Une visite guidée dans le monde des ondelettes

plan Introduction Au royaume de Fourier SFT CWT DWT Applications

Introduction Pourquoi une transformée ? Optimiser la description des signaux pour extraire les informations désirées

Au royaume de Fourier Toute fonction peut être représentée par une somme de sinusoïdes Comment on peut le faire M.Fourier?!!!

La transformée de Fourier Analyse Synthèse

Le Succès Propriétés très intéressantes Algorithme très rapide

Limitations :La stationnarité Signal déterministe il peut se décomposer en une somme d'ondes sinusoïdales éternelles Signal aléatoire ses propriétés statistiques (moments) ne varient pas au cours du temps

La non-stationnarité C’est une « non-propriété » : elle n’est définie que par son contraire!!!!!!!!!!!!!!!!!

La physique et Fourier : limitations Il est ou le « la »?!!! Caractère globale Exemple : morceau musical Interprétation physique difficile Signal transitoire Réalité physique Pas de signal en dehors d’un certain support : zéro statique Fourier Zéro dynamique Interférence d’une infinité de sinusoïdes Contribution résultante nulle

Inégalité de Heisenberg-Gabor

Des classes de solutions Gabor transformées en ondelettes

Transformée de Fourier à fenêtre ou T. de Gabor Avec g(t)=e-t²

Interprétation : SFT comme filtrage f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0 B SFT temps fréquence Banc de filtre uniforme

Ondelettes : classification transformée continue Transformées redondantes trame d’ondelettes paquet d’ondelttes analyse multirésolution :base orthonormée Transformées non redondantes analyse multirésolution :base bi-orthogonale paquet d’ondelttes

Transformée en ondelettes continue : cdt. d’admissibilité Condition suffisante d’admissibilité pour une ondelette réelle  : avec aR+, bR Atome de base

Transformée en ondelettes continue Notée généralement CWT

CWT: interprétation comme filtrage B SFT fréquence SFT CWT f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0 f0 2f0 4f0 8f0 B 2B 4B 8B CWT temps

CWT: réelle ou complexe Ondelettes réelles détection des transitions brutales d’un signal  réelle voir l’évolution temporelle des composantes fréquentielles Ondelettes analytique  complexe

DWT :Analyse multirésolution Signal construit par raffinement successive Approximation+détail Le père : f. d’échelle (t) La mère: l’ondelette (t) f.b.orth f.b.orth Coefficients Approximation à l’échelle j Coefficients de détail à l’échelle j Approximation + détail

Rappel : bases orthonormales uV1, V1V0 Tel que W1 est le complémentaire orthogonale de V1 V0 u Pw1 u Pv1u V1

Rappel : bases orthonormales Soit {v1,v2,…,vn} une base dans l’espace V,tout vecteur (fonction)peut être écrit comme: j difficile à déterminer sauf pour une base orthonormale On peut écrire alors :

Analyse multirésolution Supposons qu’on se donne une fonction f appartenant à L([0,1]), discrétisée sur 8 valeurs : [ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]

Analyse multirésolution On voudrait exploiter une éventuelle corrélation entre valeurs voisines Moyennant les paires de valeurs voisines [ 1 3 5 8 11 15 16 20 ] [2 6.5 13 18] moyenne [–1 –1.5 –2 –2] Perte d’information 2+(– 1) = 1, 2 – (– 1) = 3, 6.5+(– 1.5) = 5, 6.5 – (– 1.5)= 8 , ………………….

Analyse multirésolution [9.875 –5.625 –2 .25 –2.5 –1 –1.5 –2 –2] moyenne différence [ 1 3 5 8 11 15 16 20 ] Résolution Moyenne détail 8 4 2 1 [ 1 3 5 8 11 15 16 20 ] [2 6.5 13 18] [4.25 15.5] [9.875]   [–1 –1.5 –2 –2] [–2 .25 –2.5] [–5.625]

Analyse multirésolution On peut considérer la fonction précédente comme une fonction sur [0,1] constante par morceaux sur les intervalles : I3,k = [2-3k, 2-3(k + 1)[, k = 0, . . . , 2-3 - 1. En notant φ (x) = I0,1(x) et φj,k(x) = φ (2jx - k), la fonction s’écrit : [9.875 –5.625 –2 .25 –2.5 –1 –1.5 –2 –2] moyenne différence [ 1 3 5 8 11 15 16 20 ] V0 V1 V2 V3 (t) (t) f (x) = 1φ3,0(x) + 3φ3,1(x) + 5φ3,2(x) +8 φ3,3(x) +11φ3,4(x) + · · · 15φ3,5(x) + 16φ3,6(x) + 20 φ3,7(x). On peut re-écrire alors f (x) = 2 φ2,0(x) + 6.5 φ2,1(x) + 13 φ2,2(x) + 18 φ2,3(x) + · · · (-1)ψ2,0(x) + (-1.5) ψ2,1(x) + (-2) ψ2,2(x) + (-2) ψ2,3(x) où : ψ(x) = I[0,1/2[(x) - I[1/2,1[(x)

