2 Interaction Quanton-Matière « Element of modern x-ray physics » J. Als-Nielsen et D. McMorrow « Processus d’interaction entre photons et atomes » C. Cohen-Tannoudji,… Quantons : sondes Deux processus d’interaction Absorption et diffusion dz dW kd I0 I ki 2q l

Caractéristiques des quantons Trois types de quantons sont utilisés en matière condensée Les rayons X tendres et durs : 3-100 keV Les électrons lents ou rapides : 150 eV-100 keV Les neutrons chauds, thermiques ou froids : 120-25-10 meV Effets d’interférences : Leur longueur d’onde doit être plus petite que les distances interatomiques 2𝑑 sin 𝜃=𝑚𝜆 𝜆≤2𝑑

Caractéristiques des quantons Description Énergie E Impulsion p kBT/E 300K Interaction Absorption Photons X Champ électromagnétique E=hn=hc/l l(Å)=12398/E(eV) l=1 Å, E=12,4 keV n=3.1018 Hz (EHz) p=hk=hn/c 3.10-6 << 1 Charge sth ~ Z2 barn Moments magnétiques sd ~ 10-6 barn 4700 barn (Z=28, 1,5 Å) Neutrons Particule y ~ exp(i k.r) E2=p2c2+mn2c4; E=p2/2mn l(Å)=0,286/E0.5(eV) l=1 Å, E=81,8 meV vn = 4000 m/s p=hk (=mv) ~ 1 Noyaux (forte) sd ~ 5 barn Moments magnétiques sd ~ 3 barn Typique : 0,1-1 barn Électrons Particule y ~ exp(i k.r) E=p2/2me l(Å)=12,265/E0.5(eV) l=1 Å, E=150 eV ve = 7274 km/s p=hk (=mv ~ 10-5 Potentiel electrostatique sd ~ 108 barn - 𝑬= 𝑬 0 𝑒 𝑖(𝒌∙𝒓−𝜔𝑡)

Section efficace d’absorption Élément de matière d’épaisseur dz, l’intensité diminue de dI dz 𝑑𝐼=−𝐼 𝑧 𝜇𝑑𝑧 ⟹𝐼= 𝐼 0 𝑒 −𝜇𝑙 I0 I m coefficient linéïque d’absorption (cm-1) Loi de Beer-Lambert l F0 flux de quantons incidentes (s-1/cm2), F = I/S le nombre de particules absorbées dNq par unité de temps 𝑑 𝑁 𝑞 =𝜙 𝑧 𝑁(𝑑𝑧) 𝜎 𝑎 sa : section efficace d’absorption, unité le barn = 10-24 cm2 La section efficace dépend du type d’atome, de son environnement (RX) et de l’énergie du quanton 𝑁 𝑑𝑧 = 𝜌 𝑎 𝑆𝑑𝑧 Ex : Réseau 2D maille 0.3 nm Surface par atome s~10-15 cm2 𝜇= 𝜎 𝑎 𝜌 𝑎

Section efficace de diffusion Processus de diffusion Nombre de quantons diffusés dW q kd 𝑑 𝑁 𝑑 =𝜙𝑑Ω 𝑑𝜎 𝑑Ω ki 2q Section efficace différentielle de diffusion Fonction d’onde du quanton diffusé 𝜓 𝑑 𝒓 =−𝑏(𝒒) 𝑒 𝑖 𝑘 𝑑 𝑟 𝑟 𝑏(𝒒) : longueur de diffusion Neutrons : b indépendant de q Section efficace différentielle 𝑑𝜎 𝑑Ω 𝑑𝑖𝑓 = 𝑘 𝑑 𝑘 𝑖 𝑏 2 𝑑𝜎 𝑑Ω 𝑑𝑖𝑓 = 𝑏 2

