Chapitre 5 Transfert de chaleur

Introduction Transfert d’énergie sous forme ce chaleur: Provoqué par: Souvent observé dans les procédés chimiques Provoqué par: Différences de température Chaleur migre vers les zones plus froides Équation simple d’équivalence: Taux de chaleur entrante + Taux de génération de chaleur = Taux de chaleur sortant + taux d’accumulation de chaleur

Fondements du transfert de chaleur Il existe trois mécanismes fondamentaux: Conduction Convection Radiation

Conduction Conduction: La chaleur peut être conduite au travers: Solides, liquides, gaz Comment: Transfert de l’énergie de mouvement entre les molécules

Conduction (suite) Dans les gaz: Type d’échange: Molécules les plus ‘chaudes’ Celles qui on plus d’énergie et de mouvement Communiquent de l’énergie Molécules adjacentes à des niveaux d’E plus bas Type d’échange: Existant dans les solides, liquides ou gaz Où il existe un gradient de température

Conduction (suite) On peut aussi avoir un transfert d’E: Par transfert des électrons libres Particulièrement important: Solides métalliques Exemple: Transfert de chaleur: Parois d’un échangeur ou un réfrigérant

Convection Transfert de chaleur: Souvent relaté à: En grande quantité En mélangeant des éléments plus chaud Avec des portions + froides d’un gaz ou liquide Souvent relaté à: L’échange de chaleur entre une solide et un fluide

2 types de convection Convection forcée: Convection naturelle: Lorsqu’un fluide est forcé à passer par l’effet d’une pompe ou un ventilateur Convection naturelle: Où un fluide plus chaud ou plus froid adjacent à une surface solide cause une circulation en raison de la différence de densité résultant de la différence de température dans le fluide. Exemple: Souffler sur une tasse de café pour la refroidir

Radiation Diffère des deux précédentes: Aucun médium physique n’est nécessaire pour sa propagation Transfert d’énergie dans l’espace: Sous l’effet de radiations électromagnétiques Ressemble beaucoup: Les longueurs d’ondes électromagnétiques de la lumière Les solides et liquides absorberont cette radiation

Radiation (suite) Les phénomènes de radiation: Exemple important: Principalement important pour le transfert au travers de l’espace et des gaz Exemple important: Transfert d’énergie du soleil vers la terre Aussi: Cuisson des aliment sous un système de chauffage électrique (comme un four)

Même différence Les trois type de transfert suivant: Momentum Chaleur Masse Régit par les même types d’équations Qui se simplifient: Taux d’un procédé de transfert = Force conductrice / résistance

Conduction Assumant que le transfert de chaleur se produits uniquement pas conduction: Loi de Fourier: q=taux de transfert de chaleur normale p/r à la surface (W) A= surface (m2) T= température mesurée normale p/r à la surface (K) k= Conductivité thermique (W/m*K) Flux de chauffage (W/m2) Gradient de température dans la direction de l’axe des x

Intégration simple La loi de Fourier: Transfert de chaleur en régime stable Au travers d’un mur plat: Surface de tronçon constante : A Température T1 au point 1 Température T2 au point 2 Une distance de X2-X1 m entre les deux

Problème représentatif Calculez la perte de chaleur par m2 de surface pour un mur isolant composé de fibres isolantes de 25.4 mm d’épais où la température interne est de 352.7 K et la température externe est de 297.1 K.

Conductivité thermique Gaz: Concept relativement simple Molécules en mouvement aléatoire constant Se frappent les unes aux autres Échanges du momentum et de l’énergie Lors d’un passage vers une région + froide Transporte l’énergie cinétique Par collision avec les molécules de + faible énergie

Pour les gaz Température Conductivité thermique Masse molaire Diamètre de collision effectif

Pour les liquides Comparable à celle des gaz Molécule de plus haute énergie Frappent celles de plus faible énergie Toutefois: Molécules + rapprochées les unes des autres Champ de force affecte les échanges d’énergie Contrairement aux gaz: Aucune formule représentative Le plus souvent empirique

Conductivité thermique Pour les liquides Température Conductivité thermique Constante empirique

Pour les solides Pour les solides, k varie largement Par exemple, aluminium et cuivre: Ont des valeurs de k élevées Matériaux isolants: Valeurs de k très faible (roche ou laine) Deux mécanismes dans les solides Utilisation des électrons libres (métalliques) Transmission de l’énergie de vibration

