Jacques Paradis Professeur Asymptotes Jacques Paradis Professeur

Plan de la rencontre Élément de compétence Définition d’asymptote Asymptotes verticales Asymptotes horizontales Levée d'indéterminations Asymptotes obliques Département de mathématiques

Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes verticales de la courbe d’une fonction Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes horizontales de la courbe d’une fonction Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes obliques de la courbe d’une fonction Éléments de compétence no 1 et 4 Département de mathématiques

Définition d’asymptote Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers zéro lorsqu’on s’éloigne sur la courbe à l’infini. Remarque : Une asymptote ne fait pas partie de la courbe représentative d’une fonction et c’est pourquoi on la représente en pointillé dans le graphique. Département de mathématiques

Asymptote verticale La droite x = a est une asymptote verticale (AV) de la courbe de f(x) si et seulement si Remarque : Pour localiser les AV, on cherche les valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent la fonction infinie. a- a+ x = a Département de mathématiques

Exemple x = -2 x = 2 Trouver les asymptotes verticales de AH : y = -1 Exercices : page 273, no 4. Département de mathématiques

Asymptote horizontale La droite y = b est une asymptote horizontale (AH) de la courbe de f(x) si et seulement si Remarque : Pour localiser les AH, on évalue des limites à l’infini. y = b -  Département de mathématiques

Exemple 1 y = 1 Trouver l’asymptote horizontale de Département de mathématiques

Exemple 2 y = 2 Trouver les asymptotes horizontales de AV : x = -2 et x = 2 y = 2 Exercice : page 274, no 6. Département de mathématiques

Levée de l’indétermination Mette en évidence la plus grande puissance de x au numérateur et/ou au dénominateur Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exercice : page 274, no 5. Département de mathématiques

Asymptote oblique La droite y = a x + b est une asymptote oblique (AO) de la courbe de f (x) si et seulement si où Exemple : Trouver l’asymptote oblique de la fonction y = 2x + 1 Département de mathématiques

Asymptote oblique (Cas particulier) Soit la courbe f(x) définie par le quotient de deux polynômes On a y = ax + b est une asymptote oblique de la courbe de f(x) uniquement si le polynôme du numérateur est d’un degré supérieur à celui du dénominateur. Pour trouver l’AO, on effectue la division des deux polynômes qui donnera f(x) = ax + b +r(x) où Exemple : Soit où y = 2x + 1 est une asymptote oblique. Exercice : Trouver l’AO de Département de mathématiques

Asymptote oblique (Exemple) Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales, horizontales et obliques de Remarque : Lorsque , s’il y a une asymptote horizontale, il n’y a pas d’asymptote oblique et vice et versa. Département de mathématiques

Exemple récapitulatif Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales, horizontales et obliques de Département de mathématiques

Devoir Exercices 6.4, page 273, nos 1, 2, 4, 5, 6, 7a, 7b, 7c, 7d, 8, 9, 10. Exercices récapitulatifs, page 284, #12a (sauf vi), 12b, 13 (sauf e), 14 (sauf k et l), 15a, 15b, 15e et 15j. 12a) 1, -,1, ,-  12b) x = -2, x = 3, y = 1, y = -1/2x - 1 13b) n’existe pas, 13d) 0, 13f)  14) V, V, F, F, V, F, V, F, V, V , F, F Les numéros soulignés réfèrent à l’asymptote oblique. Département de mathématiques