30 ANS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE ET D’OPTIMISATION Yves Crama Ecole d’Administration des Affaires Septembre 2004

1. Quelques notions de complexité algorithmique PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles Septembre 2004

Intro… HOMER SIMPSON A CYBERLAND Septembre 2004

Septembre 2004

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P = NP Septembre 2004

1. Quelques notions de complexité algorithmique PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles Septembre 2004

Vieille question: Pourquoi certains problèmes mathématiques sont-ils (ou semblent-ils) intrinsèquement plus difficiles à résoudre que d’autres ? Septembre 2004

Gödel, Turing, Von Neumann ~1965: Jack Edmonds introduit la notion de « bonne caractérisation » des solutions et d’algorithme «polynomial». ~ 1972: Stephen Cook définit les classes de problèmes P et NP Septembre 2004

Idée : distinguer entre les problèmes P et NP Idée : distinguer entre les problèmes 1) pour lesquels on peut « facilement » trouver la réponse; 2) pour lesquels on peut « facilement » vérifier qu’une réponse est correcte, lorsqu’elle est connue; 3) les autres…. Septembre 2004

Déterminer si l’équation du second degré 5x2 - 4x - 3 = 0 Exemple 1: Déterminer si l’équation du second degré 5x2 - 4x - 3 = 0 possède deux racines distinctes. Facile à résoudre… (« oui ») Septembre 2004

Pas très facile à résoudre… La réponse est « non ». Exemple 2: Déterminer si N1 = 281472829095937 est un nombre premier. Pas très facile à résoudre… La réponse est « non ». Septembre 2004

Preuve: 281472829095937 = 131071  2147483647 Septembre 2004

Exemple 3 (voyageur de commerce): Déterminer si il existe une tournée de longueur inférieure à 1650 kms visitant 67 grandes villes de Belgique. Pas très facile à résoudre… La réponse est « oui ». Septembre 2004

Il suffit que je donne la tournée: Preuve: Il suffit que je donne la tournée: Septembre 2004

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Pas très facile à résoudre… La réponse est « non ». Exemple 3 (suite): Déterminer si il existe une tournée de longueur inférieure à 1500 kms visitant 67 grandes villes de Belgique. Pas très facile à résoudre… La réponse est « non ». Septembre 2004

Preuve: ???? Septembre 2004

Problèmes de décision Un problème de décision est une question qui admet une réponse « Oui » ou « Non ». Septembre 2004

P et NP Un problème de décision est dans P (polynomial) si il peut être résolu par un algorithme efficace, c’est-à-dire un algorithme dont le temps de calcul n'augmente pas trop rapidement (polynomialement) avec la taille du problème à résoudre. Septembre 2004

P et NP Un problème de décision est dans NP (polynomial non déterministe) si il existe une preuve permettant de vérifier efficacement la validité de la réponse lorsque cette réponse est « Oui ». (par exemple, « existe-t-il une tournée de longueur au plus 1650…? ») Septembre 2004

P vs NP Il est à peu près évident que P et NP sont deux classes différentes de problèmes. En fait, P contient par définition des problèmes « faciles » à résoudre, alors que certains problèmes très difficiles sont dans NP. Septembre 2004

NP programmation linéaire en variables binaires problème du voyageur de commerce programmation linéaire en variables binaires ordonnancement d’ateliers localisation d’entrepôts etc. Septembre 2004

P = NP ? Cook (1972) a conjecturé que P n’est pas égal à NP. Mais personne n’a pu le démontrer rigoureusement !! Il s’agit d’un des problèmes ouverts les plus célèbres des maths et de l’informatique théorique. Septembre 2004

P = NP ? A l’occasion du passage à l’an 2000, le Clay Mathematics Institute a offert 1 million de dollars pour la solution de cette question (et de l’hypothèse de Riemann, etc.) De là l’intérêt d’Homer Simpson… Septembre 2004

P = NP Septembre 2004

1. Quelques notions de complexité algorithmique PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles Septembre 2004

Programmation linéaire (PL) Min S cj xj s.c. Sj aij xj ≤ bi (i = 1,…,m) Résolu par l’algorithme du simplexe (Dantzig 1947). Archétype du modèle d’optimisation en RO. Septembre 2004

Complexité de la PL Les travaux d’Edmonds, Cook et al. soulèvent de nouvelles questions: PL est-il dans NP ? Oui (quand une solution est connue, il est facile de calculer sa valeur). Septembre 2004

