 = 6,3x 0,954 = 2,523x 2 = 5,3x 0,378 = x 0,378 = x Réponse : x  { 0,378 }

Résoudre log5 (x – 9) = log5 (4x) . Exemple #3 : Résoudre log5 (x – 9) = log5 (4x) . log5 (x – 9) = log5 (4x) Il faut que x – 9 > 0 et que 4x > 0 donc que x > 9 et que x > 0 x – 9 = 4x – 9 = 3x – 3 = x À rejeter Réponse : x  {  }

Résoudre log5 (x + 240) = log5 x + 2 . Exemple #4 : Résoudre log5 (x + 240) = log5 x + 2 . log5 (x + 240) = log5 x + 2 Il faut que x + 240 > 0 et que x > 0 donc que x > -240 et que x > 0 log5 (x + 240) = log5 x + log525 log5 (x + 240) = log5 (x  25) log5 (x + 240) = log5 (25x) log5 (x + 240) = log5 (25x) x + 240 = 25x 240 = 24x 10 = x Réponse : x  { 10 }

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Résolutions d’inéquations Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . 1 Asymptote x = - 4 Asymptote x = 6

Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 log2 (x + 4) + log2 (x – 6)  9 – 5 log2 [ (x + 4) • (x – 6) ]  4 (x + 4) • (x – 6)  24 x2 – 2x – 24  16 x2 – 2x – 40  0 x1  – 5,40 x2  7,40 À rejeter Réponse : x  [ 7,40 , +

Exemple #2 : Résoudre (1/2)x + 3 ≤ 52x – 1 . log (1/2)x + 3 ≤ log 52x – 1 . (x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5 (x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7) - 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7 - 0,2 ≤ 1,7x - 0,12 ≤ x Réponse : x  [ - 0,12 , +

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Résolutions d’une situation à l’aide des LOG Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 100 000 ? N(t) = 500 (2)t/5 100 000 = 500 (2)t/5 200 = (2)t/5 t 5 = log2 200 t 5 = 7,64 t = 38,2 Réponse : Après 38,2 heures.