MODULE 11 Mathématiques SN Les VECTEURS Réalisé par : Sébastien Lachance

Mathématiques SN - Les VECTEURS -  Notions de vecteur A) Définitions C’est une quantité (ou scalaire) ayant :  une grandeur (ex.: 4 cm)  une direction (ex.: 32o)  un sens (flèche A vers B) B 4 cm Vecteur AB 32o A

 Orientation = Direction + Sens  Scalaire = nombre  Orientation = Direction + Sens A 330o B  Vecteurs…  Égaux (ou équipollents) : Même grandeur, direction et sens.  Nul : Grandeur 0. Noté O .  Opposés à AB est BA (ou – AB )

B) Dans le plan cartésien (x2, y2) v y2 – y1 = y Composante verticale v = ( x , y ) x2 – x1 = x (x1, y1) Composante horizontale

Exemple #1 : Exemple #2 : (2, 8) + 4 (8, 6) v w + 5 - 5 + 6 (6, 3) (2, 1) v = ( 6 , 5 ) w = ( 4 , - 5 )

 Norme = Grandeur du vecteur (toujours positif) (x2, y2) v y x (x1, y1) Par Pythagore : || v ||2 = (x)2 + (y)2 || v || = (x)2 + (y)2

v = ( 10 , 3 ) v || v || = (x)2 + (y)2 || v || = (10)2 + (3)2 Exemple #3 : v = ( 10 , 3 ) (11, 6) v || v || = (x)2 + (y)2 + 3 + 10 || v || = (10)2 + (3)2 (1, 3) || v ||  10,44  Vecteur unitaire : || v || = 1  Vecteur nul : || v || = 0 ( O )

Mathématiques SN - Les VECTEURS -  Relations entre 2 vecteurs A) Vecteurs orthogonaux Orthogonaux = perpendiculaires Ex. : v u

B) Vecteurs colinéaires (ou linéairement indépendant) Colinéaires = parallèles (peu importe le sens et la grandeur) Ex. : u v C) Vecteurs opposés  Même grandeur et direction  Sens contraire Ex. : u AB est opposé à CD A B On note - v opposé à v v D C - AB ou BA est opposé à AB Si v = (a, b) alors - v = (- a, - b)

Mathématiques SN - Les VECTEURS -  Opérations sur les vecteurs A) Somme Méthode du triangle v Ex. : v v u u u + v

Méthode du parallélogramme Ex. : v v u u u + v v

Dans un plan cartésien Ex. : B (1, 3) + 3 + 2 AB = (4, 2) + 4 BC = (3, -7) A (-3, 1) AB + BC = (4, 2) + (3, -7) - 7 = (4 + 3, 2 + -7) = (7, -5) - 5 AB + BC = AC Relation de CHASLES + 7 C (4, -4)

B) Différence u – v = u + -v -v v v v u u u – v Transformer en SOMME Méthode du triangle -v v Ex. : v v u u u – v Dans un plan cartésien Ex. : Effectuer AB – BC si AB = (4, 2) et BC = (3, -7). AB – BC = AB + (- BC) = (4, 2) + (-3, 7) Si BC = (3, -7) - BC = (-3, 7) = (1, 9)

C) Calcul de la norme de la résultante (vecteur somme) Ex. : Si : ||u|| = 5 cm u + v ||v|| = 6 cm v   = 140o u Calculer || u + v || . * Rappel : Loi des COSINUS c c2 = a2 + b2 – 2ab cos b  a Donc : || u + v ||2 = ||u||2 + ||v||2 – 2 ||u|| ||v|| cos  = 52 + 62 – 2 (5) (6) cos 140o ≈ 106,96 || u + v || ≈ 10,34 cm

D) Produit : Scalaire X Vecteur Soit v = (a, b) et k un scalaire, Alors kv = k(a, b) = (ka, kb) . Ex. #1 : Si v = (3, 7) et k = 4, calculer kv . 4v = 4(3, 7) = (4 x 3, 4 x 7) = (12, 28) Ex. #2 : Si u = (1, 2) et k = 3, calculer ||ku||. u 3u = 3(1, 2) +2 = (3, 6) +1 Calculons ||u|| : u +2 +6 ||u|| = (1)2 + (2)2 = 5 +1 u Donc k ||u|| = ||ku|| Calculons ||3u|| : +2 +1 ||3u|| = 3 5 +3

Trouver les composantes de 2v + 3w . Ex. #3 : Trouver les composantes de 2v + 3w . (-2, 3) v = (1, 2) w = (1, 0) v 2v = (2, 4) w 3w = (3, 0) (-3, 1) (2, 1) (1, 1) 2v + 3w = (2, 4) + (3, 0) = (5, 4)

E) Produit : Vecteur X Vecteur (produit scalaire) Avec les COMPOSANTES : Si u = (a, b) et v = (c, d), alors u  v = ac + bd Avec les NORMES : u  v = ||u|| ||v|| cos  v u  v