Caractéristiques des quantons Description Énergie E Impulsion p kBT/E 300K Interaction Absorption Photons X Champ électromagnétique E=E0 exp(i(k.r-wt)) E=hn=hc/l l(Å)=12398/E(keV) l=1 Å, E=12,4 keV n=3.1018 Hz (Ehz) p=hk=hn/c 3.10-6 << 1 Charge sth ~ Z2 barn Moments magnétiques sd ~ 10-6 barn 4700 barn (Z=28, 1,5 Å) Neutrons Particule y ~ exp(i k.r) E2=p2c2+mn2c4; E=p2/2mn l(Å)=0,286/E0.5(eV) l=1 Å, E=81,8 meV vn = 4000 m/s p=hk (=mv) ~ 1 Noyaux (forte) sd ~ 5 barn Moments magnétiques sd ~ 3 barn Typique : 0,1-1 barn Électrons Particule y ~ exp(i k.r) E=p2/2me l(Å)=12,265/E0.5(eV) l=1 Å, E=150 eV ve = 7274 km/s p=hk (=mv ~ 10-5 Potentiel electrostatique sd ~ 108 barn -

Longueur de diffusion (particules) Résoudre l’équation de Schrödinger d’un quanton en présence d’un potentiel d’interaction 𝑉 𝒓 Etats stationnaire d’énergie : 𝐸= ℏ 2 𝑘 2 2𝑀 « Mécanique quantique 2, chap.VIII » Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë ℏ 2 2𝑀 ∆+𝑉 𝒓 𝜑 𝒓 = ℏ 2 𝑘 2 2𝑀 𝜑 𝒓 ∆+ 𝑘 2 −𝑈(𝒓) 𝜑 𝒓 =0 𝜑 𝒓 ~ 𝑒 𝑖 𝒌 𝑖 ∙𝒓 +𝑏(𝒒) 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑟 𝑏 𝒒 =− 𝟏 𝟒𝝅 𝑈(𝒓) 𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒓 avec 𝑈 𝑟 = ℏ 2 2𝑀 𝑉(𝒓) Approx. de Born + 𝑘𝑟≫1 Longueur de diffusion = TF du potentiel

Fadley, Physica Scripta, T17,39,1987 Longueur de diffusion Rayons X : TF de la densité é 𝑏 𝒒 =− 𝑟 0 𝑓 𝒒 =− 𝑟 0 𝜌 𝒓 𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒓 Déphasage 𝜋 … r0 = 2,82 10-15 Å Rayons X Neutrons : TF du pseudo-potentiel de Fermi. C’est une constante 𝑏 𝒒 =𝑏= 𝟐𝝅 ℏ 𝟐 𝑴 𝓥 𝒓 𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒓 car 𝓥 𝒓 ~ δ(𝒓) Déphasage 0 ou 𝜋 … Electrons : TF du potentiel 𝑈(𝒓) 𝑏 𝒒 =− 𝟏 𝟒𝝅 𝑈(𝒓) 𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒓 𝑏 𝒒 dépend de l’énergie Déphasage 𝛿(q) Électron Fadley, Physica Scripta, T17,39,1987

Mécanique quantique II, p. 940 C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, Frank Laloë Théorème optique Mécanique quantique II, p. 940 C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, Frank Laloë 𝜎 𝑡𝑜𝑡 = 𝜎 𝑎 + 𝜎 𝑑 =− 4𝜋 𝑘 Im(𝑏 0 ) 𝜓 𝑑 𝒓 =−𝑏(𝜃) 𝑒 𝑖 𝑘 𝑑 𝑟 𝑟 Ombre : Interférence entre onde incidente et onde diffusée 𝜓 𝑖 𝒓 =𝐴 𝑒 𝑖 𝑘 𝑖 𝑟

Absorption

Origine de l’absorption des neutrons Neutrons faiblement absorbés Absorbés par l’intermédiaire de réactions nucléaires 3He+n  3H-+p sa 6Li 520 10B 2100 Gd 74000 Ni 4.6 Pb 0.17 Détecteurs et écrans 𝜎 𝑎 𝑘 = 𝜎 𝑎 𝑘 0 𝑘 𝑘 0 =34,947 nm −1 Dépendance en énergie :

