Matrice inverse et applications Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous présentons dans ce diaporama quelques applications de l’inversion de matrices. La première situation relève du domaine de la cryptographie alors que les autres relèvent des domaines présentés au chapitre 2, soit les chaînes de Markov et l’analyse de circuits.

Cryptographie On peut associer une valeur numérique à chaque lettre d’un message à partir d’un tableau de codage comme celui-ci (p. 93). Considérons le message : «Il fait beau» qui donne : 9 13 49 6 1 9 22 49 2 5 1 23 Représentons le message dans une matrice 2´6 : 9 13 49 6 1 9 22 49 2 5 1 23

Cryptographie On peut coder le message, sans perdre d’information, en multipliant par une matrice inversible. 2 –1 Considérons la matrice C = –3 1 Le produit CN donne alors le message codé : 2 –1 –3 1 • 9 13 46 6 1 22 49 2 5 23 = –4 –23 96 7 1 –5 –5 10 –145 –13 –2 –4 La matrice M = CN est le message codé. Pour le décoder, il faut multiplier par la matrice inverse C–1. En effet, C–1M = C–1CN = N. Il reste à traduire le message à l’aide des données du tableau de codage.

Exemple 4.3.1 Le message consigné dans la matrice M a été codé à l’aide du tableau de la page 93 et de la matrice C. Décoder ce message. À l’aide du tableau de la page 93, on peut remplacer chaque élément de la matrice par le caractère qui lui est associé. M = 30 54 28 62 24 10 84 47 4 5 –5 31 26 C = 2 –1 1 –2 Pour décoder le message, il faut d’abord inverser la matrice C. En utilisant la méthode de l’adjointe, on obtient : Le produit des matrices donne alors : 2 –2 –1 4 –4 6 1 30 54 28 62 24 10 84 47 4 5 –5 31 26 2 –1 4 C–1 M = cof C = , det C = 2 ´2 + 2 ´–1 + 0 ´4 = 2 ≠ 0 –2 2 –4 2 –2 6 F E L I C 6 5 13 9 3 La matrice C est inversible, puisque le déterminant est non nul. On peut poursuivre. = N = I T A T I 9 22 1 22 9 S S S S 2 O –2 N S 2 ! 2 –2 2 16 15 21 49 32 Cela donne le message suivant : 1 2 adj C = –1 2 –2 et C–1 = –1 2 –2 Félicitations ! 4 –4 6 4 –4 6

Exercice Le message consigné dans la matrice M a été codé à l’aide du tableau de la page 93 et de la matrice C. Décoder ce message. À l’aide du tableau de la page 93, on peut remplacer chaque élément de la matrice par le caractère qui lui est associé. M = 24 –36 –30 –85 –49 106 63 193 –27 75 61 98 204 82 125 C = 2 1 –3 4 5 –2 3 Pour décoder le message, il faut d’abord inverser la matrice C. En utilisant la méthode de l’adjointe, on obtient : Le produit des matrices donne alors : 16 –11 13 –10 7 –8 –5 6 24 –36 –30 –85 –49 106 63 193 –27 75 61 98 204 82 125 16 –10 7 C–1 M = cof C = , det C = 2 ´16 + 1 ´(–10) + (– 3) ´7 = 1 –11 7 –5 13 –8 6 J 11 E 5 49 C 3 O 16 La matrice C est inversible, puisque le déterminant est non nul. On peut poursuivre. = N = M 14 P 17 19 R E 5 N 15 S S S S 16 D 4 –11 S 21 49 13 ! 32 ! 32 16 –11 13 1 Cela donne le message suivant : adj C = –10 7 –8 et C–1 = –10 7 –8 Je comprends !! 7 –5 6 7 –5 6

Chaînes de Markov Recherche du point invariant Considérons la représentation matricielle du système d’équations à résoudre pour trouver le point invariant d’une chaîne de Markov. Multiplions les deux membres de l’équation par la matrice inverse. t1 t2 1 M –1• I • M • = M –1• . . tn S S S Le produit donne une matrice colonne dont les éléments sont ceux de la première colonne de la matrice M –1. Par conséquent, le point invariant est donné par la première colonne de la matrice inverse.

