Les séries trigonométriques de Joseph Fourier (1768-1830) Conception et Réalisation : Olivier Guédon, lycée Rempart, Marseille. Mars 2004

Comment, à partir de l’étude de la chaleur et de sa répartition dans un solide homogène, Fourier introduit les séries trigonométriques ?

Théorie analytique de la chaleur : plan général (1822) Chapitre 1 : Introduction Chapitre 2 : Équation du mouvement de la chaleur Chapitre 3 : Propagation de la chaleur dans un solide rectangulaire infini. Chapitre 4 : Équation du mouvement linéaire et varié de la chaleur dans une armille Chapitre 5 : Propagation de la chaleur dans une sphère solide Chapitre 6 : Mouvement de la chaleur dans un cylindre Chapitre 7 : Propagation de la chaleur dans un prisme rectangulaire Chapitre 8 : Mouvement de la chaleur dans un cube solide Chapitre 9 : Diffusion de la chaleur

Théorie analytique de la chaleur : le chapitre 3(1822) Exposition de la question Premier exemple de l’usage des séries trigonométriques Remarques sur ces séries Solution générale Expression finie du résultat de la solution Développement d’une fonction arbitraire en séries trigonométriques Application à la question actuelle.

L’énoncé du problème x T=0° T=0° Figure originale y T=1° En régime permanent, quelle est la température en chacun des points de cette masse solide homogène ? x T=0° T=0° Figure originale y T=1° Figure dans le plan de coupe Plan de coupe Les limites en y : -π /2 et + π/2

Devinette Quel type de solution conjecturez vous ? y x T

Equation et conditions aux limites Équation à laquelle obéit la fonction solution . (x,y) représente la température au point de coordonnées x et y. Figure Condition limite 1 : lim x  (x,y) = 0 (y) Condition limite 2 :  ( x , -π/2 ) = 0 et  ( x , π/2 ) = 0 (x) Condition limite 3 :  ( 0 , y ) = 1 (y) Comment trouver la fonction (x,y) ?

Une idée : la séparation des variables Si (x,y) peut se mettre sous la forme (x,y) = F(x). f(y) l’équation : devient ou encore

Élimination de solutions Si F’’/F = m alors on aura f’’/f = - m pour que l’équation soit respectée. On est conduit à : F(x) = e –n x et f(y) = cos (ny) avec m = n2 On a éliminé la solution en F(x) = e + n x car la condition aux limites 1 ne serait pas respectée. Remarque : si on avait pris F’’/F = - m et f’’/f = m on aurait été conduit à une fonction exponentielle en y et sinusoïdale en x qui ne peuvent satisfaire aux conditions aux limites.

Ebauche de solution On obtient : (x,y) = e –n x cos(ny) (x,y) doit respecter la condition aux limites 2 :  ( x , -π/2 ) = 0 et  ( x , π/2 ) = 0 Le coefficient n (positif) n’est pas unique Les valeurs possibles pour le coefficient n sont (annulation d’un cosinus pour  /2) : n = 1 ; n = 3 ; n = 5 etc… (valeurs entières impaires)

(x,y) écrite sous forme d’une d’une série Pour obtenir une expression la plus générale pour , on l’écrira comme une combinaison linéaire des solutions trouvées avec les valeurs précédentes de n Cette fonction répond aux conditions aux limites 1 et 2. Elle doit encore satisfaire la condition 3 !

Apparition d’une série Condition aux limites 3 :  ( 0 , y ) = 1 conduit à Les coefficients a, b, c etc.. doivent être tels que cette équation doit être vérifiée quelque soit y ! ! Fourier prévient l’étonnement du lecteur : « on pourrait douter qu’il existât une pareille fonction, mais cette question sera pleinement éclaircie par la suite » (§ 169)

Calcul des coefficients Pour calculer a,b,c, on écrit l’équation précédente en y = 0 : 1 = a + b + c On dérive 2 fois et on écrit l’équation pour y = 0 : 0 = a + 32b + 52c On dérive 2 fois encore et on écrit l’équation pour y = 0 : 0 = a + 34b + 54c On résout le système et l’on voit se dessiner une forme généralisable, si l’on prend un nombre de coefficients infinis. Ainsi on obtient : «  Cette dernière expression est connue d’après le théorème de Wallis » (§173) Le théorème de Wallis (1685) donne  comme un produit infini de fractions de nombres entiers  a = 4 /  De même : b = - 4 / 3  ; c = 4 / 5  etc …

Fourier exploite le filon On donne à y des valeurs particulières et on retrouve des séries déjà publiées par Euler On intègre les deux membres de l’équation, on obtient encore d’autres séries « qui n’avaient pas été remarquées » (§ 184) Exemple :  / 4 = sin(x) + sin(3x)/3 + sin (5x) /5+…

Une expression infinie de la solution Mode 1 Mode 3 Mode 5

Les Modes x y Mode 1 (x,y)= e – x cos(y) Mode 3 (x,y)= e – 3 x cos(3y) Mode 5 (x,y)= e – 5 x cos(5y) Pour un mode donné, le profil de température en y  reste la même lorsqu’on progresse en x. Les modes d’ordre élevé s’atténuent plus rapidement.

