Représentation graphique

Théorème des valeurs intermédiaires. (2 encadrés différents) f étant une fonction continue dans [a b], tout réel compris entre f(a) et f(b) est l’image d’au moins un réel compris entre a et b. F étant le graphique d’une fonction f continue dans [a b], toute parallèle à l’axe des abscisses dont l’ordonnée est comprise entre f(a) et f(b) coupe F en au moins un point.

L’image d’un intervalle fermé… L’image d’un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.

Théorème des accroissements finis de Lagrange. Si f est une fonction continue dans [a b] et dérivable dans ]a b[, alors  c  ]a b[ : f´(c) =

Théorème de Rolle. Si f est une fonction continue dans [a b], dérivable dans ]a b[ et telle que f(a) = f(b) alors  c  ]a b[ : f´(c) = 0.

Fonction croissante. (2 encadrés) l étant un intervalle où la fonction f est définie, f est une fonction croissante dans l ssi  x1, x2  l :  0 (x1  x2) f étant une fonction dérivable dans l’intervalle l, f est croissante dans l ssi f´ est positive dans l ssi  x  l : f’(x)  0.

Fonction décroissante. (2 encadrés) l étant un intervalle où la fonction f est définie, f est une fonction décroissante dans l ssi  x1, x2  l :  0 (x1  x2) f étant une fonction dérivable dans l’intervalle l, f est décroissante dans l ssi f´ est négative dans l ssi  x  l : f’(x)  0.

2 définitions de maximum. f a un maximum en c ssi f´ change de signe en c en passant de valeurs positives à des valeurs négatives. f étant une fonction dérivable dans un intervalle ouvert comprenant c, f a un maximum en c ssi f´ change de signe en s’annulant en c en passant de valeurs positives à des valeurs négatives.

2 définitions de minimum. f a un minimum en c ssi f´ change de signe en c en passant de valeurs négatives à des valeurs positives. f étant une fonction dérivable dans un intervalle ouvert comprenant c, f a un minimum en c ssi f´ change de signe en s’annulant en c en passant de valeurs négatives à des valeurs positives.

Définition de concavité. F étant une fonction dérivable deux fois dans l’intervalle l *dans l, le graphique de f(x) tourne sa concavité vers le haut ssi f´ est croissante dans l ssi f´´ est positive en tout élément de l. concavité vers le bas ssi f´est décroissante dans l ssi f´´ est négative en tout élément de l.

Point d’inflexion (avec le mot « tangente »). Le graphique F de la fonction f a un point d’inflexion l ssi 1) F a une tangente en l et 2) la concavité de F change de sens en l.

Point d’inflexion (sans le mot « tangente »). Le graphique de f a un point d’inflexion d’abscisse c ssi f est dérivable en c ou bien lim f´et lim f´ sont infinis f´´ change de signe en c. c- c+

Probabilité

La catégorie d’épreuve… La catégorie d’épreuve d’un phénomène aléatoire est l’ensemble de tous ses résultats possibles.

Un événement… Un événement d’un phénomène aléatoire est une partie de sa catégorie d’épreuve.

Axiomes de Kolmogorov. E = catégorie d’épreuve A  E et B  E 0  pr (A)  1 A et B étant disjoints pr (A  B) = pr (A) + pr (B) pr (E) = 1 Axiomes de Kolmogorov La probabilité d’un événement est un nombre positif inférieur ou égal à 1. La probabilité de la réunion de deux événements disjoints est la somme des probabilités de ces événements. La probabilité de la catégorie d’épreuve est 1.