Algèbre relationnelle Dominique Laurent Université de Tours laurent@univ-tours.fr

Eléments de base Univers : ensemble fini d ’attributs, U Attribut : associé à un ensemble de valeurs appelé domaine, dom(A) Schéma relationnel : sous-ensemble non vide de l ’univers n-uplet sur le schéma R : application de R dans l ’union des domaines des attributs de R

Eléments de base (exemple) U = {num_et, nom_et, adr_et, num_p, nom_p, adr_p, num_c, nom_c} R= {num_et, num_c} t : R  dom(num_et)  dom(num_c) num_et  n1 num_c  n2 Notation : t = (n1, n2)

Eléments de base (suite) Relation sur R : ensemble fini de n-uplets définis sur R Base de données sur U : ensemble de relations définies sur des schémas de U Remarque : plusieurs relations d ’une même base peuvent avoir le même schéma

Exemple BD = {etud, prof, cours, inscrit} Avec : etud[num_et, nom_et, adr_et] prof[num_p, nom_p, adr_p] cours[num_c, nom_c, num_p] inscrit[num_et, num_c] Remarque : on peut ajouter anc_etud[num_et, nom_et, adr_et]

Algèbre relationnelle Combine les relations pour exprimer les requêtes Formalisme rigoureux dont le pouvoir d ’expression est « fort » : ~ logique du 1er ordre Propriétés formelles pour optimiser le calcul des réponses

Opérations de base Opérations ensemblistes : union, intersection, différence Opérations relationnelles : projection sélection jointure renommage

Projection r[R] et X sous-ensemble de R Projection de r sur X : relation définie sur X contenant les restrictions sur X des n-uplets de r notation : x(r) x(r) = {u |  t dans r tel que u=t.R} Remarque : attention à l ’écriture x(r) = {t.R | t dans r}

Projection - Exemple etud[num_et, nom_et, adr_et] X = nom_et, adr_et x(etud) liste des noms et adresses des étudiants Attention : si Y = nom_et, adr_p y(etud) n ’est pas défini

Sélection r[R] relation définie sur R C condition de sélection de la forme C = (A comp a), ou C = (A comp B) C combinaison par les connecteurs logiques Sélection de r selon C relation définie sur R notation : C(r) C(r) est l ’ensemble des n-uplets de r qui satisfont C

Sélection - Exemple etud[num_et, nom_et, adr_et] C = (adr_et = Casa ou num_et > 100) C(etud) liste des étudiants dont l ’adresse est Casa ou dont le numéro est supérieur à 100 nom_et(C(etud)) liste des noms de ces étudiants Attention : si C = (nom_p = nom_et) C(etud) n ’est pas défini

Jointure r[R] et s[S] deux relations Jointure de r par s Remarques relation définie sur R  S notation : r s r s = {t | t.R  r et t.S  s} Remarques une jointure est toujours définie opération coûteuse à calculer

Jointure - Exemple etud[num_et, nom_et, adr_et] inscrit[num_et, num_c] etud inscrit définie sur num_et, nom_et, adr_et, num_c liste des inscriptions des étudiants nom_et,num_c(etud inscrit) liste des noms des étudiants et des numéros des cours auxquels ils sont inscrits

Jointure - Exemple (suite) etud prof définie? Sur quel schéma? Signification intuitive? etud etud

Jointure - Propriétés R(r s) = r ? R(r s) S(r s) = r s ? r[RS], R(r) S(r) = r ? C(r s) = C(r) s ?

