On lance 100 fois de suite une pièce de monnaie. PROBLEMATIQUE On lance 100 fois de suite une pièce de monnaie. On obtient 45 fois PILE et 55 fois FACE . Cette pièce est-elle « équilibrée » ?

Étude expérimentale à l’aide du tableur On simule le lancer d'une pièce 100 fois C’est : 1 échantillon. et on recommence ainsi pour N échantillons de 100 lancers Fichier Adequation.xls

Pour notre pièce EXPERIMENTALE Pour une pièce THEORIQUE Pour chaque échantillon on note: f1 la fréquence d’apparition de pile (codée 0) f2 la fréquence d’apparition de face (codée 1) Pour une pièce THEORIQUE f 1 = f 2 = 1/2

Comparaison Théorie/Expérience On calcule pour chaque échantillon un paramètre de dispersion : Fichier Adequation.xls

Pour une pièce THEORIQUE f1 = 1/2 et f2 = 1/2 d 2 est positif et d’autant plus petit que l’on est proche du modèle théorique. Il nous faut « étalonner » ce paramètre.

On regroupe ces résultats statistiques pour N=100, 500, 1000, 2000 échantillons. On calcule le 9 ième Décile = d9 90% des valeurs de d2 sont inférieures à d9

On remarque que d9 n’est pas fixe: c’est la fluctuation d’échantillonnage, mais d9 se stabilise lorsque le nombre d’échantillons N augmente N=100, 500, 1000, 2000.   N 100 500 1000 2000 Mini 1° Décile 0.0002 Q1 0.0008 Mé 0.0018 Q3 0.0072 9° Décile 0.01314 0.0162 0.0128 Maxi 0.0578

Statistiquement on peut affirmer que: Pour 90% des pièces, le paramètre de dispersion vérifie : d2 ≤ d9 10% des pièces vérifient : d2 > d9 On définit ainsi un niveau de confiance à 90% Et donc un seuil d’erreur de 10%

Qu’en est-il de notre ? d2 = 0,005 < d9 = 0,0128 Le paramètre d 2 de notre pièce est : d2 = 0,005 < d9 = 0,0128 Notre pièce ressemble aux 90% des pièces testées

Conclusion on dit qu’il y a Adéquation entre la pièce et le modèle théorique de pièce équilibrée avec un niveau de confiance de 90% ( soit un risque d'erreur de 10% )

Exercice Dans les mêmes conditions que ci-dessus, on veut tester trois pièces A, B et C. On lance 100 fois chaque pièce et on obtient les résultats suivants ( à compléter ) : Pièce A B C Nombre de FACE 43 47 40 Nombre de PILE 57 53 60 paramètre d 2 Adéquation ? Solutions

Ce dé est-il « équilibré » ? On lance 100 fois un Dé cubique et on obtient les résultats suivants : Face apparue 1 2 3 4 5 6 Effectif observé 20 11 12 17 21 19

et pi = 1/6 Face apparue 1 2 3 4 5 6 Effectif observé 20 11 12 17 21 19 d2 = 0.0089 Fichier Adequation.xls

avec un niveau de confiance de 90% Conclusion pour ce dé: < d2=0.0089 d9 = 0.015 On peut affirmer avec un niveau de confiance de 90% que ce dé est régulier.

Exercice Même chose avec le dé suivant : Face apparue 1 2 3 4 5 6 Effectif observé 14 21 12 9 20 24 d2 = ……………………………………………………………………………. Au niveau de confiance 90%, rejettera-t-on l'hypothèse que ce dé est régulier ? Solution

Réponses Les trois pièces A, B et C. d9 = 0.0128 Pièce A B C Nombre de FACE 43 47 40 Nombre de PILE 57 53 60 paramètre d 2 Adéquation ? 0.0098 0.0018 0.02 Oui Oui Non Retour

Solution d2 = 0.017 > d9 = 0. 015 pour ce dé : Face apparue 1 2 3 4 6 Effectif observé 14 21 12 9 20 24 d2 = 0.017 > d9 = 0. 015 Au niveau de confiance 90%, on rejette l'hypothèse que ce dé est régulier Retour

The End Retrouvez ce diaporama et le fichier Excel sur mon site http://www.elm.boxnet.net Exercices complémentaires

Annexe Deux autres critères de décision : La méthode de Karl Pearson (1857-1936) Le test du khi-2

Méthode de Pearson Condition: les k issues sont équiprobables pi = 1/k. (k=6 pour le dé) La taille de l’échantillon est n. Pour un niveau de confiance de 90%, on a : d2 < 2/n Pour un niveau de confiance de 95%, on a : d2 < 1,6/n Pour un niveau de confiance de 99%, on a : d2 < 3,4/n

Le test du khi-2 Pour notre dé : Pour un niveau de confiance de 90%, on a : 2 < 9,23635 Pour un niveau de confiance de 95%, on a : 2 < 11,0705 Pour un niveau de confiance de 99%, on a : 2 < 15,0863 5 degrés de liberté

Exercices complémentaires En adaptant pour chaque exercice la feuille de calcul, déterminer le 9° décile d9 . Ex. 1 Sur 200 semaines, on a examiné chaque jour, le nombre d’appels des pompiers d’une grande ville. Peut-on dire qu’il y a équiprobabilité pour chaque jour de la semaine, avec un risque d’erreur de 10% ? Ex. 2 Le maire d’une commune examine l’état civil à la fin d’une année. Il dénombre 134 naissances de garçons et 108 filles. En simulant 5000 échantillons de 242 naissances équiréparties, déterminer le 9° décile et en déduire s’il faut accepter ou rejeter l’hypothèse selon laquelle il naît autant de garçons que de filles. Ex. 2 Pour frapper sa balle, Roger Federer, dispose de quatre types de coups : le coup plat, lifté, coupé ou chopé. Sur 100 échanges, la distribution est la suivante : Que pouvez-vous en conclure ? Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi dimanche 26 27 29 30 39 23 Type de coup Plat Lifté Coupé Chopé Effectif 28 31 24 17