Prise en compte des options et garanties financières dans la tarification: du stochastique au déterministe? L’étude que je vais vous présenter aujourd’hui concerne les options et garanties financières présentes dans les contrats d’assurance vie, et plus particulièrement le problème posé par leur intégration dans la tarification des contrats. Présentation du 26/03/2010

Plan de la présentation Contexte et objectif du mémoire Contexte Problématique Objectif Démarche retenue Etapes successives Indicateur de rentabilité Mesure du besoin en fonds propres économiques Modélisation utilisée Modélisation Actif Modélisation Passif Calcul du coût du capital Résultats et Sensibilités Dans un premier temps nous exposerons le contexte dans lequel ce mémoire a été demandé : nous présenterons d’abord quelle est la problématique qui a fait émerger la nécessité de cette étude, puis nous déterminerons l’objectif précis de cette étude. Dans un second temps, nous présenterons la démarche qui a été retenue afin de répondre au problème. Nous nous attarderons ensuite sur la modélisation qui a été utilisée. Enfin, nous présenterons les grands résultats de cette étude et nous décrirons les études de sensibilité qui ont été réalisées afin de valider ou d’apporter des perspectives d’amélioration à l’étude.

Contexte du mémoire 1 2 3 4 5 6 CONTEXTE DU MÉMOIRE DÉMARCHE RETENUE MODÉLISATION UTILISÉE RÉSULTATS CONCLUSION QUESTIONS Contexte du mémoire

Contexte Etape préalable au lancement d’un nouveau produit: le profit-testing Objectifs du profit-testing proposer un tarif compétitif maîtriser sa rentabilité Déroulement d’un profit-test Utilisation actuelle des profit-tests pour la tarification Approche déterministe Unicité du taux de rentabilité cible pour tous les types de produits Rentabilité cible Hypothèses: taux de mortalité taux de rendement frais … Paramètres: chargements commissions Résultats: cash-flows futurs valeur actuelle des profits futurs coût du capital indicateurs de rentabilité (ROE annuel, IRR, NBM…) Modèle de PROFIT-TESTING D'une manière générale, avant de lancer un produit, les entités réalisent des études de rentabilité, que l’on appelle des profit-tests. Un profit-test a pour but de vérifier que le tarif d'un produit est suffisant pour satisfaire les exigences de rentabilité et de compétitivité de l'assureur. A partir d’un jeu initial d'hypothèses (table de mortalité utilisée, taux de rendement des actifs ...) ainsi que des paramètres de tarification (chargements, commissions…), on lance le modèle de profit-testing. Ce modèle permet d'obtenir d’une part la suite des cash-flows futurs, et d'autre part des indicateurs de rentabilité. Si le niveau de rentabilité cible n’est pas atteint à l’issue de cette simulation, le jeu de paramètres est modifié jusqu’à ce que le taux de rentabilité cible soit atteint. Deux point sont à relever dans l’utilisation qui est faite des profit-tests aujourd’hui, ce sont ces deux éléments qui sont à l’origine de la problématique soulevée : dans la majorité des cas, le profit-test est réalisé par des simulations déterministes. le taux de rentabilité cible retenu est unique : il est identique quel que soit le type de produit et/ou type de risque. En effet, ce sont les entités de Groupama (en France et dans le monde) qui lancent leurs propres produits. Mais la rentabilité cible d'un produit découle des contraintes de rentabilité des fonds propres fixées au niveau central de Groupama. Cependant, pour un produit d'épargne par exemple, la rentabilité attendue devrait varier en fonction des coûts des options et des garanties offertes, toutes choses égales par ailleurs. Si le taux de rentabilité cible n’est pas atteint