Matériaux isolants Conductivité thermique: Matériaux comme roche ou laine Approche la conductivité thermique de l’air En raison de la quantité d’air dans ces matériaux

Conduction en régime permanent En a) un réservoir à mur plat contient un réfrigérant tandis que l’air est à température de la pièce: La température chute de façon linéaire lorsque l’on se rapproche du mur

Autre exemple Dans le deuxième cas de l’eau bouillante perd de la chaleur au profit de l’air La température croît de façon linéaire lorsque l’on se rapproche de la parois

Équation de Fourier Températures correspondant aux positions x1 et x2 Taux de transfert de chaleur Conductivité thermique Surface de la parois Positions p/r axe des x

Si k n’est pas constant Nous devons insérer l’équation: k = a + bT Dans l’équation précédente:

Résistance Tel que mentionné précédemment: Le rendement d’un procédé de transport équivaut à la force conductrice divisée par la résistance Exprimé en K/W

Conduction dans un conduit Dans plusieurs situations industrielles: Conduction à travers un tuyau cylindrique La température interne correspond à T1 La température externe correspond à T2

Reprendre l’équation de Fourier Adaptation aux longueurs exprimées en rayon L’aire (surface) en contact dans et à l’extérieur du tuyau correspond à: En combinant et en intégrant entre les deux valeurs de ‘r’:

En multipliant le dénominateur et numérateur par (r2-r1) Pour les tuyaux En multipliant le dénominateur et numérateur par (r2-r1)

Où…

Problèmes typiques Une tubulure cylindre en caoutchouc dur à parois épaisse possédant un rayon interne de 5 mm et un rayon externe de 20 mm est utilisée comme système de refroidissement dans un bain. De l’eau glaciale s’écoule rapidement à l’intérieur et la température du mur interne est de 274.9 K. La température de la parois externe est de 297.1 K. Un total de 14.65 W doivent être enlevés du bain par ce réfrigérant. Quelle longueur de tube est nécessaire?

Pour une sphère creuse Adaptation aux longueurs exprimées en rayon L’aire (surface) en contact dans et à l’extérieur du tuyau correspond à: En combinant et en intégrant entre les deux valeurs de ‘r’:

Sphère creuse

Solides en série Parois planes en série: Comme Quand nous avons une succession de matériaux présents (toujours dans un seul plan) Comme Transfert de chaleur doit être équivalent entre chaque couche On utilise successivement l’équation de Fourier

Équations

Isoler ΔT

Combiner les équations On exprime donc le tout en fonction de la perte de température et de la résistance totale de la série de matériaux

Exemple typique Une chambre froide est composée d’une épaisseur interne de 12.7 mm de pin, d’une couche centrale de panneau de liège de 101.6 mm et d’une couche externe de 76.2 mm de béton. En utilisant les valeurs de conductivité respective de (0.151, 0.0433 et 0.762 W/m*K, calculez la perte de chaleur en W pour 1 m2 et la température à l’interface entre le bois et le liège. La température à l’intérieur de la chambre est de 255.4 K tandis qu’elle est de 297.1 à la sortie du béton.

Conduites multicouches Facile d’associer à une situation ou un tuyau sera isolé pour des raisons diverses:

Ainsi

Aussi

Exemple typique Une conduite à parois épaisse en stainless ayant un k=21.63 W/m*K avec un diamètre intérieur de 0.0254 m et un diamètre extérieur de 0.0508 m est couvert avec une couche de 0.0254 m d’épais d’isolant (k=0.2423 W/m*K). La température interne du conduit est de 811 K et la surface externe de l’isolation est à 310.8 K. Pour un tuyau d’une dimension de 0.305 m, calculez la perte de chaleur et aussi la température à l’interface entre le métal et l’isolant.

Transfert de chaleur avec fluides Le liquide a condenser entre par la partie F et sort par la partie G, la partie K sert à ventiler la partie de vapeur qui ne pourra être condensée. Le liquide qui doit être chauffé entrera par la parie H, passera à travers des plaques perforées composées de différents tubes (B2 vers B1) et sortira à la partie J. Le liquide et la vapeur ne seront en contact que par les tubes A.

