Fronts d’onde 3-D Introduction ; Fronts d’onde Trame cuboctaèdrique Conférence AMINA Monastir,Tunisie 13-15 novembre 2008 Labo A²SI ESIEE Un. Paris Est, France Fronts d’onde 3-D Introduction ; Fronts d’onde Trame cuboctaèdrique Extrémités et bifurcations : rein embryonnaire Nombre d’Euler-Poincaré Goulets et dénombrements : diaphyse du tibia Métriques digitales : Ostéocytes J. Serra A2SI ESIEE, Un. Paris-Est J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 1

Arborescence de reins embryonnaires Arborescences du développement in vitro de reins d’embryons de rat (Prof. John Bertram, Dpt. d’anatomie, Faculté de Médecine Un. de Melbourne): Comment caractériser leurs branchements et leurs extrémités 3-D ? J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 2

Diaphyse du tibia d’un embryon de poulet Deux coupes d’une série de cent (Dr. M. Staub ,M. Mendjeli, Service d’orthopédie, CHU St Louis, Paris) : Comment caractériser les cylindres emboîtés et leurs raccords ? J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 3

Extraction d ’ostéocytes Deux coupes d’une série de 60 (Prof. V. Howard, Dpt d’anatomy, faculté de médecine, Un. De Liverpool) Comment extraire les ostéocytes présents dans une séquence de 60 sections, en microscopie confocale J. Serra Morphological descriptions using three-dimensional wavefronts Image Analysis & Stereology, n° 21, sept 2002 J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 4

Front d’onde géodésique Lorsqu'on provoque un ébranlement en jetant un caillou dans un lac, un chapelet d'ondes se déploie et progresse, en contournant les obstacles éventuels, jusqu'aux points les plus éloignés du milieu. Le front d'onde, circulaire en l'absence de bords, lèche sinon les contours des îles et du lac pour finir par le parcourir complètement Disque géodésique Fonction distance géodésique J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 5

Métrique géodésique C'est pour extraire des objets connexes pointés par des marqueurs que F. Meyer et J.C. Klein a le premier transposé ces notions au cadre de la morphologie mathématique, et la première formalisation, sous le nom de ''métrique géodésique'' fut établie par C. Lantuejoul et S. Beucher. Elle repose sur le thèorème suivant de G.Choquet Théorème : Soit E un espace métrique compact et soient A et B deux parties fermées disjointes de E. S'il existe des courbes rectifiables d'extrémités dans A et B, et si l désigne la borne inférieure de leurs longueurs, alors il existe un arc simple de longueur l et d'extrémités dans A et B. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 6

Digitalisation: Boule => Cuboctaèdre Les 12 projections du centre du cube sur ses arêtes génèrent un cube-octaèdre de 13 voxels. Les cube-octaèdres ne pavent pas l’espace (ils laissent les lacunes octaédriques entre eux) Cependant, ils génèrent un réseau régulier où toutes les arêtes ont la même longueur. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 7

Grilles en Quinconce Décomposition en quinconces des sections du cuboctaèdre En trame cubique, on construit les éléments structurants dodécaèdriques en adoptant deux modes, selon que le centre est dans un plan pair ou impair : Plans du haut et du bas : plan central impair : Plans du haut et du bas : plan central pair : . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . . 1 . 1 . 1 1 1 . . . . . 1 . 1 1 1 . . . . 1 1 . 1 . 1 1 1 J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 8

Eléments ultimes de fronts d'onde Soit Bl (x) la boule géodésique ouverte de rayon l et de centre x et l0 la borne supérieure des l tels que Bl soit strictement inclus dans Z. Comme les compacts non vides Z \ Bl (x), l < l0 décroissent l'intersection È { Z \ Bl (x), l < l0 } est un compact non vide, dont tous les points sont à la distance maximale l0 de x. On appelle ''érodé ultime'' cette intersection, et Bl0 (x) dilaté ultime du point x. L'existence de points extrêmes s'envisager aussi bien dans un cadre régional, et non plus global. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 9

Fronts d'ondes et arborescences (I) Soit Z un compact de Zn et xÎZ, un point de Z. Etudions la variation du nombre des composantes connexes du front d'onde F( l ,x) quand, l augmentant, l'espace Z est balayé. On suppose que les éléments critiques bifurcation ou confluent restent en nombre fini, de sorte qu'on peut toujours trouver au voisinage d'une bifurcation, un intervalle ouvert ne contenant qu’elle . F( l0,x) x Exemple de bifurcation J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 10

Fronts d'ondes et arborescences (II) Le compact K (l) = Z \ B°(l,x) possède une unique composante connexe, lorsque l < l0 et davantage quand l >l0 .Pour déterminer ce qui se passe en l0 notons d'abord que s'agissant de compacts, on a È { K (l) , l < l0 } = K(l0) De plus, K(l0) est formé d'une seule composante connexe. Sinon, elles seraient séparées par une distance minimale d, ce qui est incompatible avec le fait que pour toute dilatation de taille e avec 0< e <d, le dilaté géodésique de K(l0) devient connexe. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 11

Fronts d'ondes et arborescences (III) On a le résultat suivant Proposition: Soit un compact Z de Zn. Si pour tout point xÎZ, le front d'onde F( l ,x) issu de x admet un nombre fini, et à variation finie, de composantes connexes, alors quand le rayon l varie F(l ,x) partitionne Z en un nombre fini de tronçons connexes correspondant à des intervalles ouverts de l et séparés par des composantes connexes du front qui sont localisées aux points critiques des bifurcations. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 12