Origine de l’absorption des photons Énergie d’un électron libre 𝐸 2 = 𝑚 2 𝑐 4 + 𝑝 2 𝑐 2 𝑣≪𝑐 𝐸= 𝑝 2 /2𝑚 Énergie d’un photon (p,E) 𝐸 𝑝ℎ =𝑝𝑐 E E ? EO=511 keV EO=511 keV EO-EL Dp.Dr   p p Électron libre Pas d’absorption Électron lié Absorption possible

L’absorption des rayons X Absorption totale VUV UV XUV X mous X tendres X durs Aux énergies considérées < 1000 keV Effet photoélectrique Gamma PLOMB Z=82

L’absorption des rayons X Effet photoélectrique Photon absorbé si hn > EI (EI énergie de liaison de l’e-) Excitation : Photo-électron émis ( E=hn - EI -F )  : travail de sortie ~1 eV Désexcitation : photon de fluorescence (hn = EI -EII ) : électron Auger ( E= EI -EII -EIII) À E < 1000 keV l’effet photo-électrique est dominant Photo-électron Photon de fluorescence Électron Auger Continuum Niveau de Fermi -EF M (2p3/2)4 L (2p1/2)2 (2s)2 hn -EII Kb Ka Niveaux de cœur K (1s)2 -EI Excitation Désexcitation Absorption des électrons

Ordre de grandeur Rayons X : l = 1.542 Å sa Li 5,7 B 36 Gd 78300 Ni 4760 Pb 79800 Neutrons : 1.8 Å sa 6Li 520 10B 2100 Gd 74000 Ni 4.6 Pb 0.17

Libre parcours moyen des électrons Distance parcourue entre deux collisions inélastiques avec les plasmons les électrons de Valence From A. Zangwill, ‘Physics at Surfaces’, Cambridge Univ. Press. Après cette longeur (longueur d’atténuation), les électrons perdent leur phase. La diffraction des électrons (DEL) est une technique de surface Seuls les photoélectrons ou les électrons Auger de surface sortent avec leur énergie initiale Importance en XAS…

Diffusion

Diffusion : Système atome-particule change d’état Etat initial, ei Etat final, ef Diffusion élastique : Ne change ni la nature ni l’état interne du quanton et de la cible

Diffusion Raman/Brillouin : Diffusion des photons Diffusion Rayleigh : Diffusion élastique à basse énergie hn << EI , EI -EII ; Fi = Ff ; diffusion de la lumière, le bleu du ciel Diffusion Raman/Brillouin : Diffusion inélastique à basse énergie (phonon optique/acoustiques) hn << EI ; Fi  Ff ; diffusion phonon optique/acoustiques Diffusion Thomson : Diffusion élastique à haute énergie hn >> EI ; Fi = Ff ; diffusion des rayons X Diffusion Compton : Diffusion inélastique à haute énergie hn >> EI ; Fi  Ff ; diffusion des rayons X

Électron libre (e- masse m) Électron lié (atome, cristal masse M»m) Diffusion des photons (pi ,Ei ) (pf ,Ef ) 𝐸 𝑒 = 𝑝 2 𝑚 E E 𝐸 𝑒 = 𝑝 2 𝑀 EO EO EO-EL p p Électron libre (e- masse m) Diffusion Compton Électron lié (atome, cristal masse M»m) Diffusion Thomson Diffusion Compton

