Traitement d’images : concepts avancés Morphologie mathématique (cas fonctionnel) :  Erosion, dilatation, ouverture et fermeture fonctionnelles, Filtres alternés séquentiels, Ligne de partage des eaux. Classification (approches globales) : Modèles markoviens, Estimation de paramètres. Estimation de mouvement : Cas d’un mouvement rigide, Flot optique.

Définition: 1 treillis est 1 ensemble ordonné (E,) tel que toute partie de E admette 1 borne supérieure et 1 borne inférieure  : réflexive (xE, xx), antisymétrique ((x,y)E2, xy et yx  x=y), transitive ((x,y,z)E3, xy et yz  xz ) plus petit des majorants Exemples de treillis: plus grand des minorants ensembliste des fonctions éléments parties de S f: S→R, ou f: S→Z relation d’ordre inclusion fg  x, f(x)g(x) borne supérieure union {fi}  x, ({fi})(x)= {fi(x)} borne inférieure intersection {fi}  x, ({fi})(x)= {fi(x)} involution complémentaire -f(x) (ou N-f(x) si f: S→[0,N]) opération qui est son propre inverse

Opérateurs de MM : fondements mathématiques principes fondamentaux Compatibilité avec les translations Compatibilité avec les homothéties Localité propriétés Croissance Extensivité / anti-extensivité Idempotence Dualité Indépendance par rapport à l’origine de l’espace: t, y(f+t)=y(f)+t Indépendance par rapport au paramètre d’échelle: l, y(lf)=ly(f)  E’ borné,  E borné / y(f)E’=y(fE)E’  f,g fg  y(f) y(g) Extensivité:  f, f y(f) y(y(.))=y(.) y et f duales :

Dilatation / érosion de fonctions Cas général Exemples : g([-2,-1,0,1,2])=[90,40,0,40,90] g([-2,-1,0,1,2])=[-40,-20,0,30,60]

Dilatation / érosion de fonctions Cas particulier g(x)=0 xRnD Exemple : Lien avec la MM binaire : rq : cas général : à partir des sous-graphes de f et de g Test d’ non    ysupport de g en x / f(y)=1  supsupport g en x{f}=1 Test d’   ysupport de g en x / f(y)=0  infsupport g en x{f}=1 -SG(f)={(x,y), y≥f(x)} complémentaire

Dilatation / érosion numériques : propriétés Identiques au cas binaire en remplaçant  par ,  par , et  par . Croissance par rapport à f (Anti-)Extensivité si 0support de g (Dé)Croissance / à g Adjonction Commutations

Dilatation / érosion de fct : exemples Y B dB(X) dB(dB( X)) eB(X) eB(eB( X)) dB(X) dB(dB( X)) eB(X) eB(eB( X))

Rehaussement de contraste Y a = b = 0.35 a = b = 0.45 X Boule 77, a = b = 0.45 Boule 55, a = b = 0.5 Boule 33, a = b = 0.5

Gradient et laplacien morphologiques Opérateurs différence d’opérateurs Gradient intérieur, grad. extérieur Gradient morphologique Laplacien morphologique Convergence vers gradient et laplacien euclidiens si élément structurant = boule eucl. centrée et rayon  0 gB1(X) lB1(X) B1 X gB2(X) lB2(X) B2

Ouverture / fermeture numériques Cas d’un élément structurant plan Ouverture / fermeture = filtres morphologiques : Ouverture écrête ‘pics’ Fermeture comble ‘vallées’

Top hat / Top hat conjugué Opérateurs par différence : Top hat x-gS(x) Top hat conjugué jS(x)-x

Filtres alternés séquentiels : définition Filtre morphologique  Ouverture / fermeture sont des filtres morphologiques (gl)l≥0 une ‘granulométrie’ et (jl)l≥0 l’anti- granulométrie associée Filtres alternés :

FAS Fl : propriétés Croissance trivial car g et f sont croissantes Idempotence Absorption

FAS Gl : propriétés Croissance trivial car g et f sont croissantes Idempotence Absorption

Filtres alternés séquentiels : exemples Bruit gaussien s=20 Bruit gaussien s=60 Bruit gaussien s=20 + bruit impuls 10% Bruit impulsion 15% F1,2,3 G1,2,3

Dilatation / Erosion géodésiques numériques Dilatation : le sous-graphe de df,l(g) est formé des points du sous-graphe de f reliés au sous-graphe de g par un chemin (i) non ‘descendant’, et (ii) de longueur  l. B unitaire  df(g)=inf(g+B, f) et df,n(g) = df… df(g) Erosion : par dualité ef(g)=N-df(N-g) Dilatation géodésique de g / f Erosion géodésique de f / g