Matrice inverse et point invariant Procédure pour déterminer le point invariant d’une chaîne de Markov par inversion matricielle 1. Construire la matrice de transition P. 2. Construire la matrice P – I et sa transposée (P – I)t. 3. Construire la matrice M en remplaçant les éléments de la première ligne de la matrice (P – I)t par des 1. 4. Déterminer la matrice inverse M–1 et interpréter les résultats selon le contexte.

Exemple 4.3.2 0,4 0,3 0,5 0,2 P = Utiliser l’inversion des matrices pour déter-miner le point invariant de la chaîne de Markov dont la matrice de transition est : S La matrice inverse est donc : Inversons la matrice M : Les matrices sont : L1 10L2 10L3 1 0,3 –0,7 0,2 –0,6 1 1 4/10 8/9 10/9 3/10 –1 1/9 –10/9 0,4 0,3 0,5 0,2 1 – –0,6 0,3 0,3 ≈ 3 –7 10 M –1 = P – I = = 0,5 –0,7 0,2 3 2 –6 10 0,3 0,3 –0,6 S L1 L2 –3 L1 L3 –3 L1 9L1 + L3 L2 L3 1 90 36 80 100 Le point invariant est alors donné par : –10 –3 10 ≈ ≈ –10 –3 10 –0,6 1 0,5 0,3 1 1 1 t1 t2 t3 4/10 8/9 10/9 3/10 –1 1/9 –10/9 1 4/10 3/10 (P – I)t = –1 –9 –3 10 –90 –27 –10 100 0,3 –0,7 0,3 et M = = M –1• = 0,3 –0,7 0,3 • = 0,3 0,2 –0,6 0,3 0,2 –0,6 10L1 + L2 L2 10L3 – L2 L1 /90 L2 /(–10) L3 /(–90) 10 7 1 4/10 8/9 10/9 S S S S S S ≈ La première colonne de la matrice inverse donne donc les coordonnées du point invariant et la solution est (0,4 0,3 0,3). ≈ –10 –3 10 1 3/10 –1 –90 –27 –10 100 1 3/10 1/9 –10/9

Matrice inverse et analyse de circuits Procédure pour faire l’analyse par les mailles d’un circuit électrique. 1. Représenter la situation par une équation matricielle. 2. Déterminer la matrice inverse A–1. 3. Résoudre l’équation matricielle en multipliant les deux membres par la matrice inverse. 4. Interpréter les résultats selon le contexte (donner tous les courants de branches ainsi que leur sens).

Exemple 4.3.3 Faire l’analyse par les mailles du circuit ci-contre. La représentation matricielle est : 8 –5 I1 I2 I3 24 7 –5 12 –4 • = –4 6 Pour résoudre, il suffit de multiplier les matrices, ce qui donne : Le circuit résolu est : Puisque la matrice comporte quelques zéros et qu’elle est symétrique, il est avantageux d’utiliser la méthode de l’adjointe. Cela donne : I1 I2 I3 56 30 20 24 7 860 2,89 1 298 1 298 = = 56 30 20 30 48 32 • = 1376 4,62 cof A = 30 48 32 20 32 , det A = 71 1265 4,24 8 ´56 + (–5) ´30 + 0 ´20 = 298 D’où : I1 = 2,89 A, I2 = 4,62 A, I3 = 4,24 A. 20 32 71 56 30 20 S S S S 1 det A 1 298 A–1 = adj A = 30 48 32 De plus : I2 – I1 = 1,73 A et I2 – I3 = 0,38 A. 20 32 71

Conclusion La matrice inverse d’une matrice A est la matrice qui multipliée avec A donne l’identité. On peut se servir de cette caractéristique pour résoudre une équation matricielle. La matrice inverse est également utile pour décoder de l’information qui a été codée sous forme matricielle. La matrice qui sert à coder doit nécessairement être inversible, sinon il y a perte d’information au codage et il est ensuite impossible de retrouver le message original.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 4.3, p. 93 à 99. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 4.4, p. 100 et 103.