Fronts d'ondes et arborescences (IV) Remarques: L'application «arborescence» x®P(x) qui, à tout point xÎZ associe un partition, varie évidemment avec le choix du point x. Un arbre (végétal) est une partition pour laquelle il n'existe pas de confluents pour x convenablement choisi (i.e. dans le tronc). C'est de connexité qu'il est ici question, et non pas d'homotopie: les tronçons peuvent présenter des pores fermés ou être percés de trous. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 13

Arborescence de rein embryonnaire Problème : Caractériser l’arborescence du développement In vitro du rein d’un embryon de rat Méthode : en quatre étapes: 1/ construction d'un ensemble à partir des données initiales 2/ fonction distance géodésique du point d’ancrage 3/ extrémités; 4/ branchements. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 14

Arborescence de rein embryonnaire Rein binarisé (vue perspective) Fonction distance du pied J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 15

Arborescence de rein embryonnaire Maxima de la distance (non filtrés) Extrémités (filtrées) J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 16

Arborescence de rein embryonnaire Bifurcations tridimensionnelles vues en perspective sur la projection du rein J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 17

Nombre d’ Euler -Poincaré Les graphes spatiaux sont le point de passage obligé entre espaces euclidien et digital pour toutes les questions d’homotopie. Définis dans Å3 , ils peuvent être réinterprétés dans Í3 , et les notions qui en dérivent possèdent le même sens dans les deux espace. C’est en particulier le cas pour le nombre n (Y) d’Euler-Poincaré (ou ECP) de l’ensemble Y = X ~ E ~ F formé des sommets, arêtes, faces et blocs du graphe X , et qui vaut n (Y) = N (sommets) + N (faces) - N (arêtes) - N (blocs) Du point de vue digital, le problème consiste alors à associer des graphes convenables aux objets étudiés . J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 18

Nombre d’ Euler -Poincaré Digital Dans Z1 on a n1 (Y) = N (sommets) - N (arêtes) = N ( ) - N ( ) . Dans Z2 il vient pour la grille carrée, n2 (Y) = N (sommets) - N (arêtes) + N (faces) = N ( ) - N ( ) - N ( ) + N ( ) . Par comparaison entre n1 et n2 , on trouve n2 (Y) = n1 (Y) - n1 (Y , ) . J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 19

Nombre d’ Euler -Poincaré Cubique De même, dans Z3 il vient pour la grille cubique n3 (Y) = N (sommets) - N (arêtes) + N (faces) - N (blocs) = N ( ) - N ( ) - N ( ) + N ( ) - N ( ) + N ( ) + N ( ) - N ( ) On retrouve le même accroissement que précédemment, puisque n3 (Y) = n2 ( Y ) - n2 ( Y , ) ( 1 ) . J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 20

Segmentation du tibia Problème :(diaphyse du tibia d’un embryon de poulet) : - L’os se structure en cylindres co-axiaux : les segmenter ; - Ces cylindres sont à peu près équidistants et connectés entre eux par des ponts étroits : les extraire ; - Des trous sont répartis sur l’os : les compter. Tibia (vue du dessus) et marqueur interne J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 21

Segmentation du tibia Description quantitative : On envahit le tibia à partir du centre, par dilatations géodésiques. On mesure à chaque pas le volume du front d’onde et on en trace la courbe. Les minima indiquent la traversée des zones « ponts » J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 22

Segmentation du tibia Les minima indiquent la traversée des zones « ponts », d’où la segmentation en enveloppes cylindriques emboîtées. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 23

Nombre d’Euler du tibia Tibia : pour la pile des 100 sections, nous avons n3 (tibia) = - 1885 (une composante connexe unique, mais percée de trous) J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 24

Nombre d’Euler du tibia Ponts: Par différence entre les dilatations géodésiques n° 6 et 5 on obtient le premier jeu de ponts. On peut régulariser par une petite dilatation 3-D de taille un n3 (ponts) = 1447 n3 (ponts +B ) = 32 J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 25

Extraction d ’ostéocytes b) But : extraire les ostéocytes présents dans une séquence de 60 sections, en microscopie confocale - Clichés a) et b) : sections 15 et 35 ; - Image c) : supremum M des 60 sections. J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 26

Extraction d ’ostéocytes f) d) d) : seuil de c) au niveau 60 ; e) : ouverture connexe de d) f) : dilatation géodésique infinie de la séquence seuillée au niveau 200 , dans le masque e) ( visualisation en perpective ) J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 27

Conclusions Certaines structures 3-D sont à peu près visibles, d’autres pas; Les structures de type géométrico-topologique, comme: bifurcations, extrémités, étranglements sont accessibles par front d’onde 3-D, associé à des mesures du nombre d’Euler-Poincaré; On implémente ces fronts par des dilatations géodésiques cube-octaèdriques; La méthode , présentée pour des exemples d’anatomie, s’applique aussi bien à l’imagerie radiologique (scanner X, RMN). J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 28

Merci de votre attention ! J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 29

Référence   J. Serra "Morphological descriptions using three-dimensional wavefronts"  Image Analysis & Stereology - Special issue "Looking at Measurement from Various Operations of Image Analysis", dedicated to 8th ECS, Bordeaux, sept. 2001, 2002. 21(Supplt 1): p. S13-S21 J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 30