Groupe de Travail S3 (Sûreté Surveillance Supervision) Equipe ARIA UMR 5131 CNRS Synthèse d’un filtre de détection pour les systèmes modélisés sous forme LPV Sylvain Grenaille, David Henry, Ali Zolghadri Groupe de Travail S3 (Sûreté Surveillance Supervision) 10 novembre 2005

Plan de la présentation Motivations et problématique DLD: cas LTI Estimation de défaut Génération de résidus DLD: cas LPV Estimation de défaut Génération de résidus Application : circuit secondaire de la centrale nucléaire du Blayais Conclusions et perspectives Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion

Position du problème Problème de DLD: Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Problème de DLD: Générer un ou plusieurs signaux indicateurs de défauts De telle façon que s(t) satisfasse à des spécifications imposées en termes: - de robustesse vis-à-vis des perturbations exogènes - de sensibilité vis-à-vis des phénomènes dont l’effet peut être interprété comme un défaut

Modélisation d’un système Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Modèle LTI incertain Modèle LPV Variations lentes de Variations rapides de

Quelques notations et définitions Cadre des approches à base de normes Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Norme 2 : Norme e (ou norme 2 tronquée) (Ding, 2000): Norme H∞ : Norme H- :

Formulation du problème dans le cas LTI incertain Formalisme LFT : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Problème d’estimation Problème de génération de résidus

Problème de l’estimation dans le cas LTI incertain Problème initialement formulé en boucle ouverte par (Mangoubi, 1993) Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Problème de DLD : Problème d’estimation Déterminer F (stable) tel que Solution :

Problème de génération d’un résidu dans le cas LTI Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Position du problème : On définit le vecteur de résidus : où Déterminer F, My et Mu tels que : contrainte de robustesse (R) : contrainte de sensibilité (S)

Problème de génération d’un résidu dans le cas LTI Contrainte de robustesse : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Contrainte de sensibilité : Transformation de la contrainte H- en une contrainte H∞ « fictive » Lemme (Henry et Zolghadri, 2005) : Condition suffisante Solution : formulation du problème en LMI

Résolution du problème de synthèse par techniques LMI Procédure de synthèse (Henry et Zolghadri, 2005) : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Résolution du système de LMIs R, S, , Calcul de deux matrices inversibles M et N telles que Calcul de la matrice Xcl du lemme réel borné. Cette dernière vérifie Résolution de My, Mu Algèbre linéaire (Gahinet & Apkarian, 94) Techniques LMI AF,BF,CF,DF

Post analyse des performances : solution conservatrice Valeur singulière structurée généralisée μg : F ok ??? Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Valeur singulière structurée généralisée : (R) et (S) atteintes ssi

Problème de génération d’un résidu dans le cas LTI Exemple académique : système du second ordre Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Variations rapides de Variations lentes de

Formulation du problème dans le cas LPV Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Problématique générale en LPV : Problème d’estimation Problème de génération de résidus

Formulation du problème dans le cas LPV : vecteur de paramètres variants dans le temps Si est affine en , il existe une décomposition de suivant ses coordonnées barycentriques: Telle que la matrice puisse s’écrire sous la forme: On dit alors que est un modèle polytopique dont les sommets sont donnés par avec . Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion

Formulation du problème dans le cas LPV Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Si sont mesurables ou estimables en temps réel. Le filtre LPV est obtenu par l’interpolation convexe des différents filtres LTI calculés à chaque sommet du polytope .

Problème de l’estimation dans le cas LPV Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Norme H∞ quadratique: Formulation du problème : Déterminer F(θ) (stable) tel que

Problème de l’estimation dans le cas LPV Proposition : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Soit W une base orthonormale de l’espace noyau de . Il existe un filtre LPV garantissant un niveau de performance H∞ quadratique pour l’ensemble des trajectoires du paramètre à l’intérieur du polytope si et seulement si il existe deux matrices symétriques R et S satisfaisant le système de 2N+1 LMIs suivant:

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Grenaille et al., 2005 Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Position du problème : On définit le vecteur de résidus : où Déterminer F(θ), My et Mu tels que : contrainte de robustesse (R) : contrainte de sensibilité (S)

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Contrainte de robustesse : Formulation des objectifs de synthèse : Contrainte de sensibilité : Formulation des objectifs de synthèse : Contrainte de type maximisation

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Proposition (Grenaille et al., 2005): Soit la pondération Wf(s) traduisant les objectifs de sensibilité. Soit WF(s) un filtre dynamique inversible de dimension appropriée tel que : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Soit un signal fictif tel que Alors : Condition suffisante