Fonctionnement Si la vapeur entrante: Si le condensat: Un seul composant N’est pas ultra-chaude Si le condensat: N’est pas super-refroidit sous sa température de condensation La température sur la parois du condensateur Sera constante sur tout le caisson

Schématiquement Si on porte la température en fonction de la longueur du condensateur Tca est la température du fluide à l’entrée et Tcb est la température du fluide à la sortie, à une distance L de l’entrée on définit la température Tc et la différence de température entre la condensation de la vapeur et celle du fluide dont la température croît porte le nom de ΔT. La différence entre la température d’entrée du fluide et la température de condensation de la vapeur est ΔT1 et entre la température de condensation de la vapeur et celle du fluide à la sortie du condenseur est ΔT2.

Aussi Les deux différences de températures: ΔT1 et ΔT2 porte le nom d’approches Le changement de température du fluide: Tcb-Tca porte le nom de domaine de température Pour l’instant nous posons: ΔT symbolise une différence de température Entre deux objets ou deux fluides Ne symbolise pas la différence de température au sein du même fluide

Échangeur double parois Un autre exemple commun d’échangeur de chaleur qui fonctionne un peu différemment du procédé mentionné précédemment. Nous avons l’équivalent d’un tuyau qui passe dans un autre mais les fluides ne sont pas en contact. Habituellement le fluide de parois sert à refroidir le fluide au centre. Ils ne sont encore une fois en contact que par la parois du tube les séparant.

Écoulement en parallèle Se produit dans une situation où l’écoulement des deux fluides se fait dans la même direction La température d’entrée pour le fluide chaud est de Tha et celle pour le fluide froid est de Tca La température de sortie pour le fluide chaud est de Thb et celle du fluide froid est de Tcb

Écoulement contre-courant Se produit dans une situation où l’écoulement des deux fluides se fait dans une direction inverse La température d’entrée pour le fluide chaud est de Tha et celle pour le fluide froid est de Tca La température de sortie pour le fluide chaud est de Thb et celle du fluide froid est de Tcb

Balance d’énergie Nous définissons la balance d’énergie dans les échangeurs de chaleur de la façon suivante: Enthalpie par unité de masse Écoulement massique (mass flow) Taux de transfert de chaleur dans l’écoulement

Spécifications On peut cibler des valeurs de q: Propre au fluide chaud Propre au fluide froid

On rapporte en cp Valeur d’enthalpie peuvent être exprimées En valeur de chaleur spécifique (cp) Chaleur spécifique (fluide chaud) Chaleur spécifique (fluide chaud)

Enthalpie dans le condenseur Pour un condenseur: Pour avoir cette équation: On assume que le fluide chaud quittera le condensateur à la température de condensation Th Chaleur de vaporisation latente de la vapeur Taux massique de condensation

Toutefois… Il arrive peu souvent que le fluide chaud: Ressorte à la température de vaporisation Souvent en dessous (il condense) Incidemment il faut ajuster l’équation

Coefficient de transfert de chaleur généralisé Dans un échangeur de chaleur: ΔT est définit comme Th-Tc Toutefois: Température varie au long de l’échangeur Et incidemment: La longueur de l’échangeur aura de l’importance

Coefficient de transfert de chaleur généralisé local Coefficient U Taux de transfert de chaleur dans l’écoulement Coefficient de transfert de chaleur généralisé local Surface de l’échangeur

U Facteur de proportionnalité: Entre dq/dA et ΔT Porte le nom: Coefficient de transfert de chaleur généralisé local Si on considère que A est la surface externe du tube échangeur de chaleur: A = A0 U = U0 Si on considère que A est la surface interne du tube échangeur de chaleur: A = Ai U = Ui

Et donc… Ou ΔT et q sont indépendant du choix de surface A et D sont reliés logiquement

Pour pouvoir appliquer l’équation suivante: La surface doit être connue L’équation doit être intégrée Pour y arriver, nous assumons: Le coefficient U est constant La chaleur spécifique du fluide chaud et froid sont constants L’échange de chaleur avec l’air ambiant est négligeable L’écoulement est en régime stable et est soit parallèle ou contre-courant

Aussi Parmi les hypothèses précédentes: Le plus questionnable est le U constant (1) Le coefficient varie en fonction de T Mais le changement: Graduel Intervalles de température modérés Donc pour un facteur U constant L’erreur est mince

Aussi Les assomptions 2 et 4 impliquent que lorsque Tc et Th sont portés sur un graphique en fonction de q, des lignes droites seront obtenues

Taux de transfert de chaleur dans tout l’échangeur Ainsi Approches Taux de transfert de chaleur dans tout l’échangeur