Risque pour l’assureur Problématique (1/2) Présentation des options et garanties financières : garanties ou droits conférés aux assurés (réglementation ou clauses contractuelles) pas de tarification explicite leur effet dépend souvent d’une décision de l’assuré ou de l’évolution des conditions financières. Exemples et risque asociés Le niveau de risque d’un contrat dépend des options et garanties financières présentes. Option/Garantie Définition Risque pour l’assureur Taux minimum garanti garantit un taux de revalorisation minimal de l’épargne rendement de l’actif inférieur à ce taux Option de rachat donne le droit de récupérer à tout moment son épargne céder des actifs en moins-value Option de conversion en rente donne le choix entre le versement d’une rente ou d’un capital au terme mortalité < mortalité prévue et/ou taux du marché < taux garanti Avant d’expliquer pourquoi leur présence nécessite une attention particulière, nous allons définir ce que sont les options et garanties financières et en déduire les risques associés à leur présence. Ces options et garanties financières sont présentes dans la majorité des contrats d’assurance vie. Il s’agit de garanties ou de droits qui sont accordés aux assurés mais qui ne font pas l’objet d’une tarification explicite. Pourtant, dans certains cas, elles peuvent représenter un engagement dont le coût peut s’avérer significatif pour l’assureur. Parmi les options et garanties financières les plus courantes, on trouve la garantie de taux minimum qui garantit un niveau minimal de revalorisation de l’épargne de l’assuré. L’assureur est donc obligé de servir à l’assuré le taux garanti quel que soit le taux de rendement de son actif. Dans des situations de baisse des marchés financiers, cette garanti peut mettre l’assureur dans une situation difficile en l’obligeant à puiser dans ses fonds propres. L’option de rachat qui permet à l’assuré de choisir de récupérer à tout instant son épargne peut s’avérer dangereuse dans une situation de hausse des taux qui l’oblige à vendre en moins value. Ce risque est accentué par le fait que c’est justement dans cette situation de hausse des taux que les assurés ont tendance à racheter leurs contrats. Enfin nous pouvons citer l’option de conversion en rente qui offre à l’assuré la possibilité d’opter pour un versement de l’épargne sous forme de rente viagère plutôt que sous forme de capital au terme du contrat. Etant donné que l’assureur garanti un tarif pour la rente, il peut subir des pertes dans les scénarios où la rente coûte plus cher que prévue (marché bas ou mortalité faible).

Problématique (2/2) Pour les contrats contenant des options et garanties financières, une projection déterministe basée sur des hypothèses moyennes présente les défauts suivants : Caractère volatil des rendements non mis en évidence Asymétrie des cash-flows masquée: Seules des études de rentabilité stochastiques pallient à ces défauts profit-tests stochastiques difficilement envisageables dans le temps imparti pour la tarification L’approche déterministe utilisée pour les profit tests ne permet pas de prendre en compte tous les risques du produit. En effet, le caractère volatil des rendements n’est pas mis en évidence puisque le rendement de l’actif correspond à une hypothèse moyenne. C’est pourtant ce caractère volatil des rendements de l’actif qui constitue un danger pour l’assureur dans le cas de contrats présentant des options et garanties financières. Le risque lié à la présence de telles options, et en particulier la présence conjointe d’un taux minimum garanti et d’une clause de participation aux bénéfices n’est pas mis en évidence. En effet, il existe alors un partage asymétrique des résultats financiers entre l’assureur et l’assuré, et, dans le cas d’un rendement moyen de l’actif, cet effet d’asymétrie ne se manifeste pas. Prenons un exemple illustrant cet effet d’asymétrie : on considère un contrat garantissant un taux minimum de 3% avec un taux de PB de 90%. L’axe des abscisses représente le taux de rendement de l’actif. Dans le cas où l’actif a un rendement inférieur à 3%, l’assureur doit quand même servir 3% l’assuré, il est donc obligé de puiser dans ses fonds propres. L’assuré quand à lui reçoit bien 3%. La perte est entièrement supportée par l’assureur. Par contre, dans le cas où l’actif a un rendement supérieur à 3%, l’assureur est obligé d’en reverser 90% à l’assuré, même si cela dépasse le taux garanti. Ainsi les gains sont entièrement partagés. Il y donc une asymétrie du partage des pertes et gains réalisés. La seule façon de mettre en évidence cette asymétrie consiste à réaliser des profit-tests stochastiques qui vont, à travers un grand nombre de scénarios financiers, capter cet effet d’asymétrie. Malheureusement, le temps imparti permet difficilement de mettre en place des profit-tests stochastiques. Un des objectifs de Groupama est donc de définir un niveau de rentabilité cible tenant compte du niveau de risque inhérent au produit tout en évitant de mettre en place des modélisations sophistiquées et coûteuses pour chaque nouveau produit. Ce mémoire qui étudie la démarche permettant de fixer les niveaux de rentabilité cible selon les options et des garanties financières offertes s'inscrit pleinement dans ce projet.

