Les conceptions des objets mathématiques portées par le langage : Analyse des erreurs langagières en mathématique Yveline Puault – 14 novembre 2006 – http://yveline.puault.free.fr

Précisions de vocabulaire Langue naturelle : système de communication d’un groupe donné, inscrit dans une culture et une histoire (langue courante) Langage formel des mathématiques : langage symbolique ou écriture symbolique ( codage et signes) Langue mathématique (LM de Colette Laborde ): les deux codes précédents en interaction avec 3 propriétés : présence dans la langue courante d’éléments d’écriture symbolique termes lexicaux ayant un sens spécifique en mathématique des tournures syntaxiques privilégiées

I. Les relations entre le langage et les mathématiques : le langage porteur d’une conception du monde : points de vue cognitif et linguistique La langue naturelle autour des mathématiques : point de vue psychosocial la langue utilisée en mathématiques dans le processus de l’élaboration scientifique : épistémologie et analyse des discours scientifiques

II. Les recherches en didactique Les caractéristiques de la langue mathématique La thèse de Colette Laborde Les travaux communs de linguistes et mathématiciens Verbalisation et conceptualisation L’analyse des formulations en classe de physique La formulation des définitions en classe de sciences L’étude des mots en sciences La verbalisation et la conceptualisation en technologie La place de l’erreur dans la recherche en didactique L’erreur dans les modèles constructivistes L’erreur comme rupture de contrat L’erreur dans une approche psychologique Les rapports au savoir

III. Hypothèses posées Des difficultés internes à la langue mathématique existent : la maîtrise de ces difficultés est interdépendante de la maîtrise des objets mathématiques. Des difficultés dues aux représentations et conceptions portées par le langage interfèrent avec la langue mathématique et sont un obstacle supplémentaire : elles sont représentatives du rapport à l’apprentissage des mathématiques et d’ordre psychologique et sociologique.

Questions : Est-ce que des difficultés en langue peuvent créer des échecs en mathématiques ? Quelle est la part de difficultés inhérentes aux objets mathématiques et celle imputable au langage mathématique ? Est-ce qu’une remédiation par le langage et du méta-langage est suffisante ? Quel est le rôle de la formulation des enseignants et de leurs conceptions personnelles des mathématiques ?

Les erreurs de langage dans son fonctionnement en mathématiques A) les erreurs dues à une difficulté du côté langagier : un manque de vocabulaire pour s’exprimer qui peut masquer une conception juste qui ne peut être transcrite par le langage ; un manque de vocabulaire dans le langage naturel, qui recouvre une difficulté de conceptualisation.

Erreurs dues au manque de vocabulaire recouvrant un manque conceptuel : EL : On a vu les angles complémentaires ; je comprends pas complémentaire E : Dans la vie de tous les jours, on utilise le mot « complément » ; tu le connais ? EL : non E : par exemple, on ajoute un complément ; on dit des fois ils se complètent bien, ils vont bien ensemble.

Erreurs dues au manque de vocabulaire pour exprimer une conception Elodie veut poser une question sur les angles alterne /interne : « Même si on met… » et s’arrête «  je sais plus, je sais pas… »-elle ne trouve pas les mots pour poser une question -en fait, voulait savoir si les angles internes obtus étaient aussi égaux- E. propose, en suivant son geste : «  Est-ce que les autres aussi sont égaux ? » EL : oui, c’est ça.

B) les erreurs dues à des difficultés mathématiques : -la rencontre d’un obstacle épistémologique -l’absence de représentation ou la représentation différente de l’objet mathématique

Erreurs dues à un obstacle épistémologique :prégnance des conceptions précédentes ED :Tu te rappelles les mesures de longueur ? (ED. écrit m) M : mètre (ED écrit dm) M :ah, j’sais plus, diamètre, non, c’est pas ça, ; diagramme, dicentimètre E : décimètre, c’est le plus difficile.

Erreurs dues à la difficulté de représentation de la notion mathématique Elodie doit apprendre la propriété suivante : « Le parallélogramme a un centre de symétrie, c’est le point d’intersection de ses diagonales » EL : un parallélogramme a un centre, un centre 0 euh E : c'est le centre de symétrie, on peut le dire; qui se trouve où? EL : au milieu E : au milieu? EL: j'm'en rappelle plus ça

C) les erreurs renforcées ou provoquées par la formulation mathématique

Erreurs renforcées par la formulation mathématique EL. doit apprendre la définition suivante : « Deux angles sont complémentaires quand la somme de leur mesure est égale à 90 degrés. » Elle dit finalement :Deux angles est complémentaire, (blanc) leur mesure est égale. A la fin de la séance : …quand la mesure est égale à 90° La séance suivante : la somme et la mesure Quelques séances plus tard : la même mesure est égale à 90°

D) les erreurs dues à la difficulté de Les erreurs comme traces du fonctionnement psychologique et du rapport au savoir D) les erreurs dues à la difficulté de secondariser

Erreurs dues à la difficulté de secondariser M : alors, on a fait ça. On multiplie, c’était ça, par exemple; ça, c’était la largeur, et là, y avait écrit 36 et là, 40 ; on devait ,on devait diviser la, la largeur par euh par euh, la longueur, j’crois . J’sais plus si c’est ça, mais euh E : alors, là on est en train… M : c’était comme ça, et là c’était à l’envers et il y avait a b c E : et qu’est-ce qu’il fallait trouver ? M : fallait trouver…euh…ah oui, j’sais pas,

E) les erreurs représentatives du rapport au savoir

Erreurs représentatives du rapport au savoir M : c’est qui qui a inventé qu’il fallait multiplier par 2 ? E : ah, ça fait très longtemps qu’il y a des géomètres, qui se sont dit, plutôt qu’à chaque fois de calculer, ...le périmètre du rectangle, comme pour tous les rectangles, c’est la même loi, et bien, ils ont dit : on va faire une formule qui va ... M : ils auraient pu multiplier par 3 ou par 4, par 6, par 56...

Conclusions Apport de l’analyse des erreurs langagières dans l’aide individuelle aux élèves en difficulté Mise en question de la formulation des mathématiques dans les manuels et dans les cours Interpellation sur la formation des enseignants aux implicites de l’activité langagière

~ ~ ~ ~ FIN ~ ~ ~ ~ Yveline Puault – 14 novembre 2006 – http://yveline.puault.free.fr