Renommage r[R] , A attribut de R , A1 nouveau nom pour A Renommage de A en A1 dans r relation définie sur (R - {A})  {A1} notation : A1A(r) A1A(r) contient les mêmes n-uplets que r Utilisation : avoir deux versions distinctes d ’une même relation

Renommage - Exemple Numéros des étudiants inscrits à plus d ’un cours ? inscrit[num_et, num_c] (1ère version) nnum_c(inscrit) (2ème version) nnum_c(inscrit) inscrit (jointure) num_cn(nnum_c(inscrit) inscrit) (sélection) num_et(num_cn(nnum_c(inscrit) inscrit))

Opérations ensemblistes r[R] et s[R] définies sur le même schéma R r  s , r  s , r - s définies sur R sémantique habituelle Remarque : r  s = r s

Opérations ensemblistes - Exemples Liste de tous les noms, prof et étudiants nom_p(prof)  nom_et(etud) non défini nnom_p(nom_p(prof))  nnom_et(nom_et(etud)) Numéros des étudiants inscrits à un seul cours num_et(inscrit) - num_et(num_cn(nnum_c(inscrit) inscrit))

Opérations ensemblistes - Propriétés Sélection C(r  s) = C(r)  C(s) ? Projection x(r  s) = x(r)  x(s) ? x(r  s) = x(r)  x(s) ? x(r - s) = x(r) - x(s) ? Jointure (r  r’) s = (r  s) (r’  s) ?

Extension : quotient relationnel Liste des numéros des étudiants inscrits à tous les cours ? n est dans la réponse si pour tout n_c dans cours, (n, n_c) est dans inscrit D ’où la formule pour la réponse : {n | ( (n_c,x)  cours), (n, n_c)  inscrit} Ecriture algébrique : inscrit  num_c(cours)

Extension : quotient relationnel r[R] et s[S] telles que S  R Quotient de r par s relation définie sur R - S notation : r  s r  s = {t | (us)(v r)(v.R=t et v.S=u)} Propriété : r  s = R-S(r) - R-S ((R-S(r) s) - r)

Algèbre relationnelle et SQL Projection, sélection, jointure : SELECT <attributs de la projection> FROM <relations de l ’expression> WHERE <condition de sélection> AND <conditions de jointure> Renommage : au niveau des attributs au niveau des relations

Algèbre relationnelle et SQL - Exemples nom_et,adr_et(num_c123(etud inscrit)) SELECT nom_et, adr_et FROM etud, inscrit WHERE num_c  123 AND etud.num_et = inscrit.num_et

Algèbre relationnelle et SQL - Exemples num_et(num_cn(nnum_c(inscrit) inscrit)) SELECT inscrit.num_et FROM inscrit, inscrit inscr WHERE inscrit.num_c  inscr.num_c AND inscrit.num_et = inscr.num_et

Algèbre relationnelle et SQL Opérations ensemblistes union, intersect, minus entre deux clauses SELECT FROM WHERE Liste des noms et adresses des étudiants inscrits seulement au cours de numéro 123 Algèbre relationnelle ? SQL ?

Quotient relationnel et SQL r[A, B] , s[B] r  s défini sur A par SELECT distinct A FROM r WHERE NOT EXISTS ((SELECT r’.A, s.B FROM r r’ , s WHERE r.A = r’.A) MINUS (SELECT * FROM r))

Quotient relationnel et SQL Utilisation des vues CREATE VIEW <nom_de_vue> AS (<requête SQL>) Liste des noms des étudiants habitant Casa et inscrits à tous les cours assurés par un prof habitant Tours Créer une vue pour chaque relation r et s Appliquer la requête précédente

Fonctions en SQL Fonctions classiques : min, max, avg, count, sum Exemple : inscrit[num_et, num_c] Nombre de cours où l ’etudiant de num 123 est inscrit SELECT count(distinct num_c) FROM inscrit WHERE num_et = 123

Fonctions en SQL et groupements Généraliser la requête précédente pour chaque étudiant Utilisation de GROUP BY SELECT num_et, count(distinct num_c) FROM inscrit GROUP BY num_et

Fonctions en SQL et groupements - Exemple result[num_et, num_c, note] Liste des numéros des étudiants inscrits à plus de 3 cours, avec leur moyenne générale SELECT num_et, avg(note) FROM result GROUP BY num_et HAVING count(distinct num_c) > 3