Notions élémentaires d’asservissement
Commander Entrée Sortie Control input Output SYSTEME PROCESS Ordres Consigne , but fixé Sortie : variable à contrôler température du bain, position de l’avion … Action de commande : Action susceptible de changer l’état du système à commander. Control input Output PROCESS
Réglage de la température d’un four Commander Réglage de la température d’un four Ts = Tc Ts Tc = 100°C Actionneur Système de réglage
Réglage de la température d’un four Commander : exemple Réglage de la température d’un four Entrée Sortie Ts Débit du gaz combustible Tc = 100°C Tc
Système S.I.S.O. SISO
Système M.I.M.O. SISO
Réglage de la température d’un four Commander Réglage de la température d’un four Ts = Tc Ts Tc = 100°C Débit d’entrée Actionneur perturbation Système de réglage
Réglage de la température d’un four Commander : exemple Réglage de la température d’un four z : débit d’entrée Entrée Sortie Tc = 100°C Ts Débit du gaz combustible Sortie : variable à contrôler température de sortie. Perturbations : entrée secondaire variable aléatoire dont on ne connaît pas forcément l’origine variable prévisible liée au fonctionnement du système
Commander : exemple Réglage de la température d’un four z : débit d’entrée, température extérieure… Ts
Commander : exemple Réglage de la température d’un four z : débit d’entrée, température extérieure… Ts
Réglage de la température d’un four Commander : exemple Réglage de la température d’un four - + Tc = 100°C Ts Ts Débit d’entrée Actionneur perturbation Système de réglage
Réglage de la température d’un four Commander : exemple Réglage de la température d’un four Schéma fonctionnel Z TC DT Ts - + Tm
Commander Plus généralement… Chaîne d’action DX - + Chaîne de réaction
Commander Plus généralement… yc xC y xr y Chaîne d’action Signal d’erreur yc xC e = xc - xr y utilisation Organe d’affichage Chaîne d’action + - xr Chaîne de retour Signal de retour y
Modéliser
Transformée de Laplace xc(t) xs(t) Résolution de l’équation différentielle Recherche de Xc(p) = ℒ[xc(t)] Recherche de xs(t) = ℒ-1[Xs(p)] Calcul de : Xs(p) = H(p) . Xc(p) Xc(p) Xs(p)
Transformée de Laplace H(p) = Xs(p) / Xc(p) est la fonction de transfert du système, C’est la « trace » des équations différentielles dans le domaine fréquentiel. Sa connaissance suffit en général pour avoir une idée du comportement du système.
Transformée de Laplace Quelques formules indispensables f(t) F(p) — produit par une constante réelle : a.f(t) a. F(p) — dérivée : p F(p) – f(0+) — intégrale : — théorème de la valeur finale : — théorème de la valeur initiale :
Fonction de transfert d’un système linéaire Système linéaire = équation différentielle à coefficients constants Cas général (pour nous) : Transformée de Laplace :
Fonction de transfert d’un système linéaire Système linéaire = équation différentielle à coefficients constants Fonction de transfert :
Fonction de transfert d’un système linéaire Fonction de transfert : a (exposant du terme de plus bas degré) est la classe du système, elle conditionne sa précision. n (exposant du terme de plus bas degré) est l’ordre du système, il conditionne sa stabilité.
Cas des systèmes bouclés + - XS(p) (p) Xr(p) XC(p) H(p) K(p) Fonction de transfert en boucle fermée :
Cas des systèmes bouclés + - XS(p) (p) Xr(p) XC(p) H(p) K(p) Formule de Black : Fonction de transfert en boucle ouverte : Facteur de régulation :
Evaluer les performances entrée impulsion de Dirac : réponse impulsionnelle, entrée échelon : réponse indicielle , entrée rampe , entrée sinusoïdale : réponse harmonique (diagramme de Bode)
Diagrammes de Nyquist de H(jw) Im (H) a1 = r1cos j1 w = w = 0 Re (H) j1 r1 r1sin j1= b1 M1
Diagrammes de Nyquist de H(jw) Im (H) j w = H0 w = 0 Re (H) j j
Diagrammes de Nyquist de différents systèmes Classe 0, ordre 1 Classe 0, ordre 2 Classe 0, ordre 2 Classe 1, ordre 2
Réponses impulsionsionnelles de différents 2ème ordres
Réponses indicielles de différents 2ème ordres Fichier matlab diagi22.m m = 4
Réponses de différents 2ème ordres à une rampe
Diagrammes de Bode de différents 2ème ordres
Diagrammes de Nyquist de différents 2ème ordres
Réponses impulsionnelles de différents systèmes Classe 1, ordre 2 Classe 0, ordre 2 Classe 0, ordre 1 Classe 0, ordre 2 Fichier matlab : O1O2Pos.mat Taper: W0=1, enter, w1=1,enter, O1O2Pos(w0,w1), enter.
Réponses indicielles de différents systèmes BF + - XS(p) (p) Xr(p) XC(p) H(p) K(p) Classe 1, ordre 2 Classe 0, ordre 2 Réponses indicielles en boucle ouverte. Classe 0, ordre 1 Classe 0, ordre 2
Réponses à une rampe de différents systèmes Classe 0, ordre 2 Classe 0, ordre 2 Classe 1, ordre 2 Classe 0, ordre 1 Fichier simulink
Diagrammes de Bode de différents systèmes Classe 1, ordre 2 Classe 0, ordre 2 Classe 0, ordre 1 Classe 0, ordre 2
Réponses indicielles en boucle fermée des systèmes précédents + - XS(p) (p) Xr(p) XC(p) H(p) K(p) BO Classe 1, ordre 2 Classe 0, ordre 2 Classe 0, ordre 1 Classe 0, ordre 2
Réponses indicielles en boucle fermée des systèmes précédents Classe 0, ordre 2 Classe 0, ordre 1
Diagrammes de Nyquist de différents systèmes Classe 0, ordre 1 Classe 0, ordre 2 Classe 0, ordre 2 Classe 1, ordre 2