Distance d’un point à un plan. Par Amandine Mousset.

L’espace étant muni d’un repère orthonormé, considérons… z Le plan  = ax+by+cz+d = 0 Le point P  = ax+by+cz+d = 0 y x P 

Ecrivons des équations paramétriques de la droite p, comprenant P et Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d, ,  et , la distance du point P au plan . z = ax+by+cz+d = 0 Ecrivons des équations paramétriques de la droite p, comprenant P et perpendiculaire à  en utilisant un triple de paramètres directeurs principaux de . y x P 

Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d, ,  et , la distance du point p au plan . z = ax+by+cz+d = 0 = ax+by+cz+d = 0 Un triple de paramètres directeurs de p est donc (a,b,c). principaux de p est donc y ( ) a b c , , x P  a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2

Des équations paramétriques de la droite p sont: Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d, ,  et , la distance du point p au plan . z Des équations paramétriques de la droite p sont: = ax+by+cz+d = 0 a y x =  + k a2+b2+c2 b p = y =  + k a2+b2+c2 x P  c z =  + k a2+b+c2

Calculons la valeur que prend k au point D commun à  et à p. Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d, ,  et , la distance du point p au plan . z Calculons la valeur que prend k au point D commun à  et à p. Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie l’équation de . = ax+by+cz+d = 0 D y x P 

= o a + b + c + d + k a + b + c + d D’où: k = - a2+b2+c2 Calculons la valeur que prend k au point D commun à  et à p. Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie l’équation de . a b c a (  + k ) + b (  + k ) + c (  + k ) + d = o a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2 a + b + c + d + k = o a2+b2+c2 a + b + c + d D’où: k = - a2+b2+c2

Finalement, la distance du point P au plan  est… a + b + c + d z PD = lkl = a2+b2+c2 = ax+by+cz+d = 0 D y x P 