Examen partiel #2 Mercredi le 15 novembre de 13h30 à 15h20 Salles 2850 du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2. - Notes de cours (guide d'études): sections 6 à 10. - Devoirs: 4 à 7.

Rappel... Déterminants: définition; propriétés; règle de Cramer; calcul de l’inverse d’une matrice; aire et volume; transformations linéaires.

Aujourd’hui Valeurs propres et vecteurs propres. Définitions; Propriétés; Équations aux différences; Équation caractéristique; Matrices similaires; Applications aux systèmes dynamiques.

10. Valeurs propres et vecteurs propres Av Au u v

Définition: Vecteur propre Un vecteur propre d’une matrice A n  n est un vecteur non nul x tel que Ax = lx pour un scalaire l quelconque.

Définition: Valeur propre Un scalaire l est appelé une valeur propre de A s’il existe une solution non triviale x du système Ax = lx; un tel x est appelé vecteur propre correspondant à l.

Matlab: eig x = eig(A): x est un vecteur colonne contenant les valeurs propres de A. [U V] = eig(A): U est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et V est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de A.

Équation (A - lI)x = 0 L’ensemble de toutes les solutions est le noyau de la matrice (A - lI). C’est donc un sous-espace de Rn. On appelle ce sous-espace l’espace propre correspondant à l.

Valeurs propres d’une matrice triangulaire Soit A une matrice triangulaire. Alors les valeurs propres de A sont les éléments de la diagonale principale de A.

Suite du théorème des matrices inversibles Soit A une matrice n  n. Alors A est inversible si et seulement si Le nombre 0 n’est pas une valeur propre de A.

Vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes Si v1,...,vr sont des vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes l1,...,lr d’une matrice A n  n, alors l’ensemble {v1,...,vr} est linéairement indépendant.

Équations aux différences Équations représentant des systèmes dynamiques. Équation du premier ordre: xk+1= A xk, k = 0,1,2,...

L’équation caractéristique L’équation caractéristique est une équation scalaire à une inconnue nous permettant de calculer les valeurs propres.

Propriétés des déterminants Soit A et B des matrices n  n. a. A est réversible si et seulement si det A  0. b. det AB = (det A)(det B). c. det AT = det A.

Propriétés des déterminants (suite) d. Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.

Propriétés des déterminants (suite) - Une opération de remplacement d’une ligne de A ne change pas le déterminant. - Un échange de deux ligne change le signe du déterminant. - La multiplication d’une ligne par un scalaire multiplie le déterminant par le même scalaire.

Définition: équation caractéristique (A - lI)x = 0 a une solution non triviale si et seulement si A - lI est non inversible (théorème sur les matrices inversibles). A - lI est non inversible si et seulement si det(A - lI) = 0.

Définition: équation caractéristique (suite) Ceci nous amène donc à définir l’équation caractéristique de A. det(A - lI) = 0

Définition: matrice similaire Si A et B sont des matrices similaires, alors A est similaire à B s’il existe une matrice réversible P telle que P-1AP = B ou, de manière équivalente, A = PBP-1.

Matrice similaire (suite) Si on remplace P-1 par Q on a Q-1BQ = A. B est donc similaire à A, et nous disons simplement que A et B sont similaires.

Théorème: Matrices similaires et valeurs propres Si A et B, des matrices n  n, sont similaires, alors elles ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres (avec les mêmes multiplicités).

Prochain cours... Diagonalisation et transformations linéaires.