Le formalisme quadridimensionnel de la géométrie différentielle pour des modèles de comportement anisotropes et indépendants du référentiel - Application à l’élasticité des cristaux métalliques ICD LASMIS Club Zebulon Emmanuelle ROUHAUD, Benoît PANICAUD, Arjen ROOS 5 juin 2012

Plan Approche 3D : les possibilités Approche 3D : les problèmes Approche ND : les maths Approche 4D : la physique Approche 4D : les possibilités Approche 4D : application Zébulon Approche 4D : conclusions et perspectives

3D Approche 3D : les possibilités Hypothèses générales: Transformations finies Elasticité isotherme avec des rigidités Approche 3D sécante (pas de dérivation) Géométrie = VER Matériau = agrégat de constituants élémentaires (grains) Typiquement un polycristal, macroscopiquement isotrope - Exemple Sollicitation = glissement simple (on pilote en déformation)

3D Approche 3D : les possibilités Modèle 1 = macroscopique + départ Lagrangien Modèle 2 = macroscopique + départ Eulérien Modèle 3 = micromécanique + départ Lagrangien N grains à symétrie cubique, désorientés par une FDO(Q) 2X méthodes de transitions d’échelles possibles (Voigt, Reuss…)

3D Approche 3D : les problèmes Le choix Euler/Lagrange Le choix de la variable cinématique  un faux problème Le choix du modèle de comportement  dépend du matériau Le choix de la méthode de transition d’échelles  quel ? Le problème de l’évolution de la texture  FDO(Q(t)) ? Le problème de l’invariance des grandeurs et des relations La dépendance ou non au mouvement rigide Le problème de l’isotropie des modèles en Euler réglé OBJECTIVITE

3D OBJECTIVITE ? Une nécessité Q(t) Alors F’ = QF V’≠QV Repère fixe Dans le repère « ’ » lié au chariot : V(A) = 0 e1 e2 e3 x O F A Repère avec mouvement rigide : Soit Q la matrice de passage entre fixe et « ’ ». Q(t) Alors F’ = QF V’≠QV F’ x A e’1 e’2 e’3 La force est objective La vitesse n’est pas objective

Les indices varient de 1 à N Les maths Changement de coordonnées (ou de référentiels) Pour un tenseur d’ordre 2 (3x3) : Les composantes d’une densité géométrique, d’ordre deux (NXN) par exemple, obéissent toujours à : par un changement de coordonnées dans un repère à N dimensions tel que : Invariance de tout objet + toute relation par n’importe quel changement de coordonnées = covariance

4D Approche 4D : la physique Pour un changement de coordonnées Les indices grecques varient de 1 à 4 Les indices latins varient de 1 à 3 Approche 4D : la physique 1) Quatre dimensions : trois d’espace : x1, x2, x3 : xi une de temps : x4 = ct où c est une vitesse de référence Mouvement non-relativiste : c ∞ 2) Une métrique dans le repère inertiel : de signature (- - - +) Dans un repère curviligne les compo- santes de la métrique sont gmn. Pour un changement de coordonnées les matrices Jacobiennes sont 4 x 4

4D La physique Changement de coordonnées 4D: Jacobiennes 3D: Changement de repères 3D Changement de référentiels ⟺ Mouvement relatif rigide Changement de référentiels ⟺ Mouvement relatif avec déformation Jacobiennes 3D: Jacobiennes 4D: Un changement de référentiels est un changement de coordonnées 4D

Changement de référentiel L’objectivité ? Changement de référentiel (= observateur) Vecteur 4D Objectivité 3D, si (F’ = QF) Sinon… Le  « principe » d’objectivité 3D n’est pas un principe

4D Le cas de la vitesse Q U Repère fixe Repère « ’ » en translation (U=cte) Dans le repère lié au chariot : V(A) = 0 x' B A e’1 e’2 e’3 x e1 e2 e3 Q U Soit la matrice Jacobienne entre fixe et « ’ »: (x4=ct) Transformation de la vitesse: La vitesse 4D est indépendante du référentiel d’observation (la force aussi) ET dépend du mouvement rigide

4D La physique Changement de coordonnées 4D: Jacobiennes 3D: Changement de repères 3D Changement de référentiels ⟺ Mouvement relatif rigide Changement de référentiels ⟺ Mouvement relatif avec déformation Jacobiennes 3D: Jacobiennes 4D: Un changement de référentiels est un changement de coordonnées 4D