Taux de rentabilité cible Objectif du mémoire Niveau de TAUX MINIMUM GARANTI Présence/Absence OPTION DE RACHAT Présence/Absence OPTION DE CONVERSION EN RENTE Taux de rentabilité cible + Capital économique Proposer une démarche permettant de fixer, en fonction du type d’options et garanties financières présentes dans le produit, le niveau de rentabilité cible le montant de fonds propres économiques Comme nous venons de le voir, l’objectif de Groupama est de définir un niveau de rentabilité cible et par la même occasion le montant de fonds propres économiques à immobiliser, tenant compte du niveau de risque inhérent au produit tout en conservant une approche déterministe dans les profit-tests. Pour cela, nous étudions une démarche permettant de fixer les niveaux de rentabilité cible selon les options et des garanties financières offertes. Plus particulièrement, cette démarche consiste à ajuster le taux de rentabilité cible aux caractéristiques du produit en termes d’options et garanties financières présentes. Intuitivement, on peut imaginer qu’un contrat ayant des options et garanties financières expose à plus de risque et nécessite donc une rentabilité et des capitaux mobilisés supérieurs à ceux d’un contrat sans options ni garanties financières. Nous étudierons particulièrement la garantie de taux minimum et nous évoquerons également l’option de rachat et l’option de conversion en rente. Intégrer les options et garanties financières dans la tarification d’un contrat d’assurance vie, tout en conservant une approche déterministe.

Démarche retenue 1 2 3 4 5 6 CONTEXTE DU MÉMOIRE DÉMARCHE RETENUE MODÉLISATION UTILISÉE RÉSULTATS CONCLUSION QUESTIONS Démarche retenue

Etapes successives (1/2) La démarche mise en place se décompose en 3 grandes étapes : Application sur un exemple simple: contrat d’épargne en euros à prime unique Versement de l’épargne acquise : à l’assuré en cas de survie au terme du contrat, ou à ses ayants-droit en cas de décès de l’assuré avant le terme du contrat Données initiales Recherche d'une relation entre les indicateurs issus des deux étapes Etape 3 Nous avons donc cherché une méthode qui a pour but de définir les taux cibles à demander aux entités en fonction du type de contrat qu’elles souhaitent lancer. La démarche retenue se déroule de la façon suivante : on part d’un jeu de données initiales qui correspond aux hypothèses de tarification, aux paramètres de tarification. A partir de ces données, nous allons calculer un indicateur de rentabilité avec une approche déterministe. Dans un second temps, avec ces mêmes données initiales, nous allons calculer, à l’aide de Monte-Carlo, l’indicateur de rendement moyen à partir d’un jeu de scénarios économiques. Enfin nous essaierons de mettre en place une relation stable entre ces deux indicateurs qui permettra ensuite de déduire de l’indicateur de rendement obtenu selon une approche déterministe l’indicateur moyen qui serait obtenu par une approche stochastique. Pour tester cette démarche, nous nous basons sur un contrat classique d’épargne en euros. Ce contrat prévoit le versement de l’épargne acquise à l’assuré en cas de survie au terme du contrat, ou s’il décède avant, à ses bénéficiaires l’année du décès.

Etapes successives (2/2) Au préalable, on fige les paramètres de tarification et on fixe les hypothèses On définit les différents niveaux des options et garanties financières que l’on va tester Etapes successives: Etape 1 : on réalise une étude déterministe pour chaque niveau de garantie 1 étude déterministe  INDICATEUR déterministe Etape 2 : on fait une étude stochastique pour chaque niveau de garantie 10 000 études stochastiques  INDICATEUR moyen Etape 3 : on essaie de mettre en place une relation stable entre les taux de rentabilité issu de l’étude déterministe et ceux obtenus avec l’étude stochastique INDICATEUR déterministe = f (INDICATEUR moyen)  L’objectif est de pouvoir définir les taux de rentabilité cibles à utiliser dans les profit-tests déterministes en fonction des options et garanties offertes Nous allons ici détailler les étapes de la démarche : Dans un premier temps, les paramètres de tarification doivent être fixés ainsi que les hypothèses de tarification. Par ailleurs, il est nécessaire de définir les niveaux de garanties à tester. Pour la garantie de taux minimum, nous exprimons les différents niveaux comme des pourcentages du taux sans risque. On réalise une étude pour chaque niveau de TMG allant de 0% à 90% du taux sans risque. Une fois ces éléments fixés, nous commençons par réaliser une étude déterministe pour chaque niveau de garantie défini. Nous obtenons alors un TRI par niveau de garantie que l’on appelle TRI déterministe. Ensuite, à partir d’un grand nombre de scénario (10 000), en gardant les mêmes hypothèses et les mêmes paramètres que l’étude déterministe, on réalise, une étude pour chaque scénario et pour chaque niveau de garanti. On obtient alors 10 000 TRI par niveau de garantie. On en déduit alors un TRI moyen que l’on appelle TRI stochastique. A partir des couples (TRI déterministe; TRI moyen) obtenus pour chaque niveau de garantie, on essaie de définir une relation entre les deux indicateurs obtenus.