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Si est garanti alors les spécifications de robustesse et de sensibilité sont satisfaites. Formulation du problème : Déterminer , et tels que :

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Soit les représentations d’état suivantes :

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Lemme réel borné : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Le filtre satisfait la contrainte ssi il existe un et une matrice tels que:

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Proposition : Soit W une base orthonormale de l’espace noyau de . Il existe un filtre LPV garantissant la vérification de l’inégalité matricielle précédente pour l’ensemble des trajectoires du paramètre à l’intérieur du polytope si et seulement si il existe deux matrices symétriques R et S satisfaisant le système de 2N+1 LMIs suivant: Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Procédure de synthèse : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Résolution du système de LMIs R, S, , Calcul de deux matrices inversibles M et N telles que Calcul de la matrice Xcl du lemme réel borné. Cette dernière vérifie Résolution de My, Mu Algèbre linéaire (Gahinet & Apkarian, 94) Techniques LMI AFi,BFi,CFi,DFi

Problème de génération d’un résidu dans le cas LPV Exemple académique : système du second ordre Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Dans le cas d’une modélisation LTI incertaine Dans le cas d’une modélisation LPV

Centrale nucléaire du Blayais Circuit secondaire de la centrale nucléaire du Blayais - FRANCE Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion CNPE du Blayais: quatre réacteurs de 900 MW

Centrale nucléaire du Blayais Schéma du circuit secondaire Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Les données ont été récupérées lors d’un arrêt de la 4ème tranche en novembre 2002 pour une opération de maintenance Problématique DLD: Détecter et isoler les défauts capteurs (hydrazine et pH)

Centrale nucléaire du Blayais - Modélisation Equations : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Volume d’eau du circuit en litres Concentration d’hydrazine en moles/litres Débit d’extraction d’eau du condenseur en litres/s Commande des pompes injectant l’hydrazine dans le circuit Concentration d’ammoniac en moles/litres Concentration d’oxygène en moles/litres Paramètres dépendants des conditions d’utilisation Relation entre ammoniac et pH : Constantes de basicité de l’ammoniac et de la morpholine Concentration de morpholine Bruit de mesure du pH

Centrale nucléaire du Blayais - Modélisation Modèle d’état : Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion avec : représente le facteur de proportion des pertes : il est estimé à une valeur constante pour les données mises en jeu : V est une valeur constante : V=735500 litres

Centrale nucléaire du Blayais - Modélisation Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Evolution temporelle du paramètre Qext Temps en heures Evolution temporelle du produit Temps en heures

Centrale nucléaire du Blayais - Estimation Henry et Zolghadri, 2004 Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Estimation : Robuste vis à vis du défaut hydrazine Sensible vis à vis du défaut pH (ammoniac) Estimation : Robuste vis à vis du défaut pH (ammoniac) Sensible vis à vis du défaut hydrazine

Centrale nucléaire du Blayais – Génération de résidus Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Stratégie d’isolation : deux filtres deux résidus sensible vis à vis de robuste vis à vis de sensible vis à vis de robuste vis à vis de

Centrale nucléaire du Blayais – Génération de résidus Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Filtre 1 Filtre 2

Centrale nucléaire du Blayais – Génération de résidus Filtre 1 Filtre 2 Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion Résidu r1 : Robuste vis à vis du défaut hydrazine Sensible vis à vis du défaut pH (ammoniac) Résidu r2 : Robuste vis à vis du défaut pH (ammoniac) Sensible vis à vis du défaut hydrazine

Conclusions et perspectives Beaucoup de systèmes physiques ne peuvent pas être modélisés à l’aide d’un modèle LTI utilisation de modèles LPV Inconvénient des systèmes LPV: Ne prend pas en compte les incertitudes dites non structurées (dynamiques négligées) Travail effectué: Etendre les méthodes développées en LTI au cas des systèmes modélisés sous forme LPV écriture de la contrainte de sensibilité sous la forme d’une contrainte fictive de type minimisation. Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion

Conclusions et perspectives Circuit secondaire de la centrale nucléaire du Blayais Exemple typique d’un système pouvant être modélisés sous forme LPV: Les paramètres variants dans le temps sont mesurables en temps réel. Les résultats obtenus ouvrent des perspectives intéressantes de développements ultérieurs Perspectives: Analyse des propriétés structurelles des systèmes modélisés sous forme LPV Le formalisme LPV est approprié pour la mise en place d’une commande tolérante aux fautes Etude de l’interaction module FDI / boucle FTC dans un contexte LPV Motivations et problématique Approche LTI : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Approche LPV : - Problématique - Estimation - Génération de résidus Application : - Modèle de la centrale nucléaire - Estimation - Génération de résidus Conclusion