Remplacer dq

En intégrant Si on intègre par la suite entre ΔT1 et ΔT2 et entre une surface nulle jusqu’à la valeur de AT qui plus les la surface totale du transfert de chaleur nous obtenons:

Isoler qT De l’équation précédente: On peut isoler la valeur de qT

LMTD Différence de température moyenne logarithmique Quand ΔT1 et ΔT2 sont presque égaux leur moyenne arithmétique peut aussi être employée Mais la LMTD plus vaste

Domaine d’application Si on parle d’une situation ou un des deux fluides est à température constante, cette équation s’applique aux écoulements à contre-courant, courant parallèle

Domaine d’application Si on parle d’une situation où les deux fluides sont à des températures variantes et à contre-courant, l’équation peut être remodelée comme ci-haut.

Si U varie régulièrement Si le coefficient de transfert de chaleur généralisé local varie régulièrement on utilise l’équation suivante: Pour y arriver on assume que U varie linéairement avec la tombée de température sur l’ensemble de la surface chauffante.

LMTD non valide Dans des situations ou ΔT1 et ΔT2 ne varient pas linéairement par rapport à q Refroidir et condenser de la vapeur à haute température Refroidir une réaction exothermique

Vapeur à haute température

Réaction exothermique

Coefficients individuels de transfert de chaleur Le coefficient de tout le système dépend: Propriétés physiques du fluide Propriétés de la parois solide de l’échangeur L’écoulement Les dimensions de l’échangeur Le moyen le plus logique de gérer tout le système: Cumuler les résistances individuelles

Exemple Considérons le coefficient à un endroit spécifique dans l’échangeur ci-haut

Assumons maintenant Fluide chaud à l’intérieur Fluide froid à l’extérieur Nombre de Reynold des deux fluides: Suffisamment grand Assure un écoulement turbulent Les surfaces de tube: Sont propres

Schématisation

Coefficient de transfert Le coefficient de transfert de chaleur du fluide chaud peut ainsi être défini Le terme sera négatif en raison de la perte de chaleur

Coefficient de transfert Le coefficient de transfert de chaleur du fluide froid peut ainsi être défini Le terme sera positif en raison de l’inversion volontaire de Twc et Tc

Assumons aussi Très souvent Twc-Twh: Près de 0 On utilise une valeur généralisée correspondant à la température à la parois: Tw La réciproque de ces coefficients: 1/hh et 1/hc Sont les résistances thermiques

On ajoute l’effet du solide Pour une parois: D’épaisseur xw Conductivité thermique La résistance thermique devient: xw/k Si on ajuste aux changements de surface Les résistances individuelles deviennent généralisées: 1/U

On assume aussi Les transfert de chaleur près de la parois: Se produisent seulement par conduction On peut donc se référer: L’utilisation du w souligne le fait: Le gradient doit être déterminé à la parois

En éliminant dq/dA

Adaptation ‘libre’ T est la température moyenne du fluide Th équivaut à T pour le côté chaud Tc équivaut à T pour le côté froid Inversion de Tw et T du côté froid pour signifier le gain de chaleur

Équation sans dimension On a vu le Re Maintenant on verra le Nu Le nombre de Nusselt En modifiant le h: On le multiplie par une distance: Dans le cas d’un tube par D On le divise par la conductivité thermique

Nombre de Nusselt Si on parle de la partie froide: La partie du bas est remplacée par Tw-T

Explications du Nu Expliquons en fonction de l’équation Dans la partie de droite: (dT/dy)w : Gradient de température à la parois T-Tw/D : Gradient de température à travers le conduit au complet Nu: ratio de ces deux gradients

Sommairement Coefficient de transfert de chaleur externe Aire externe du tube Coefficient de transfert de chaleur interne Aire externe du tube

Coefficient sommatif La question est à ce point: La réponse: Comment aller chercher un coefficient sommatif de tout l’échangeur des chaleur? La réponse: À partir des coefficients individuels Combinée à la parois de la conduite

Conductivité thermique de la parois Épaisseur de la parois du tube Pour la parois Conductivité thermique de la parois Différence de température à la parois Flux local de chaleur basé sur la moyenne logarithmique de la surface interne et externe de la conduite Épaisseur de la parois du tube

Combinons

On solutionne pour dAo Le choix de dAo est arbitraire (nous aurions aussi bien pu prendre dAi) mais nous permettra d’aller plus loin car:

Ainsi… Et en considérant…