Indicateurs de rentabilité Cash-flows négatifs CoC Cash-flows positifs Valeur actuelle des Résultats futurs Rentabilité = capacité des produits commercialisés à dégager du revenu afin de rémunérer le capital immobilisé Existence de plusieurs indicateurs de rentabilité : Marge annuelle réalisée sur les contrats souscrits New Business Margin (NBM) Ratio résultat net sur fonds propres Return on Equity (ROE) Taux de rendement interne (TRI) Taux d’actualisation qui annule la valeur actuelle nette de la somme des flux de l’assureur INDICATEUR RETENU POUR L’ETUDE Pour pouvoir appliquer cette démarche, il est nécessaire de définir un indicateur de rentabilité. Il existe différentes façons pour une société d’assurance de mesurer la rentabilité d’un contrat. La rentabilité correspond à la capacité des produits commercialisés à dégager du revenu afin de rémunérer le capital immobilisé : il faut donc rapporter le profit généré au capital investi initialement. Nous allons présenter 3 indicateurs généralement utilisés pour mesurer la rentabilité d’un contrat. Le 1er est un indicateur annuel. Cependant, étant donné qu’un produit d’assurance vie génère du profit sur plusieurs années, il est intéressant de tenir compte des bénéfices générés tout au long du contrat. C’est le cas des 2 autres indicateurs. ROE L’investissement étant matérialisé par les fonds propres immobilisés et le revenu par le résultat net, le ROE est déterminé par le ratio résultat de l’année sur fonds propres immobilisés. Il est calculé pour chaque année. Ce ratio permet de quantifier la cadence de revenu sur la durée: on calcule un ROE par année. NBM Il s’agit de la marge annuelle réalisée sur les contrats souscrits. Elle est calculée en divisant la valeur actuelle des profits futurs par la valeur annuelle équivalente des primes (APE). La valeur actuelle des profits futurs correspond à la somme des résultats futurs actualisés à laquelle on a retiré le coût d’immobilisation du capital. Afin de pouvoir comparer la rentabilité des produits à primes périodiques et à prime unique, la valeur actuelle équivalente des primes est calculée comme la somme de 100% des primes périodiques et de 10% des primes uniques souscrites. TRI Il s’agit du taux d’actualisation qui annule la valeur actuelle nette de la somme des flux de l’assureur, c’est-à-dire qui égalise ses cash-flows positifs à ses cash-flows négatifs sur la durée du contrat. Les flux de l’assureur correspondent aux bénéfices générés par le produit (cash-flows positifs) moins le capital immobilisé. Les flux totaux sont donc les résultats de son activité nets du coût du capital. Sur le schéma, la courbe représente la valeur actuelle des flux de l’assureur calculée à différents taux d’actualisation. Le TRI correspond au taux pour lequel cette VAN est nulle, c’est-à-dire ici un peu plus de 20%. Pour notre étude, nous retenons comme indicateur le taux de rendement interne. En effet, il a l’avantage d’être un indicateur de la rentabilité sur toute la durée du contrat et à la fois de ne pas dépendre d’une hypothèse de taux d’actualisation contrairement à la new Business Margin. 0%