Phrases clés « Le mouvement de la chaleur se décompose toujours en une multitude de mouvements élémentaires, dont chacun s’accomplit comme s’il était seul » (§ 170) « Tous ces systèmes partiels existent à la fois dans celui que représente l’équation ; ils se superposent et le mouvement de la chaleur a lieu pour chacun d’eux de la même manière que s’il était seul. » (§ 191)

Expression finie de la solution et courbe (x,y) T=(x,y) Plus on s’éloigne en x, plus la répartition de la chaleur s’identifie au premier mode (filtrage des modes avec la distance) x y

La périodicité « L’équation appartient à une ligne qui, ayant pour abscisse x et y pour ordonnée est composée de droites séparées dont chacune est parallèle à l’axe x et égale à la demi circonférence » (§ 178) y x 

Unicité de la solution On part d’un état initial où la température est nulle en tout point et on arrive à l’état final de température (x,y) : EI ( 0 ) + (A=1, B=0, C=0)  EF (  ) Si on part d’un état initial où la température est f(x,y) en tout point, on arrive à l’état final où la température est (x,y) en tout point : EI ( f ) + (A=1, B=0, C=0)  EF () Si on part d’un état initial où la température est déjà (x,y) en tout point, on arrive à l’état final de température (x,y) : La température n’évolue pas au cours du temps. Cette situation caractérise une solution du problème. Si on part d’un état initial où la température est f(x,y) en tout point, et qu’on maintient les 3 faces A, B, C à 0, on arrive à l’état final où la température est nulle en tout point : EI ( f ) + (A=0, B=0, C=0)  EF ( 0 ) La situation EI ( f ) + (A=1, B=0, C=0)  EF () peut se décomposer en 2 situations : EI () + (A=1, B=0, C=0)  EF () ET EI ( f- ) + (A=0, B=0, C=0)  EF (0) Supposons maintenant que ’ soit aussi une solution mathématique du problème. On aurait aussi EI ( ’ ) + (A=1, B=0, C=0)  EF ( ’ ) En soustrayant avec EI (  ) + (A=1, B=0, C=0)  EF (  ) on obtiendrait EI ( - ’) + (A=0, B=0, C=0)  EF (- ’) ce qui est impossible car « on aurait un état partiel qui devrait subsister de lui même, quoique les arêtes A, B et C fussent entretenues à la température 0. (§ 204)

Remarques Coquilles : p164, 168, 215 Notations de 1822 Carré s’écrit « quarré » On écrit Fx en lieu de F(x) Pas de notation spéciale des dérivées partielles L’imaginaire pur s’écrit encore : Introduction de la notation (§ 231)

Remarque Le premier signal que Fourier décompose est un signal constant (1) sur une demi circonférence, et –1 sur l’autre demi circonférence. C’est aussi, en règle générale le premier signal (signal carré) que tout professeur de traitement du signal qui enseigne les séries de Fourier décompose.

Remarques Fourier ne travaillait pas sur la variable temps mais la variable distance Fourier ne travaillait pas au départ sur des signaux périodiques Fourier propose une démarche du particulier au général Fourier écrit : « la question abordée nous a paru plus propre qu’aucune autre à faire connaître les éléments de la méthode que nous avons suivie » (§ 163). Il y a donc une démarche pédagogique délibérée de sa part. Fourier aurait pu faire un ouvrage spécial consacré aux séries trigonométriques. Heureusement la présentation de ces séries comme chapitre d’un ouvrage sur la chaleur nous donne accès à une démarche dans laquelle raisonnement physique et raisonnement mathématique restent étroitement mêlés.

Physique et Mathématiques

Physique et Mathématiques : la démarche Problème physique Raisonnement physique Équation mathématique Raisonnement mathématique Une solution mathématique Raisonnement physique La solution mathématique

Applications pédagogiques (Terminale, 1er cycle universitaire) Difficulté d’introduire la démonstration de Fourier en cours de traitement du signal : fonction de 2 variables, étude sur la chaleur. Possibilité d’un cours expliquant la démarche conceptuelle de Fourier Possibilité d’un T.P.E. physique, mathématique. Possibilité de faire un exercice ou un problème.

Remerciements Référence Stagiaires 2003-2004 du stage PAF : utilisation de l’histoire des sciences en physique Classe de première année BTS électronique au lycée Rempart (année 2003-2004) Référence Théorie analytique de la chaleur, Joseph Fourier, 1822.