Analyse multirésolution V0 le sous-espace vectoriel de L2([0, 1[) engendré par les fonctions constantes sur [0, 1[ Vj l’espace vectoriel des fonctions constantes par morceaux sur les intervalles Ij,k, k = 0, 2j – 1 V0  V1  V2  V3 Pour chaque Vj, la famille{ φ j,k, k = 0, . . . , 2j - 1} forme une base , et est orthogonale. la famille {j,k, k = 0, . . . , 2j - 1} est une base de l’espace vectoriel Wj supplémentaire orthogonal de Vj dans Vj+1.

Analyse multirésolution une analyse multirésolution de L2(R) est une famille M=VjjZ de sous espaces vectoriels fermés emboîtés · · ·  V-2  V-1  V0  V1  V2  · · · , [1] telle que [2]  jZ, f (x) Vj , f (2x)  Vj+1 [3] Il existe une fonction   V0 telle que : [4] {k, k  Z} est une base “stable” de V0, c’est à dire que :   Vj=Vj+1Wj+1

Algorithme de Mallat La clef : équations aux deux échelles Le père (t) dans V0  V1 avec La mère (t) dans V1 avec

Algorithme de Mallat: décomposition Relation entre l’approximation au niveau j+1 et l’approximation et le détail au niveau j ~ ~ aj+1,k H 2 aj,k 1-niveau de décomposition ~ G 2 dj,k h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n] ~ j<=0

Algorithme de Mallat: reconstitution Par projection de cette égalité sur j+1,k ,on trouve 2 G H + aj,k dj,k aj+1,k

Analyse multirésolution h[n]: Reconstruction, filtre passe-bas g[n]: Reconstruction, filtre passe-haut h[n]: Decomposition, filtre passe-bas g[n]: Decomposition, filtre passe-haut ~ ~ ~ ~ h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n] Filtre QMF

Analyse multirésolution x[n] x[n] ~ G H 2 2 G H + ~ ~ G H 2 2 G H + ~ 2 Decomposition Reconstruction

Analyse multirésolution: construction Choisir une famille de base orthonormée de fonctions d’échelle Déterminer le filtre h Vérifier la convergence de l’analyse avec l’algo. en cascade Définir le filtre g à partir de h et déduire l’ondelette associée à l’aide de l’algorithme en cascade Choisir h (passe bas) (orthogonal) Algo. en cascade pour vérifier la convergence Construire g à partir de h Remarque : L’analyse est discrète mais l’ondelette et la fonction d’échelle restent continuent

Ondelettes : Deux degrés de liberté : Le choix de l’ondelette Le nombre de niveaux de décomposition

Ondelettes : le choix nombre de moments nuls Tout polynôme d’ordre m  M M nombre de moments nuls dj0 DWT Le lien entre un polynôme et un signal quelconque : série de Taylor utile pour la compression , suppression des signaux

Ondelettes : le choix Support : quantifie resp. la localisation en temps et en fréquence Support compact Support non compact En temps En fréquence Bande étroite Bande limitée non étroite Filtre FIR Filtre IIR Daubechies, Symlets, Coiflets, etc. Meyer

Meilleurs sont les propriétés de Ondelettes : le choix Régularité Plus le nombre de moments nuls augmente plus l’ondeltte est régulière Meilleurs sont les propriétés de reconstruction esthétisme Utile pour obtenir des signaux ou images reconstruits lisses et réguliers

Ondelettes orthogonales Ondelettes : le choix Symétrie Utile pour éviter le déphasage (filtres à phase linéaire) Ondelettes orthogonales + Support compact O. asymétriques Ondelettes biorthogonales O. symétriques

Ondelettes : propriétés principales et classification Ondelettes à filtres Ondelettes sans filtres A support compact A support non compact réelles complexes Orthogonales Biortho-gaunales orthogaunales gaus, mexh, morl cgau, shan, fbsp, cmor db, haar, sym,coif bior meyr,dmeyr,btlm

Une rampe+un bruit colore(ARMA) db3 Applications :

Discontinuité dans le signal db1 Chapeau mexicain

Variante : transformée de Stokwell Ondelette de Morlet