Torseur de cohésion Cours de mécanique TGMB1

Y X Z {T( E /E) } = {0} C F 1 - Coupure d’une poutre 1.1 - Repère associé à une section Soit une poutre E représentée ci contre. On effectue une coupe fictive de cette poutre suivant une section plane perpendiculaire à la ligne m oyenne et de centre de gravité G. Y G X Alors le repère associé à la section de coupure est le repère Rs(G, ¾ ® X , Y Z ) dont l’axe est porté par la ligne moyenne et est orienté de la gauche vers la droite. Les axes et peuvent être choisis de manière quelconque, mais souvent l’axe est dans le plan de symétrie de la poutre lorsque celle - ci en possède un. Z 2.1 - Etude des actions La section S partage la poutre en 2 tronçons : Un à gauche de la section l’autre à droite de la section. On note : E 1 : Le tronçon gauche de la poutre 2 : Le tronçon droite de la poutre : L’ensemble de la poutre ¾ : Tout ce qui n’est pas la poutre Isolons la poutre F b a d c C PFS {T( ¾ E /E)} : Le torseur des actions extérieures à la poutre exercées sur cette poutre {T( ¾ E /E) } = {0}

Isolons le tronçon gauche de la poutre e tronçon droite la poutre 1 - Coupure d’une poutre 2.1 - Etude des actions Isolons le tronçon gauche de la poutre {T( ¾ E /E1)} : Le torseur des actions extérieures à la pou tre exercées sur le tronçon gauche de la poutre . G F b a C E2/E1 PFS {T( ¾ E /E 1 ) }+{T( 2 } {T(E 2 /E 1 )} le torseur de l’action de E sur E = {0} Isolons l e tronçon droite la poutre {T( ¾ E /E 2 )} : Le torseur des actions extérieures à la poutre exercées sur le tronçon droite de la poutre . G F d c C b E1/E2 PFS {T( ¾ E /E 2 ) }+{T( 1 } {T(E 1 /E 2 )} le torseur de l’action de E sur E = {0} {T( E 2 /E 1 ) } = - } Du principe des actions mutuelles on déduit que : {T( ¾ E /E 1 ) } = - 2 } De ces 3 dernières équ ations on déduit que :

{T } = {T( Droite /Gauche)} {T } = {T( Ext / Droite )} = - {T( Ext / 2 - Torseur de cohésion 2.1 - Définitio n Le torseur de cohésion dans une section S est le torseur de l’action du tronçon droite de la poutre sur le tronçon gauche de la poutre : on le note {Tcoh} {T coh } = {T( Droite /Gauche)} Du paragraphe précédent on en déduit que : {T coh } = {T( Ext / Droite )} = - {T( Ext / Gauche )} Le torseur de cohésion est donc égal à : Ou - La somme des torseurs des actions exercées sur la partie droite de la poutre - L’opposé de la somme des torseurs des actions exercées sur la partie gauche de la poutre

TZ MfZ N Mt TY MfY T Mf R MG Effort normal : N = N. X Effort tranchant 2 - Torseur de cohésion 2.2 - Composantes du tors eur de cohésion Soit Rs(G, ¾ ® X , Y Z ) le repère associé à la section S. Soit R et M G les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre G de la coupure. On projette ces éléments de réduction sur l’axe et sur le plan ( ) de la section: Tronçon gauche X Y Z Section S G Tronçon gauche X Y Z Section S G TZ MfZ N Mt TY MfY T Mf R MG On définit : Effort normal : ¾ ® N = N. X ¾ ® N : Projection de R sur (G, X ) Effort tranchant : ¾ ® T = T Y . + T Z ¾ ® T : Projection de R sur (G, Y , Z ) Moment de torsion : ¾ ® M t = M . X ¾ ® M t : Projection de G sur (G, X ) Moment de flexion : ¾ ® M f = M fY . Y +M fZ Z ¾ ® M f : Projection de G sur (G, Y , Z )

TZ MfZ N Mt TY MfY T Mf R MG {T } = G î ï í ì N M þ ï ý ü T M 2.2 - Torseur de cohésion 2.2 - Composantes du tors eur de cohésion Soit Rs(G, ¾ ® X , Y Z ) le repère associé à la section S. Soit R et M G les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre G de la coupure. On projette ces éléments de réduction sur l’axe et sur le plan ( ) de la section: Tronçon gauche X Y Z Section S G Tronçon gauche X Y Z Section S G TZ MfZ N Mt TY MfY T Mf R MG On projette également ¾ ® T et M f sur les axes Y Z . On obtient les composantes de sur D’où les composantes du torseur de cohésion au centre de la section S. de la poutre : {T coh } = G î ï í ì N M t þ ï ý ü T Y Z M fY fZ Très souvent, ayant affaire à des problèmes plans on a T z = 0 et M fy = 0 .

Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section 3 - Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation {T coh } = Tronçon gauche G X Y Z G î ï í ì þ ý ü N Traction simple N

Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section 3 - Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation {T coh } = Tronçon gauche G X Y Z G î ï í ì þ ý ü T Y Z Cisaillement pur T G î ï í ì þ ý ü M t Torsion simple Mt G î ï í ì þ ý ü M fY fZ Flex ion pure Mf Souvent : M fY =

Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section 3 - Relation entre torseur de cohésion et sollicitation dans la section Forme du torseur de cohésion Type de sollicitation {T coh } = Tronçon gauche G X Y Z G î ï í ì þ ý ü T Y M fY Z fZ Flex ion simple T Souvent : M fY = T Z = 0 Mf