Calcul du capital économique Capital cible nécessaire à une société d’assurance pour pérenniser son activité Méthode de calcul propre à chaque société d’assurance capital économique souvent calculé en déterminant le montant nécessaire pour que, sur un horizon donné, P(ruine) < seuil de confiance Méthode choisie ( généralement utilisée en assurance vie) : quantile à 0,5% de la distribution de la PVFP (valeur actuelle probable des profits futurs)  couverture des résultats dans 99,5% des cas Nous allons maintenant expliquer la façon dont nous avons calculé le montant de fonds propres à immobiliser lors du lancement d’un contrat. Nous allons d’abord rappeler à quoi correspond le capital économique. On le distingue du capital réglementaire qui correspond au capital nécessaire à immobiliser pour pouvoir continuer à exercer son activité au sens réglementaire, c’est-à-dire vis-à-vis de l’autorité de contrôle des assurances. Le niveau de fonds propres économiques correspond quant à lui au capital que la société d’assurance estime nécessaire pour pérenniser son activité. Chaque société a sa propre façon de calculer ce montant de capital. Cependant, il s’agit souvent du montant de capitaux suffisant pour absorber les pertes à un certain niveau de probabilité. Dans notre situation, nous calculons ce montant comme le quantile à 0,5% de la distribution de la valeur actuelle probable des profits futurs. Ainsi, on couvre les résultats dans 99,5% des cas: on réduit la probabilité de ruine à 0,5%, c’est-à-dire une ruine tous les 200 ans.

Modélisation utilisée 1 2 3 4 5 6 CONTEXTE DU MÉMOIRE DÉMARCHE RETENUE MODÉLISATION UTILISÉE RÉSULTATS CONCLUSION QUESTIONS Modélisation utilisée

Modélisation de l’Actif Allocation entre les différentes classes d’actifs définie au lancement du contrat et maintenue tout au long du contrat Actif vendu à chaque fin d’année donc Les scénarios stochastiques utilisés sont basés sur les modèles suivants: Source: GSE Barrie Hibbert utilisé par la Direction Financière L’inflation est déduite par différence entre le taux nominal et le taux réel Taux nominal Black Karasinski (2 facteurs) Taux réel Vasicek (2 facteurs) Actions Modèle lognormal (volatilité dépendante du temps) Immobilier Modèle lognormal (volatilité constante) En ce qui concerne l’actif, nous avons fixé une allocation entre les différentes classes d’actif au début du contrat, puis nous avons maintenu l’allocation identique tout au long du contrat. Nous avons fait l’hypothèse que la totalité de l’actif était vendu à chaque fin d’année et que l’argent était réinvesti ensuite dans les proportions initiales. De cette façon, le rendement de l’actif total est égal à la moyenne des rendements de chaque actif, pondérés par le poids respectif de chaque actif dans le portefeuille. Afin de générer les scénarios économiques, nous avons utilisé le modèle de Barrie et Hilbert. Les modèles choisis pour chaque classe d’actifs sont les suivants : …. Notons que l’inflation est déduite par différence entre les taux nominaux et les taux réels. Il est important de choisir entre une modélisation en univers risque neutre ou en monde réel. Pour cela, nous devons distinguer les deux: En effet, la mesure risque neutre est utilisée quand il s’agit d’évaluer à une certaine date la valeur (« fair value ») d’un contrat délivrant des cash flows futurs aléatoires. C’est pourquoi on utilise des scénarios market-consistent pour le calcul de l’Embedded Value et pour la détermination du Best Estimate en approche formule standard. Cependant, cette méthodologie ne permet pas d’établir des distributions et d’en analyser les queues. La mesure réelle est utilisée en risk management pour obtenir des mesures de la solvabilité. On s’intéresse en effet à ce qui va « vraiment » se produire dans le futur sur la base d’une position actuelle de départ. L’évaluation des risques nécessite le recours à la probabilité historique et se fait dans le monde réel. Il faut donc bien distinguer la fixation d’un prix et le contrôle des risques. L’étude que nous réalisons ici est une étude de risque. Nous utilisons donc des scénarios monde réel. Tu as donc essayé d'identifier les modèles utilisés sans juger les choix retenus et sans rentrer dans le détail des calibrages