Complexité de la PL PL est-il dans P ? Oui (parce que la méthode du simplexe est efficace)? Pas évident… Klee et Minty (1972) observent que la méthode du simplexe peut effectuer un nombre exponentiel d'itérations sur certains exemples et n'est donc pas un algorithme polynomial (« efficace »). Septembre 2004

Complexité de la PL PL est-il dans P ? Cette question a généré un nouvel intérêt pour la PL et un important courant de résultats. Septembre 2004

Complexité de la PL Khachiyan (1979) propose un algo polynomial pour la PL – mais inefficace en pratique! Karmarkar (1984) décrit un algo polynomial et efficace en pratique: méthode de point intérieur. Septembre 2004

Retombées algorithmiques  Développement de nouvelles méthodes de points intérieurs, de plus en plus efficaces  Suscite des améliorations spectaculaires de la méthode du simplexe. Septembre 2004

État des lieux Empiriquement, méthodes du simplexe et de point intérieur sont complémentaires (selon les caractéristiques du problème à résoudre). Septembre 2004

État des lieux De 1987 à 2002, réduction du temps de calcul pour la solution de grands problèmes: facteur de 1.000.000 (1 an  30 sec), dont facteur de 1000 dû au « hardware » facteur de 1000 dû aux algorithmes Septembre 2004

Heuristiques Puisque certains problèmes ne peuvent pas être résolus en temps polynomial:  Heuristiques: méthodes approchées efficaces  Métaheuristiques: stratégies génériques de développement d’heuristiques Septembre 2004

Heuristiques Exemples: - recuit simulé (simulated annealing) - exploration tabou (tabu search) - algorithmes génétiques - arrondi déterministe ou stochastique, voisinages variables, algorithmes de fourmis, réseaux de neurones, … Septembre 2004

1. Quelques notions de complexité algorithmique PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles Septembre 2004

Tendance lourde: Développement simultané et « symbiotique » de l’informatique (micro-informatique, structures de données, bases de données, systèmes embarqués,…) et de la RO.  Intégration croissante des algos d’optimisation dans les systèmes d’information et d’aide à la décision. Septembre 2004

Exemples: - calcul de routes et de tournées (navigateurs GPS, transport routier, Géoroute, …) - construction d’horaires (écoles, infirmiers, équipes d’ouvriers,…) - planification de production (affectation aux unités de production, gestion des stocks, ordonnancement, projets,…) Septembre 2004

optimisation des achats (localisation, rabais, …) Exemples: optimisation des achats (localisation, rabais, …) optimisation des recettes de production (pétrochimie, agro-alimentaire,…) découpe de matériaux (verre, métal, tissu) électronique (conception et production de circuits intégrés) Septembre 2004

optimisation de portefeuilles financiers moteurs de recherche Internet Exemples: yield management (optimisation des réservations et pricing pour les compagnies de transport, hôtels, …) optimisation de portefeuilles financiers moteurs de recherche Internet - bioinformatique (identification de structures génétiques) - etc. Septembre 2004

Un exemple d’intégration: ERP - APS 1970-80: Systèmes MRP aide à la gestion des matières (approvisionnement des stocks, lancements de production) comportent des fonctionnalités d’optimisation, peu utilisées Septembre 2004

Un exemple d’intégration: ERP - APS 1990: Systèmes ERP systèmes d’information couvrant les différentes fonctions de l’entreprise (production, stocks, achats, clients, personnel, comptabilité, …) peu de capacité d’optimisation Septembre 2004

Un exemple d’intégration: ERP - APS 2000: Systèmes APS (Advanced Planning Systems) compléments aux ERP optimisation de l’allocation des ressources, planification de production, ordonnancement d’ateliers, etc Septembre 2004

Un exemple d’intégration: ERP - APS Rendus possibles grâce à l’adoption des systèmes ERP (dont ils utilisent les bases de données) et à l’amélioration des performances des algorithmes d’optimisation (programmation linéaire, programmation en variables entières, heuristiques, …) Septembre 2004

Conclusions Septembre 2004

De la théorie à la pratique… Cheminement: théorie de la complexité (informatique théorique)  algorithmes d’optimisation plus efficaces (simplexe, point intérieur, heuristiques)  systèmes d’aide à la décision performants (ERP, etc) Septembre 2004

The world’s most important invisible profession… Les algorithmes de RO sont intégrés de plus en plus complètement dans les systèmes d’aide à la décision ils deviennent invisibles pour l’utilisateur (cf. M. Jourdain) C’est probablement une preuve de succès. Septembre 2004

Septembre 2004