Trouver le produit scalaire de u et v si : u = (2, 3) u v v = (5, 1) Ex. : Trouver le produit scalaire de u et v si : u = (2, 3) u v v = (5, 1) 45o  = 45o v Avec les COMPOSANTES : u  v = (2, 3)  (5, 1) = (2 x 5) + (3 x 1) = 10 + 3 Note importante : = 13 Si u  v , alors u  v = 0 (car  = 90o et cos (90o) = 0 ) Avec les NORMES : u  v = ||u|| ||v|| cos  ||u|| = (2)2 + (3)2 = 13 ||v|| = (5)2 + (1)2 = 26 u  v = ||u|| ||v|| cos  = 13  26  cos (45o) = 13

F) Propriétés des opérations sur les vecteurs  Addition commutative u + v = v + u  Addition associative ( ) u + v + w = u + ( ) v + w  Distributivité de Scalaire X Vecteur k ( ) u + v = k u + k v  Addition de vecteurs opposés AB + (-AB) = O et (-AB) = BA

F) Propriétés des opérations sur les vecteurs  Relation de Chasles Ex. #1 : AB + BC + CD = AD Ex. #2 : AB + EF – DC – ED – CB = AB + EF + CD + DE + BC = AB + BC + CD + DE + EF = AF

F) Propriétés des opérations sur les vecteurs  Vecteurs colinéaires Si deux vecteurs sont colinéaires, alors on peut multiplier l’un d’eux par un scalaire pour trouver l’autre. Soit u et v colinéaires, alors u = kv ou v = ku , où k est un scalaire. Ex. #1 : Est-ce que u et v sont colinéaires si : u = (2, 3) v = ku (4, 6) = k(2, 3) v = (4, 6) (4, 6) = 2(2, 3) v v = 2u +6 u +3 u et v sont colinéaires +2 +4 Ex. #2 : Est-ce que u et v sont colinéaires si : u = (2, 3) v = ku (5, 1) = k(2, 3) v = (5, 1) k ne peut pas avoir de valeur u v +3 +1 u et v ne sont pas colinéaires +2 +5

Mathématiques SN - Les VECTEURS -  Combinaisons linéaires Définition : Définir un vecteur en utilisant d’autres vecteurs prédéfinis (comme une somme vectorielle). Ex. #1 : Définir le vecteur w comme une combinaison linéaire des vecteurs u et v. v w v Réponse : w = 2u + 3v v Donc, 2u + 3v est une combinaison linéaire de u et v. u u

Ex. #2 : Quelle est la valeur de a dans la combinaison linéaire w = au + 1v si : u = (1, 1) v = (1, 2) w = (3, 4) w = au + 1v (3, 4) = a(1, 1) + 1(1, 2) (3, 4) = (1a, 1a) + (1, 2) (3, 4) = (a, a) + (1, 2) Comp. horizontales : 3 = a + 1 2 = a Comp. verticales : 4 = a + 2 2 = a Réponse : a = 2

Exprimer r dans une combinaison linéaire de u et v si : = au + bv (5, 2) = a(1, 2) + b(-2, 0) (5, 2) = (1a, 2a) + (-2b, 0b) (5, 2) = (a, 2a) + (-2b, 0) Comp. horizontales : 5 = a + -2b (1) Comp. verticales : 2 = 2a + 0 1 = a (2) (2) dans (1) : 5 = 1 + -2b -2 = b Réponse : r = u – 2v

Exprimer w dans une combinaison linéaire de u et v si : = au + bv (-2, 3) = a(2, -1) + b(-1, 3) (-2, 3) = (2a, -1a) + (-1b, 3b) Comp. horizontales : -2 = 2a – b (1) Comp. verticales : 3 = -a + 3b (2) (1) + 2x(2) : -2 = 2a – b (1) + 6 = -2a + 6b 2x(2) 4 = 0a + 5b 0,8 = b (3) (3) dans (1) : -2 = 2a – 0,8 -0,6 = a Réponse : w = -0,6u + 0,8v

Mathématiques SN - Les VECTEURS -  Point de partage Ex. : Quelles sont les coordonnées d’un point P(x, y) qui partage le segment AB dans un rapport de 3 : 2 à partir de A si : A(-3, 8) B(5, -2)

Ex. : Quelles sont les coordonnées d’un point P(x, y) qui partage le segment AB dans un rapport de 3 : 2 à partir de A si : A (-3, 8) B (5, -2) A (-3, 8) 3 P est aux 3/5 de AB Utilisons le vecteur OP pour trouver les coordonnées de P(x, y). P (x, y) OP = OA + AP 2 OP = OA + 3 AB 5 O (0, 0) (x, y) = (-3, 8) + 3 (8, -10) B (5, -2) 5 (x, y) = (-3, 8) + ( , -6) 24 5 (x, y) = (-3 + , 8 + -6) 24 5 Réponse : ( , 2) 9 (x, y) = ( , 2) 9 5 5