Modélisation du Passif (1/2) Projection des flux futurs du passif : Flux futurs d’assurance (prestations, primes, provisions mathématiques) Flux de frais et de commissions futurs Pour cela, nécessité d’avoir défini les éléments suivants: Définition du montant de capital immobilisé : marge de solvabilité réglementaire en vigueur (Solvabilité1), c’est-à-dire, pour un contrat d’épargne en euros : 4% des provisions mathématiques + 0,5% des capitaux sous risque Nécessité de définir des règles de comportement pour les assurés: loi de rachat loi de conversion en rente Hypothèses de tarification + Paramètres de tarification Caractéristiques du produit Caractéristiques des assurés La modélisation du passif consiste en la projection des flux futurs d’assurance, c’est-à-dire le chiffre d’affaire, les prestations, les provisions mathématiques ainsi que la projection des frais et des commissions futurs. Pour cela, on se base sur les hypothèses et les paramètres de tarification ainsi que sur les caractéristiques du produit et des assurés. Il est donc nécessaire de définir des règles de comportement pour les assurés : une loi de rachat et une loi de conversion en rente. Par ailleurs, la modélisation du passif passe également par la modélisation des fonds propres. On retient dans notre étude un montant de capital immobilisé égal à la marge de solvabilité réglementaire exigée. Elles est définie actuellement par la norme Solvabilité 1. Elle correspond, pour un contrat d’épargne en euros à un montant correspondant à la somme de 4% des Provisions mathématiques et de 0,5% des capitaux sous risques.

Modélisation du Passif (2/2) Loi de rachat: rachats structurels + indépendants des conditions du marché rachats conjoncturels en fonction conditions du marché Ancienneté Taux de rachat <4 2 % 4< ancienneté<8 5 % <8 8% Loi de conversion en rente On considère ici que tous les assurés sont rationnels puisqu'ils convertissent tous lorsque c’est avantageux pour eux, c’est-à-dire lorsque: Taux marché > Taux technique Afin de modéliser le comportement des assurés, nous avons défini une loi de rachat et une loi de conversion en rente. La loi de rachat est définie en deux parties: un taux de rachats structurels et un taux de rachats conjoncturels. Les rachats structurels sont les rachats qui ont toujours lieu et qui sont indépendants des conditions du marché. En effet, ces rachats correspondent aux situations où les assurés rachètent pour des raisons personnelles comme un besoin immédiat de liquidité… Les rachats conjoncturels résultent quant à eux d’une comparaison que l’assuré fait entre la performance de son contrat et la rentabilité qu’il pourrait avoir en plaçant son épargne ailleurs. Il s’agit d’un comportement rationnel de l’assuré qui cherche à saisir une opportunité d’arbitrage. Cependant, on considère que tous les assurés ne sont pas rationnels. En effet, tout le monde ne va pas réagir à cette opportunité d’arbitrage. On considère que les assurés réagissent de façon plus ou moins nombreuse et plus où moins rapide en fonction du niveau de taux qu’on lui garantit. On définit un seuil, une pente et un plafond en fonction du niveau de TMG garanti. En ce qui concerne la conversion en rente, on a fait l’hypothèse que tous les assurés étaient rationnels, c’est-à-dire que dans le cas d’un taux technique plus avantageux que le taux en vigueur sur le marche, l’assuré choisit systématiquement la conversion.

Calcul du coût du capital (1/2) Coût de rémunération du capital immobilisé que l’assureur doit rémunérer à hauteur du taux de rendement attendu par les actionnaires 2 approches mathématiquement équivalentes pour le calculer 1ère approche avec : le montant de fonds propres immobilisés l’année K : le taux de l’impôt sur les sociétés : le taux de rendement attendu par l’actionnaire : le taux de rendement des fonds propres VA de la rémunération attendue par l’actionnaire (calculée au taux d’actualisation) VA de la rémunération prévisionnelle (calculée au taux de rendement des actifs nets d’impôts) Afin de calculer le taux de rendement interne du contrat, il est nécessaire de définir le coût du capital. Le coût du capital, appelé également coût de portage correspond au coût de rémunération du capital immobilisé. En effet, l’assureur doit le rémunérer à hauteur du rendement attendu par les actionnaires alors que les capitaux propres sont placés au taux sans risque. Il s'agit de mesurer le coût d'opportunité consenti par un investisseur en immobilisant des capitaux propres afin de pouvoir exercer l'activité d'assurance. Pour le calculer, il existe deux approches qui sont mathématiquement équivalentes. La première méthode consiste à calculer la valeur actuelle de la rémunération attendue par l’actionnaire à laquelle on soustrait la valeur actuelle de la rémunération prévisionnelle. La valeur actuelle de la rémunération attendue par l’actionnaire est calculée avec un taux d’actualisation qui correspond au taux de rendement attendu par l’actionnaire. La valeur actuelle de la rémunération prévisionnelle est quant à elle calculée au taux de rendement des actifs mis en représentation des fonds propres, net d’impôts. Ainsi on calcule le manque à gagner du fait que les fonds propres soient immobilisés à un taux inférieur à celui que les actionnaires attendent.