Reconstruction géodésique numérique grec(f;g) = sup. des dilatations géodésiques de g dans f Swamping  la plus grande fonction  f possédant des maxima aux points marqués Reconstruction de g dans f Reconstruction par marqueurs (swamping)

Application de grec(f;g) Opérateur sharpness Variante de l’opérateur top-hat (a) (b) (c) Field n°105 (a) (b) (c) Field n°117 (a) Field n°7: WorldView1 data (b) Fg (d) Fb / pF=0.1 (e) Fb / pF=0.5 (c) Fb / pF=0.25

Ligne de partage des eaux : définition Postulat : image = une surface topographique / niveau de gris = altitude 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 Cas ‘facile’ Cas ‘difficile’

Ligne de partage des eaux : définition Ligne de partage des eaux (LPE) par immersion  à partir des minima régionaux mi, faire croître niveau des eaux progressivement de sorte que : (i) A chaque fois que la hauteur de l’eau atteint l’altitude d’un minimum régional, un nouveau bassin versant est créé (ii) A chaque fois que deux bassins se rencontrent, on empêche leur fusion en construisant une “digue”.  LPE = ensemble des digues.

LPE par immersion : algorithme On note B(i) l’image binaire des valeurs ys (de Y) ≤ i Initialisation : W-1= Pour i variant de 0 à imax {mi} = {x : x B(i), x CC{mi-1}} = W(i) = IZB(i)(W(i-1))  {mi} LPE = Les mj sont les nouveaux minima apparus à l’itération i Zones d’influence géodésiques des bassins versants obtenus à l’it. précédente dans l’image bin. courante des valeurs  i

LPE par immersion : algorithme (suite) Calcul de IZ géodésique : IZX(Y) Initialiser IZX(Y) à Y Initialiser la liste L à X-Y Tant que L non vide et |L| varie : Pour tout pixel de L : calculer s’il peut se rattacher à IZX(Y) par épaississement si oui, mettre sa valeur à 1 dans IZX(Y) et le retirer de L Rappel : Ex. d’élément structurant pour l’amincissement Lskel Ebardage

LPE : exemple (© Course on Math. Morphology, J. Serra) Ligne de partage des eaux superposée à l’image initiale W(1) B(2)-W(1) W(2) : zones d’influence géod. de W(1) dans B(2) minima pour i=0, B(0)=W(0) ; B(1)-B(0) W(1) : minima apparus à i=1  zones d’influence géodésiques de W(0) dans B(1) Image initiale : 4 niveaux de gris

LPE : Application à la segmentation d’une image en niveaux de gris Utiliser l’image de la norme du gradients Risque de sur-segmentation discrétiser les valeurs entre 0 et imax (#régions) filtrer PB l’image du gradient (e.g. fermeture)

Ligne de partage des eaux Exemple : Gradient morphologique, boule 33 8-connexité Fermeture sur gradient morphologique Ouverture sur gradient morphologique #R = 25 #R = 15 #R = 15

Ligne de partage des eaux Exemple : Gradient morphologique, boule 33 8-connexité Fermeture sur gradient morphologique Reconstruction géodés. du gradient à partir du gradient abaissé de 90 #R = 18 #R = 10 #R = 18

LPE : exemple Image égalisée filtrée FAS 33 8-connexité Gradient Morphologique Fermeture Swamping par seuillage sur gradient LPEs correspondante

LPE : exemple (© I. Bloch ENST) Image du gradient après fermeture LPE correspondante Image du gradient après reconstruction par swamping LPE correspondante

LPE : Application à la segmentation Cas d’1 image en niveaux de gris : utiliser l’image des gradients mais risque de sur-segmentation  utiliser la technique du swamping pour imposer les minima locaux à considérer (et seulement ceux-là) Autres cas d’1 image en niveaux de gris : utiliser image top-hat / top-hat conjugué Cas d’objets binaires  circulaires : utiliser image des distances inverses mais risque de sur-segmentation  utiliser la reconstruction de l’image des distances diminuée d’une faible valeur sous l’image des distances (rq: SKIZ positionne mal les frontières pour objets de tailles différentes)

LPE : exemple (© I. Bloch ENST) Image binaire initiale Image des distances (fausses couleurs) LPE sur image des distances inversée LPE sur image reconstruite de la distance -2 sous la distance

Application LPE : détection des mottes Image des altitudes en fausses couleurs Image de la fonctionnelle à maximiser Image quantifiée LPE Étiquettage en comp. connexes de la seg. LPE Sélection des mottes

Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions. J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse d’images : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.