Description des milieux continus Interlude Description des milieux continus Configuration initiale Configuration actuelle Lagrange: description en fonction de la position initiale (de référence) exprimée dans le repère E0 Euler: description en fonction de la position actuelle, exprimée dans le même repère E0 Convectif: description en fonction de la position actuelle, exprimée dans le repère Eg qui suit la déformation de la matière (repère convectif curviligne) et tel que : Une formulation lagrangienne est la projection d’une relation tensorielle dans le repère convectif Le passage d’une formulation eulérienne à une formulation lagrangienne est un changement de coordonnées 4D (relations anisotropes comprises)

4D Approche 4D : les possibilités Toute relation 4 tensorielle est invariante par rapport à tout changement de référentiels. Un changement de référentiels est un changement de coordonnées curvilignes 4D (attention à la variance). La formulation de Lagrange est une projection dans le système de coordonnées 4D convectif. La dépendance au mouvement rigide est un choix physique. L’(an)isotropie est un choix physique. La méthode 3D  4D = CONSTRUIRE DES TENSEURS 4D !!! (attention à la signature de la métrique et à la dimension du temps).

4D Les possibilités dans le cas de l’élasticité T = k : Def k = cte : PK2 : Cauchy E : Déformation Lagrange e : Déformation Euler C : FTF c : (FFT)-1 T = k : Def k = cte Isotrope s =l tr(e)+2me S =Kiso(C) E =J[l (E:C-1) C-1 +2mC-1 E C-1] Anisotrope s = k e S =K(C) E k (F) s =Kiso(c) e S =l tr(E)+2mE s = k(c,c) e S =K’(C) E Inertiel ON Convectif Inertiel ON Convectif Inertiel ON Convectif Modèle 4D tensoriel Inertiel ON Convectif Coordonnées 4D

4D Approche 4D : les possibilités Hypothèses générales: Transformations finies Elasticité isotherme avec des rigidités Approche 4D (non-relativiste) sécante (pas de dérivation) Géométrie = VER Matériau = agrégat de constituants élémentaires (grains) Typiquement un polycristal, macroscopiquement isotrope Exemple: Sollicitation = glissement simple (on pilote en déformation)

4D Approche 4D : les possibilités Modèle 4 = macroscopique + départ Obs Lagrangien Modèle 5 = macroscopique + départ Obs Lagrangien  3D Lagrange Modèle 6 = macroscopique + départ Obs Eulérien = Modèle 4 Modèle 7 = micromécanique + départ Obs Eulérien Modèle 8 = micromécanique + départ Obs Lagrangien 2 versions comme en macro avec  ou g

4D Application Zébulon Programmation des lois élastiques linéaires isotropes Euler et Lagrange

4D Application Zébulon Programmation des lois élastiques linéaires Anisotrope Euler et Lagrange

4D Application Zébulon Calculs 9 grains Orientations initiales « aléatoires »

4D Application Zébulon Calculs 9 grains Lagrange / Euler Moyenne 9 grains Moyenne 1 grain

4D Approche 4D : conclusions… L’invariance des grandeurs et des relations est acquise par l’utilisation de tenseurs 4D (principe de covariance). Un modèle 4 tensoriel peut dépendre (ou pas !) du mouvement rigide : ceci correspond à un choix physique. Une relation peut décrire un phénomène anisotrope et être exprimée avec une approche Eulérienne. Les expressions Lagrangiennes correspondent à une projection de l’expression tensorielle dans le repère convectif 4D. On peut « passer » d’une description Eulérienne à une description Lagrangienne par un changement de repère 4D.

FIN Approche 4D : … et perspectives Développer un formalisme 4D pour décrire les effets dissipatifs dans le cadre thermodynamique : viscosité plasticité Le principe de covariance a des conséquences importantes pour l’expression des variations dans le temps des grandeurs : Invariance par changement de référentiels assurée Programmer les taux covariants dans Zebulon. Programmer les modèles de comportement avec dissipations dans Zebulon.

Ref. Rougée, P.: Kinematics of finite deformations. Arch. Mech. 44, 527-556 (1992) - Garrigues, J.: Fondements de la Mécanique des Milieux Continus. Hermes, Science Publications (2007) - Lamoureux-Brousse, L.: Infinitesimal deformations of finite conjugacies in nonlinear classical or general relativistic theory of elasticity. Physica D. 35, 203-219 (1989) - Murdoch, A.I.: Objectivity in classical continuum physics: a rationale for discarding the `principle of invariance under superposed rigid body motions' in favour of purely objective considerations. Continuum Mech. Thermodyn. 15, 309-320 (2003) - Bressan, A.: Relativistic Theories of Materials. Springer-Verlag, Berlin (1978) -Schouten, J.: Ricci-calculus: An Introduction to Tensor Analysis and Its Geometrical Applications. Springer-Verlag (1954)