Calcul du coût du capital (2/2) 2ème approche avec : le montant de fonds propres immobilisés l’année K : le taux de l’impôt sur les sociétés : le taux de rendement attendu par l’actionnaire : le taux de rendement des fonds propres Capitaux portés pour couvrir la marge de solvabilité VA des flux nécessaires pour couvrir les variations de capitaux mobilisés VA de la reprise des capitaux en couverture de la MS à l’horizon de projection VA des produits financiers nets d’impôt réalisés sur les actifs en couverture des capitaux mobilisés La deuxième approche consiste à sommer les éléments suivants : les capitaux initiaux apportés la valeur actuelles des flux nécessaires pour couvrir les variations de capitaux mobilisés auxquels on retire, la valeur actuelles des capitaux en couverture de la marge de solvabilité à l’horizon de projection la valeur actuelle des produits financiers nets d’impôt réalisés sur les actifs en couverture des capitaux mobilisés. Ainsi, comme nous venons de la voir, le montant de capital utilisé pour le calcul du coût du capital correspond à la marge de solvabilité exigée par la directive Solvabilité 1.

Résultats 1 2 3 4 5 6 CONTEXTE DU MÉMOIRE DÉMARCHE RETENUE MODÉLISATION UTILISÉE RÉSULTATS CONCLUSION QUESTIONS Résultats

Résultats (garantie de tmg + pb) TAUX DE RENDEMENT INTERNE FONDS PROPRES ECONOMIQUES On présente sur ce slide les résultats qui concernent la garantie de taux minimum. On représente en abscisse le niveau de garantie exprimé en fonction du taux sans risque. En ordonnée on lit le niveau du taux de rendement interne du contrat. En bleu foncé sont représentés les taux de rendement internes obtenus par l’approche déterministe. En bleu plus clair sont représentés les taux de rendement internes moyens obtenus par l’approche stochastique effectuée sur la base des mêmes paramètres et hypothèses de tarification que l’approche déterministe. On peut constater que le TRI moyen stochastique est toujours inférieur au TRI déterministe. Par ailleurs, l’écart est croissant avec le niveau de taux garanti. + expliquer pourquoi avec 0% il y a un écart Sur le deuxième graphique est représenté le montant de fonds propres économiques: il s’agit de l’histogramme orange. La courbe représentée ne bleu correspond au niveau actuel de fond propres immobilisés: pour rappel il s’agit de la marge minimale de solvabilité exigée par la norme en vigueur, c’est-à-dire Solvabilité 1. On peut remarque que la marge de Solvabilité en vigueur est très rapidement insuffisante lorsque l’on augmente le taux minimum garanti. En effet, dès que l’on dépasse une garantie de taux supérieure à 30% du taux sans risque, le montant correspondant à 4% des provisions mathématiques est insuffisant.

Résultats (garantie de tmg + pb) Remarques : TRI stochastique moyen < TRI déterministe Ecarts croissants avec le niveau de TMG Construction de la courbe des écarts relatifs Exemple d’interprétation : pour un contrat qui garantit 30% du taux sans risque, le taux de rendement interne du contrat est de 32% inférieur à celui obtenu par l’approche déterministe d’où TRImoyen = 68 % TRIdéterministe - 32% écart relatif = Afin de pouvoir définir un niveau de rentabilité cible en fonction du niveau de garantie, nous avons pensé à utilisé l’écart relatif entre les taux issus de l’approche déterministe et les taux issus de l’approche stochastique. Pour cela, nous avons construit la courbe de ces écarts relatifs puis nous avons cherché à savoir si cette courbe était stable quelles que soient les caractéristiques du contrat. On peut par exemple lire sur cette courbe que pour un contrat dont le TMG est égal à 30% du taux sans risque, le taux de rendement interne du contrat est en réalité inférieur de 32% à celui obtenu lors du profit-test déterministe.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Paramètre variable Sensibilité Durée du contrat Age moyen des assurés Taux cible Mortalité Nature des primes Structure de frais Marge de solvabilité Volatilité du marché Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Vérification de la stabilité de la relation Afin de vérifier la stabilité de la relation, nous avons réalisé de nombreuses études de sensibilité Les résultats sont présentés ci-dessous: à chaque variable étudiée, nous associons la sensibilité de la courbe des écarts relatifs: NB: le nombre de + indique l’intensité de la sensibilité. Le signe ø indique que la courbe n’est pas sensible à la variation de cette hypothèse Paramètre variable Sensibilité Durée du contrat + Age moyen des assurés Ø Taux cible Mortalité Nature des primes Structure de frais ++ Marge de solvabilité Volatilité du marché +++ Comme nous l’avons évoque précédemment, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut s’assurer qu’elle est stable, et plus particulièrement il fait s’assurer que lorsque l’on change le taux cible déterministe, cette relation est toujours vérifiée. … Ainsi, nous pouvons constater que quelles que soient les caractéristiques du contrat, la relation est relativement stable. Bien entendu, si les caractéristiques de l’actif changent (proportion action, volatilité des marchés), cette courbe sera modifiée. C’est pourquoi il est nécessaire de revoir cette relation en fonction des conditions du marché et des caractéristiques de l’investissement réalisé par la société.

