Chapitre 5 Choix et demande

Rationalité économique Un consommateur choisit un panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles. Ensemble des paniers disponibles = ensemble de budget. Nous avons vu au chapitre précédent ce qu’on voulait dire par « préféré » Nous voulons dans ce chapitre intégrer ces deux dimensions (ensemble de budget et préférences)

Rationalité économique Notre objectif: étudier comment le panier choisi par le consommateur est affecté par des changements exogènes dans les prix ou dans la richesse du consommateur. Important: Les prix et/ou la richesse changent mais les préférences ne changent pas.

Programme mathématique (PC) décrivant le choix rationnel sous-contrainte

Le programme mathématique (PC) A toujours au moins une solution (théorème de Bolzano-Weirstrass) Une solution est un panier qui est préféré par le consommateur à tous les autres paniers disponibles Peut on obtenir une intuition géométrique sur ce choix rationnel ?

Choix Rationnel sous contrainte

Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte utilité Disponible mais pas optimal x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte Utilité Le préféré parmi les paniers Disponibles. disponible, mais pas optimal. x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte Utilité x2 x1

Choix Rationnel sous contrainte Utilité x1

Choix Rationnel sous contrainte Utilité x1

Choix Rationnel sous contrainte

Choix Rationnel sous contrainte paniers disponibles x1

Choix Rationnel sous contrainte Paniers disponibles x1

Choix Rationnel sous contrainte Paniers préférés Paniers disponibles x1

Choix Rationnel sous contrainte Paniers préférés Paniers disponibles x1

Choix Rationnel sous contrainte

Choix Rationnel sous contrainte (x1*,x2*) est le panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles. x2* x1* x1

Choix Rationnel sous contrainte Le panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles (solution du programme PC) est appelé DEMANDE MARSHALLIENNE Cette demande Marshallienne est une fonction (si solution unique) ou une correspondance (si solution multiples) des prix et de la richesse. On note cette relation fonctionnelle x1*(p1,p2,R) et x2*(p1,p2,R).

Choix rationnel sous contrainte Lorsque C = Rn+ et xi* > 0 pour tous les biens i, le panier demandé est dit INTERIEUR. Si acheter (x1*,…,xn*) coûte R euros alors la contrainte budgétaire est saturée.

Choix Rationel sous-contrainte (x1*,x2*) est intérieur. (x1*,x2*) sature la Contrainte budgetaire. x2* x1* x1

Choix Rationnel sous Constrainte (x1*,x2*) est intérieur. (a) (x1*,x2*) sature la C. B. p1x1* + p2x2* = R. x2* x1* x1

Choix Rationnel sous Contrainte (x1*,x2*) est intérieur . (b) La pente de la courbe d’indifférence à (x1*,x2*) est égale à la pente de la droite de budget. x2* x1* x1

Choix Rationnel sous contrainte (x1*,x2*) satisfait 2 conditions: (a) la contrainte budgétaire est saturée p1x1* +…+ pnxn* = R (b) la pente de la droite de budget, -pi/pj, et la pente de la courbe d’indifférence passant par (x1*,x2*) sont égales à (x1*,x2*).

Choix Rationnel sous contrainte La condition (a) sera vérifiée par tout choix d’un panier préféré dès lors que les préférences sont localement non-saturables (que le panier demandé soit intérieur ou non) La condition (b) ne sera vérifiée que si le panier choisi est intérieur.

Comment résoudre PC ?

Comment résoudre PC ? Puisque la contrainte budgétaire est saturée (si les préférences sont localement non-saturables) on peut écrire p1x1* +…+ pnxn* = R  x1* = (R - p2x2* -…- pnxn* )/p1

(PC) devient donc:

Les solutions intérieures de ce programme (sans contrainte) satisfont (si dérivabilité) les conditions de 1er ordre:

Et donc:

Si les préférences sont convexes, ces conditions sont en fait SUFFISANTES pour indiquer un panier optimal

Plus précisément un panier (x1*,…xn*) qui satisfait:

Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple Cobb-Douglas On se rappelle que les préférences Cobb-Douglas se représentent par la fonction d’utilité.

Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple Cobb-Douglas Si les préférences se représentent par. Alors

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. Donc le TMS est

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. Donc le TMS est A (x1*,x2*), TMS = -p1/p2 donc (A)

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas. Puisque (x1*,x2*) sature également la contrainte budgétaire, on a (B)

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.. Nous savons donc que (A) (B)

Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.. Nous savons donc que Substituons dans (B) (A) (B)

Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb-Douglas. Nous savons donc que (A) Substituons (B) Pour obtenir Ce qui se simplifie pour donner ….

Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb-Douglas .

Déterminer les Demandes Marshalliennes – un exemple Cobb-Douglas. En substituant pour x1* dans On obtient

Déterminer les demandes Marshalliennes – Un exemple Cobb-Douglas. Nous avons donc découvert que le panier disponible préféré d’un consommateur avec des préférences Cobb-Douglas est

Préférences Cobb-Douglas: une illustration géométrique. x2 x1

Qu’arrive t-il si le panier préféré contient une quantité nulle d’un bien ?

Un exemple: le cas des substituts parfaits TMS = -1 x1

Un exemple: Le cas des substituts Parfaits TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 > p2. x1

Un exemple: le cas des substituts parfaits TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 > p2. x1

Un exemple: Le cas des substituts parfaits TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 > p2. x1

Un exemple: le cas des substituts parfaits TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 < p2. x1

Un exemple: Le cas des substituts parfaits Donc, si U(x1,x2) = x1 + x2, la demande marshallienne est si p1 < p2 si p1 > p2.

Un exemple- le cas des substituts parfaits TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 = p2. x1

Un exemple: le cas des substituts parfaits Tous les paniers satisfaisant la contrainte à égalité sont préférés aux autres Paniers disponibles lorsque p1 = p2. x2 x1

Un exemple: Le cas des substituts parfaits Donc, dans ce cas la demande marshallienne est une correspondance Définie par si p1 < p2 si p1 = p2 si p1 > p2.

Autre exemple de solution de coin -des préférences non-convexes mieux x1

Autre exemple de solution de coin- des préférences non-convexes

Autre exemple de solution de coin – des préférences non-Convexes Quel est le panier disponible préféré? x1

Autre exemple de solution de coin – des préférences non-convexes Le panier disponible préféré x1

Autre exemple de solution de coin– des préférences non-convexes Notons que la condition (de 1er ordre) TMS = p1/p2 ne caractérise pas le panier disponible préféré ici. x2 Le panier disponible préféré x1

Un exemple non-dérivable- Les préférences pour les compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} a x2 = ax1 x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} x2 = ax1 TMS = 0 x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} ¥ TMS = - x2 = ax1 TMS = 0 x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} ¥ TMS = - TMS pas défini x2 = ax1 TMS = 0 x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} x2 = ax1 x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} Quel est le panier disponible préféré ? x2 = ax1 x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} Le panier disponible préféré x2 = ax1 x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} x2 = ax1 x2* x1* x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} (a) p1x1* + p2x2* = R x2 = ax1 x2* x1* x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} (a) p1x1* + p2x2* = R (b) x2* = ax1* x2 = ax1 x2* x1* x1

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*. La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = R

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*. La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = R ce qui nous permet d’obtenir

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits (a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*. La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = R ce qui nous permet d’obtenir

Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits U(x1,x2) = min{ax1,x2} x2 = ax1 x1

Un exemple non-dérivable – les préférences pour les compléments parfaits Demande marshallienne est une fonction (solution unique) Préférences strictement convexes et compléments parfaits: impliquent toujours unicité des solutions