C’est une conséquence de la diffusion Réfraction C’est une conséquence de la diffusion Traversée d’une plaque d’épaisseur Δ Phase supplémentaire : 𝑛𝑘Δ-𝑘Δ 𝜓 𝑃 = 𝜓 0 𝑃 𝑒 𝑖 𝑛−1 𝑘Δ = 𝜓 0 𝑃 (1+𝑖 𝑛−1 𝑘Δ) 𝑅 𝑟 𝑆 𝐷 𝑅 0 𝑃 Δ 𝑅 2 = 𝑅 0 2 + 𝑟 2 𝑅𝑑𝑅=𝑟𝑑𝑟 𝜓 𝑃 = 𝜓 0 𝑃 +𝜓 0 (𝑆) 𝑒 𝑖𝑘𝐷 0 ∞ −𝑏 𝑒 𝑖𝑘𝑅 𝑅 (2𝜋𝑟𝑑𝑟Δ) 𝜌 𝑑 = 𝜓 0 𝑃 −𝜓 0 𝑆 2𝜋𝑏Δ 𝜌 𝑑 𝑒 𝑖𝑘𝐷 𝑅 0 ∞ 𝑒 𝑖𝑘𝑅 𝑑𝑅 = 𝜓 0 𝑃 (1−𝑖 2𝜋𝑏Δ 𝜌 𝑑 𝑘 ) Absorption 𝑅 0 ∞ 𝑒 −𝜇 𝑅Δ 𝑅 0 𝑒 𝑖𝑘𝑅 𝑑𝑅 𝑛=1− 2𝜋𝑏 𝜌 𝑑 𝑘 2 𝜌 𝑑 ~1𝑒 Å −3 , 𝑏~ 𝑍 3 . 10 −5 Å, k~4 Å −1 𝛿 ~ 10 −5

Déphasage et absorption Réfraction Indice de réfraction ki kr 𝑛= 𝑛 𝑟 +𝑖𝛽 a a’ Déphasage et absorption n kt 𝑒 𝑖𝑛𝑘𝑧 = 𝑒 𝑖 𝑛 𝑟 𝑘𝑧 𝑒 −𝛽𝑘𝑧 Pour les rayons X et les neutrons 𝑛=1− 2𝜋𝑏 𝜌 𝑑 𝑘 2 +𝑖𝛽=1−𝛿+𝑖 𝜇 2𝑘 Loi de Snell Existence d’un angle critique Au-delà duquel on a réflexion totale 𝑛 𝑟 cos 𝛼′ = cos 𝛼 ac ki kr Onde stationnaire 𝛼 𝑐 = 2𝛿 Mesure du signe de b (holographie)

Techniques expérimentales ÉMISSION : Rayons X Fluorescence (Analyse chimique) Électrons Photo-électrons, électrons Auger (analyse) Diffraction de photo-électrons (structure locale) Photo-émission (structure de bande) Techniques expérimentales EMISSION (par rayons X) : • Rayons X • Fluorescence (Analyse chimique) • Electrons • Photo-électrons, électrons • Auger (Spectrométrie, analyse) Diffraction de photo-électrons (structure locale) • Photo-émission (Structure de bande, surface de • Fermi ) RÉFRACTION : Rayons X, neutrons Réflectromètrie (surface, interface) Diffraction de surface (surfaces) Onde stationnaires (surfaces) ONDES/PARTICULES Rayons X Neutrons Electrons Cristal Liquide, cristal liquide Polymère Surface ABSORPTION : Rayons X XAS, EXAFS, XANES (ordre local) Dichroïsme (Magnétisme, surfaces) DIFFUSION Rayons X Diffraction (Structures); Diffusion diffuse (Désordres, liquides, matière molle) Diffusion Compton (Structure électronique) Diffusion aux petits angles (Polymères, cristaux liquides, agrégats) Diffusion magnétique, inélastique, cohérente… (synchrotrons) Neutrons Diffraction, Diffusion diffuse (Structures, Hydrogène, contraste) Diffusion inélastique (phonons, dynamiques, excitations élémentaires) Diffusion magnétique (Structures magnétiques, magnons) Electrons Diffraction d’électrons lents, rapides (surfaces) DIFFUSION : • Rayons X • Diffraction (Etude des structures) • Diffusion diffuse (Etude du désordre dans les cristaux, liquides, cristaux liquides) • Diffusion • Compton (Structure électronique) Diffusion aux petits angles (Polymères, cristaux liquides, agrégats, grandes mailles) • Diffusion magnétique, inélastique, cohérente… (synchrotrons) • Neutrons • Diffraction, Diffusion diffuse (Structures, Hydrogène, contraste différent) • Inélastique (Excitations élémentaires, phonons, dynamique) • Magnétique (Structures magnétique, magnons) • Electrons • Diffraction, LEED, RHEED (Etude des surfaces) •