Les fluides non newtoniens Projet MécaFlu : Les fluides non newtoniens Chabault LeGuen Oliviero Omnes Tahier

Sommaire Notations et symboles Définitions Le modèle newtonien Fluides simples incompressibles

Notations et symboles

1. Définitions   1.1   1.1 Fluides L’hypothèse du fluide au du solide parfait n’est qu’une simplification du processus de transformation d’un milieu. En effet : • un réseau cristallin possède une configuration de référence privilégiée, et développe des efforts notables de résistance à la déformation, c’est un solide.   • à l’opposé, l’air ambiant ne possède pas de configuration privilégiée ni de résistance à la déformation, c’est un fluide. Mais cette notion d’ordre est manifestement insuffisante. C ’est pourquoi, nous prendrons le parti de faire la distinction entre solide et fluide au stade des applications

1.1           1.2 Fluides newtoniens et non-newtoniens a) Les fluides newtoniens Les fluides visqueux classiques ont une loi de comportement dite newtonienne. Nous signifions ainsi que ce sont des milieux continus homogènes où les efforts intérieurs sont représentés par un tenseur des contraintes qui s’exprime par une fonction linéaire et isotrope du tenseur des taux de déformation. Leur incompressibilité, pour les liquides, ou la relation de Stokes, pour les gaz, permettent même de conserver un seul coefficient : la viscosité μ, dans la loi de comportement. Le modèle newtonien s’applique en fait à un grand nombre de corps de la nature, et notamment aux plus répandus : eau, huile, air.

b) les fluides non-newtoniens   Un milieu continu est non-newtonien dès lors qu’une expérience vient contredire les prévisions établies à l’aide du modèle newtonien. En général nous savons plus ou moins donner une explication physique du comportement non-newtonien. Ce fluide dépend alors de deux variables :  et S (valeur maximale de cisaillement simple).

2. Le modèle newtonien   2.1 Hypothèses sur la description classique des milieux continus Après avoir défini un observateur, la cinématique des fluides suppose qu’il suffit de considérer les variations spatiales de la vitesse pour prendre en compte toute l’information nécessaire.   Plusieurs facteurs sont utilisés : •Le tenseur symétrique des taux de déformation D = 1/2 (L + L T ) •Les densités vectorielles volumique et surfacique d’efforts, ainsi que les densités scalaires volumique r et surfacique q de quantité de chaleur reçue par unité de temps. •Enfin le milieu possède une énergie interne massique e, une température absolue  positive, une entropie massique s définie à une constante près.

2.2 Lois fondamentales   Les lois qui suivent sont d’origine physique. Leur application se fait quelque soit le corps considéré. Enfin, elles expriment toute la conservation d’une grandeur et permettent d’écrire : Conservation de la masse avec  masse volumique vitesse du fluide   Loi fondamentale de la mécanique avec densité vectorielle volumique d’efforts  tenseur des contraintes

Premier principe de la thermodynamique (conservation )   avec e énergie interne massique D tenseur taux de déformation vecteur flux de chaleur Second principe de la thermodynamique (inégalité réduite à la dissipation) avec f = e -s énergie libre  température absolue s entropie

Dans le modèle newtonien nous faisons apparaître : 7 variables : , , , , ,f,s 2 données : , r L’ensemble est relié par trois principes de conservation. Les lois qui permettent d’obtenir des paramètres en fonction des autres sont appelées lois de comportement. Elles précisent le comportement physique du milieu considéré.

2.3 Hypothèses simplificatrices   Dans de nombreux cas particuliers réels les matériaux utilisés ont des propriétés remarquables qui simplifient l’écriture de leur comportement. Homogénéité Un milieu est homogène si les lois de comportement ne dépendent pas du point considéré. Isotropie Un matériau est dit isotrope si les de comportement ne dépendent pas de la direction (dans l’espace) choisie.

2.4 Fluides newtoniens   Ce sont les fluides qui vérifient les principes et les propriétés précédentes. Un fluide est dit newtonien lorsqu’il présente des lois de comportement linéaire par rapport au taux de déformation et au gradient de la température. Les fluides newtoniens sont homogènes, isotropes, à mémoire mécanique infiniment courte, et à mémoire thermique nulle.

2.5. Lois empiriques de fluides non-newtoniens à viscosité variable - La loi de puissance :

- Loi de Powell-Eyring

2.6 Aspect dimensionnel Grandeurs caractéristiques des propriétés mécaniques du matériau qui interviennent dans la relation - la viscosité  ; - le temps t0 ; une liste de paramètres sans dimension ßi ; la forme des fonctions K1 et K2.

Paramètres de similitude pour des fluides newtoniens suivant les même lois physiques - les nombres sans dimension - les paramètres sans dimension des conditions limites et initiales Paramètres de similitude pour des fluides non-newtoniens suivant les même lois physiques et ayant des fonctions K1 et K2 de la même formes - les même propriétés que pour les fluides newtoniens - un paramètre adimensionnel de temps - la liste des i .

1. Définitions Définition du corps et de son mouvement:   1   Cinématique appropriée Définition du corps et de son mouvement: un ensemble doté d’une structure mathématique d’algèbre de Boole Configuration de référence et déformation du corps par rapport à une configuration Différentes descriptions d’un mouvement Gradient de la déformation définition du gradient spatial du champ vectoriel χK. Théorème de décomposition polaire de Cauchy le gradient de la déformation est décomposé en un tenseur rotation pure et en les tenseurs déformation pure.

2 Lois de comportement Application des principes de formulation à la nouvelle description le tenseur des contraintes dans un corps est déterminé par l’histoire de son mouvement Pour les corps matériellement simples Homogénéité et isotropie : fluides matériellement simples le corps est homogène, et donc que la fonctionnelle est la même pour toutes les particules.

3 Formes particulières de lois de comportement Les Fluides du type différentiel ou de Rivlin-Ericksen, Fluides du type taux, Fluides du type intégral.

4 Écoulement d’un fluide simple à histoire de la déformation pure constante Définition => les valeurs propres de W ne dépendent pas du temps t dans ces conditions : on dit que l’écoulement est à histoire de la déformation pure constante Relations cinématiques

5 Écoulements viscosimétriques Définition => Ces écoulements peuvent être présentés d’une façon plus générale incluant des écoulements non stationnaires