Produit mixte Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Mise en situation Le produit mixte de deux vecteurs est un scalaire. C’est le résultat d’un produit vectoriel suivi d’un produit scalaire. Il met donc en cause trois vecteurs. Nous verrons comment effectuer le produit mixte de vecteurs algébriques dans R3 et nous l’utiliserons pour calculer des volumes et des distances.

Produit mixte de vecteurs Définition Produit mixte de vecteurs algébriques Soit u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3), trois vecteurs de R3. Le produit mixte de ces trois vecteurs est défini par : u • (v ´w)

Calcul du produit mixte Déterminons la procédure à suivre pour effectuer le produit mixte. Soit u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3), trois vecteurs de R3. Le produit vectoriel v ´w donne : i j k v1 v2 v3 w1 w2 w3 v ´w = = (v2w3 – v3w2) i – (v1w3 – v3w1) j + (v1w2 – v2w1) k En effectuant le produit scalaire, on obtient : S S u • (v ´w) = (u1; u2; u3) • (v2w3 – v3w2; – (v1w3 – v3w1); (v1w2 – v2w1) u1 u2 u3 = v1 v2 v3 w1 w2 w3 On constate que, pour calculer le produit mixte des trois vecteurs, on peut appliquer une démarche analogue à celle pour effectuer le produit vectoriel en plaçant sur la première ligne les composantes du vecteur u au lieu de i, j et k.

Produit mixte nul Le produit mixte est nul si les vecteurs u, v et w sont coplanaires. En effet, le vecteur u est alors perpendiculaire au produit vectoriel v ´ w. Si les vecteurs ne sont pas coplanaires, le produit mixte est non nul.

Produit mixte

Exemple 9.3.13 Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs : u = (2; 1; 4), v = (3; –2; 5) et w = (8; 1; 3) Le produit mixte donne : 2 1 4 u • (v ´w) = 3 –2 5 8 1 3 S = [2 ´(–11)] – [1 ´(–31)] + [4 ´(19)] = 85 On a donc : u • (v ´w) = 85 Le volume du parallélépipède est de 85 unités de volume.

Distances dans R3 Distance d’un point Q à un plan dont on connaît deux vecteurs directeurs. On détermine un point R du plan ainsi que le vecteur RQ. On détermine le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs, D1, D2 et RQ donné par la valeur absolue du produit mixte. La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède. On l’obtient en divisant le volume par l’aire de la base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. Distance d’un point Q à un plan dont on connaît trois points. Soit A, B et C, les points. On procède de façon analogue en consi-dérant les vecteurs D1 = AB, D2 = AC et AQ.

Distances dans R3 Procédure pour trouver la distance d’un point Q à un plan ∏ dans R3 (en utilisant des vecteurs directeurs) 1. Déterminer deux vecteurs directeurs du plan. 2. Déterminer un point R du plan. 3. Construire le vecteur allant du point R du plan au point Q dont on cherche la distance au plan. 4. Utiliser le produit mixte pour trouver le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs. 5. Calculer la hauteur du parallélépipède en divisant son volume par l’aire de sa base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. La hauteur du parallélépipède est la distance cherchée.

Exercice S S Trouver la distance du point Q(4; 5; 7) au plan ∏ : x = 2 + 3s – 2t y = 5 – 4s + t z = –7 + 5s – 3t Les vecteurs directeurs sont : = (3; –4; 5) et D1 R(2; 5; –7) est un point du plan et D2 = (–2; 1; –3) et RQ = (2; 0; 14). S S Le volume du parallélépipède est alors : 3 –4 5 –2 1 –3 14 2 RQ • (D1 ´ D2) = = –56 3 –4 5 –2 1 –3 i j k D1 ´ D2 = i j k = 7 – 1 – 5 = (7; –1; –5) et d (Q, ∏) = –56 75 D1 ´ D2 = 72 + (–1)2 + (–5)2 = 75 ≈ 6,47 La distance est d’environ 6,47 unités.

Distances dans R3 Distance entre deux droites gauches (Méthode du produit mixte). On considère un point P de l’une des droites et un point R de l’autre droite pour construire le vecteur PR. Par le produit mixte, on détermine le volume du parallé-lépipède construit sur les vec-teurs D1, D2 et PR. La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède que l’on obtient en divisant le volume par le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs, puisque celui-ci donne l’aire de la base du parallélépipède.

Exercice S S Trouver la distance entre les droites suivantes : ∆1 : x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t ∆2 : x = 8 + 6s y = 2 – 2s z = –3 – 3s Les vecteurs directeurs sont : = (–3; 7; –2) et D1 = (6; –2; –3). D2 On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où : = (6; 7; 0). PR Le produit mixte des vecteurs donne : S S 6 7 –2 –3 = 6(–21 – 4) – 7(9 + 12) + 0(6 – 42) D1 ´ D2 ) = PR • ( = 6(–25) – 7(21) + 0(–36) = –297 De plus, D1 ´ D2 = –25 i – 21 j k – 36 et 2 362 = La distance est alors donnée par : d(∆1, ∆2) = = –297 2 362 D1 ´ D2 ) PR • ( D1 ´ D2 ≈ 6,11 La distance du point au plan est donc d’environ 6,11 unités.

Distance entre deux droites gauches Produit mixte Procédure pour déterminer la distance entre deux droites gauches 1. Déterminer les vecteurs directeurs des droites. 2. Déterminer un point sur chacune des droites et le vecteur joignant ces deux points. 3. Effectuer le produit mixte des trois vecteurs directeurs et prendre la valeur absolue du produit pour obtenir le volume du parallélépipède. 4. Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs et prendre le module de celui-ci pour déterminer l’aire de la surface de la base. 5. Diviser le volume du parallélépipède par l’aire de sa base pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.

Exercice Trouver la distance entre les droites suivantes : ∆1 : x = 5 + 4t y = 4 – 2t z = –2 + 5t ∆2 : x = 11 – 5s y = 9 + 6s z = 5 – 2s Les vecteurs directeurs sont : = (4; –2; 5) et D1 = (–5; 6; –2). D2 On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où : = (6; 5; 7). PR Le produit mixte des vecteurs donne : S S 6 –2 5 –5 4 7 = 6(4 – 30) – 5(–8 + 25) + 7(24 – 10) D1 ´ D2 ) = PR • ( = 6(–26) – 5(17) + 7(14) = –143 De plus, D1 ´ D2 = –26 i – 17 j k + 14 D1 ´ D2 et 1 161 = La distance est alors donnée par : d(∆1, ∆2) = D1 ´ D2 ) PR • ( D1 ´ D2 = –143 1 161 ≈ 4,20 La distance entre les droites est donc d’environ 4,20 unités.

Conclusion Le produit mixte de trois vecteurs de R3 est un scalaire dont la valeur absolue représente le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs ramenés à une origine commune. Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires. On peut utiliser le produit mixte pour calculer des distances dans R3 en utilisant le fait que le volume du parallélépipède divisé par l’aire de sa base donne la hauteur. On peut également déterminer l’équation cartésienne du plan dont on connaît un point et deux vecteurs directeurs à l’aide du produit mixte.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.3, p. 281 à 283. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.4, p. 289 et 290.