Cours N°02 : Évaluation des performances des systèmes Module: Modélisation et Simulation Enseignante: Meriem KORICHI

Méthodes d’évaluation des performances La modélisation vise parmi d’autres à analyser et surtout à évaluer les performances des systèmes. Il existe deux approches d'évaluation pour un système, l'approche qualitative et l'approche quantitative. L'évaluation qualitative: s'intéresse à définir des propriétés structurelles et comportementales comme : Absence de blocage. (vivacité). Existence d'une solution. Gestion de la concurrence. Exemple: Les réseaux de Pétri, langages formels (Lotos, Estelle...).

Méthodes d’évaluation des performances L'évaluation quantitative consiste à calculer les critères de performances du système : Débit ou taux. Temps de réponse. Nombre moyen. Exemple: la théorie de la file d’attente

Outils de modélisation théorie de la file d’attente La théorie des files d'attente s’attache à modéliser et à analyser de nombreuses situations en apparence très diverses, mais qui relèvent néanmoins toutes du schéma descriptif général suivant.:

théorie de la file d’attente Exemples des files d’attente

théorie de la file d’attente Une file d'attente est définie par : La suite des instants d'arrivées des clients. La suite des temps de service des clients. La discipline de service qui donne l'ordre dans lequel les clients seront servis. La capacité de la file. Le nombre de serveurs. Population totale de clients.

A/S/C (DS/K/L) théorie de la file d’attente Notation de Kendall (1953) : Une file d'attente se note : A/S/C (DS/K/L) A : processus d'arrivée. S : processus de sortie. C : nombre de serveurs. DS : discipline de service. K : capacité maximale de la file (nombre total de clients, en service et en attente). L : population de clients.

théorie de la file d’attente Les symboles utilisés pour désigner le processus d’arrivée et de service sont : M : loi exponentielle (Markovienne). D : loi constante. Ek : loi Erlang-k. Hk : loi hyper exponentielle ordre k. GI : loi générale indépendante. G : loi générale. U : uniforme.

théorie de la file d’attente Les symboles utilisés pour désigner la discipline de service sont : FIFO : First In First Out . LIFO : Last In First Out. QUANTUM : Round Robin. PS : Processor Sharing (cas où le quantum tend vers zero). RANDOM (ordre quelconque). PRIORITY. (avec ou sans préemption)

théorie de la file d’attente Ce qui est entre parenthèses (DS/K/L) est parfois omis, dans ce cas on prend leurs valeurs par défaut (FIFO/+∞/+∞) Par exemple: D/M/1 : Entrée Déterministe (Connue), un serveur Exponentiel, une file d’attente FIFO, une population illimitée. M/G/3/20 : Entrée marquovien, trois serveurs de lois générales, une file d’attente FIFO avec un nombre maximum de clients =20, une population illimitée. D/M/1/LIFO/10/50 : Entrée Déterministe, un serveur exponentiel, une file d’attente (pile) de taille maximale = 10, nombre total de clients = 50.

théorie de la file d’attente Mesures de performance Le but de la modélisation est d’évaluer les performances des systèmes, c'est-à-dire, une analyse quantitative où on mesure certaines quantités intéressantes qui sont : : Le nombre moyen de clients présents dans le système (en attente et en service), N(t) :est le nombre de clients présents à l’instant t.   : Le nombre moyen de clients en attente. (Dans la file d’attente). Q(t) :est le nombre de clients en attente à l’instant t.

théorie de la file d’attente :Le nombre moyen de clients en service. R(t) : est le nombre de clients en service à l’instant t. : Le temps moyen d’attente. Wi : est le temps d’attente du client i. : Le temps moyen de service. Si est le temps de service du client i.

Q théorie de la file d’attente μ λ T W S N R Processus d’arrivée de départ

N(t)=Q(t)+R(t) et Ti=Wi+Si. théorie de la file d’attente Donc les égalités suivantes sont toujours vérifiées : N(t)=Q(t)+R(t) et Ti=Wi+Si.  est le taux d'arrivée des clients dans le système et est égal à l’inverse de la moyenne des temps entre arrivées. Les temps entre arrivées forment une suite de valeurs Ai, ce qui décrit une variable aléatoire ayant une moyenne . Par exemple : =3 s, alors =1/ =0.333 clients/s.

théorie de la file d’attente μ : est le taux de service est égal à l’inverse de la moyenne des temps de service. Les temps de service forment une suite de valeurs Bi, ce qui décrit une variable aléatoire ayant une moyenne . Par exemple  =3 s, alors μ =1/ =0.333 clients/s.

théorie de la file d’attente Nous nous intéressons ici à mesurer les valeurs moyennes, ce sont celles qui reflètent mieux les performances du système étudié, ces valeurs ne peuvent exister que pour des systèmes stables. D’une manière générale, une file d’attente est stable si et seulement si le nombre moyen d’arrivées de clients par unité de temps, noté , est strictement inférieur au nombre moyen de clients pouvant être servis par unité de temps.

théorie de la file d’attente chaque serveur peut traiter  clients par unité de temps et si le nombre de serveurs est m, une file est stable si et seulement si : < m μ  <1. ρ est le facteur d’utilisation des serveurs (facteur ou taux de charge ou intensité du trafic.). Où m est le nombre de serveurs.

= + théorie de la file d’attente Pour un système stable, on a = + Où =1/ μ est le temps moyen de service et  = + Chaque système dynamique stable entame un régime transitoire après initialisation, mais avec le temps, rentre dans un régime permanant (stationnaire ou stable). Les moyennes calculées reflètent bien le système dans la phase stationnaire.

théorie de la file d’attente Si un serveur peut servir μ clients par unité de temps alors le temps moyen de service = 1/μ, et le nombre moyen de clients en service est = m.ρ Temps Régime stationnaire Régime permanant

théorie de la file d’attente Ces deux quantités sont indépendantes des processus d’arrivée, du processus de service, de la taille de population, de la capacité et de la politique de service. Formule de Little : Pour un système en régime stationnaire, le taux d’arrivée  des clients, le nombre moyen de clients dans le système et le temps moyen de séjour (temps moyen de réponse) sont reliés par la relation : =  . Et de même pour =  .

théorie de la file d’attente Cette formule est indépendante du processus d’arrivée, du processus de service et de la discipline de service. En général il est plus aisé de calculer la probabilité d’avoir k clients dans le système Pk, ce qui permet de calculer ensuite le nombre moyen de clients dans le système, et de déduire les autres valeurs à partir de .

théorie de la file d’attente Donc : = /  et = - = - m.p = /  Comme on peut le remarquer et sont deux valeurs caractéristiques du système que leur calcul ne demande pas trop d’effort.

théorie de la file d’attente Exemple d’application Le gestionnaire d'un petit atelier enregistre en moyenne 5 commandes par jour. Les 6 ouvriers employés dans l’atelier sont très polyvalents, si bien que chaque commande peut être réalisée par n’importe lequel d’entre eux. Néanmoins, le gestionnaire est inquiet car il constate que les ouvriers sont occupés en permanence et que son carnet de commandes contient, en moyenne, une vingtaine de commandes en cours (enregistrées, mais non satisfaites). Pour mieux comprendre la situation, le gestionnaire aimerait estimer le temps moyen consacré par les ouvriers à chaque commande. Il voudrait également pouvoir annoncer à ses clients, au moment de la passation de commande, un délai de livraison attendu.