Conclusion 1 2 3 4 5 6 CONTEXTE DU MÉMOIRE DÉMARCHE RETENUE MODÉLISATION UTILISÉE RÉSULTATS CONCLUSION QUESTIONS Conclusion

Conclusion Double peine : la présence d’options et garanties financières nécessite une exigence de rentabilité accrue et un niveau de fonds propres économiques plus important Ecarts observés entre déterministe et stochastique assez conséquents : ils sont dus à une calibration des scénarios au 31/12/2008 avec forte volatilité des marchés. Démarche à suivre dans une situation de temps et/ou de budget limité: un profit-test stochastique est toujours préférable : Important de refaire l’étude dans le cas d’un changement dans l’allocation d’actifs cible où d’un changement brutal des marchés. Perspectives: Démarche à tester sur d’autres types de contrats (décès, prévoyance..) Tester d’autres lois de comportement non Volonté de lancement d’un nouveau produit Profit-test stochastique Profit-test déterministe avec ajustement des taux cibles Temps suffisant ? oui En conclusion on peut dire que nos résultats montrent que dans le cas de la présence d’options et garanties financières dans un contrat, l’assureur subit une double peine: il doit à la fois exiger une rentabilité accrue mais aussi immobiliser un montatn de fonds propres plus important. Cependant, les écarts relatifs de rentabilité observés et les niveaux de fonds propres économiques obtenus sont relativement élevés. En effet, les scénarios économiques sont calibrés à partir du marché au 31/12/2008. A ce moment là, les marchés étaient bas et volatils. Si on réalise la même étude avec des scénarios calibrés au 31/12/2007, les écarts relatifs sont plus faibles. Il faut donc être vigilents puisque la courbe des écarts relatifs est fortement dépendante des conditions de marché et en même temps de l’allocation cible et particulièrement de la proportion des actions. Ainsi, s’il y a un changement conséquent dans la stratégie d’allocation des actifs ou une variation brutale des marchés, il serait judicieux de relancer l’étude avec les nouvelles hypothèses. Enfin pour conclure, nous rappelons que bien sûr, un profit-test stochastique est préférable à l’utilisation de profit-test déterministe avec un ajustement des taux cibles. Cette méthode n’est à utiliser que dans le cas où le temps ou les moyens impartis sont insuffisants. Afin de généraliser cette démarche, il serait intéressant de la tester sur d’autres types de contrat afin de voir si les écarts relatifs sont stables. Par ailleurs, d’autres lois de comportement des assurés pourraient être testées. Objectif atteint: intégration du coût des options et garanties financières tout en conservant une approche déterminitse pour les profit-tests Bien entendu, une étude stochastique reste préférable, résultats à utiliser dans une situation de temps et/ou de budget et/ou compétences limitées. Test pour vérifier: on veut lancer un contrat dont le taux minimum garanti est de 40%. On estime vouloir un taux de rendement de 8%. D’après notre étude, nous devons calibré le profit-test de façon à obtenir un taux de rentabilité cible de 13,55% C’est ce que nous avons réalisé. On obtient alors un taux de rendement interne de 7,92% et une probabilité de ruine de .

Questions 1 2 3 4 5 6 CONTEXTE DU MÉMOIRE DÉMARCHE RETENUE MODÉLISATION UTILISÉE RÉSULTATS CONCLUSION QUESTIONS Questions