Approche aux modules par leur anneau d'endomorphismes 𝓢.𝓜.𝓜 𝒆,𝒓 COLLOQUE DE MATHEMATIQUES En l’honneur du Mathematiciens Marocains á l’étranger Kenitra 21-25 septembre 2016 Approche aux modules par leur anneau d'endomorphismes A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

I. ENDO-FINITUDE REMARQUES 1) Soit M un espace vectoriel. Alors les  affirmations suivantes sont équivalentes: dim M < ∞. Tout endomorphisme surjectif de M est bijectif (H). Tout endomorphisme injectif de M est bijectif (CH). 2) Soit A un anneau : Tout A-module noetherien vérifie (H). Tout A-module artinien vérifie (CH). Tout module de longueur finie (artinien et noetherien) vérifie (H) et (CH). 3) ℚ ℤ le groupe additif des nombres rationnels vérifie (H) et (CH) et n’est ni noetherien ni artinien. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

MODULES HOPFIENS OU COHOPFIENS Définition : Soit M un A-module on dira que M est hopfien (H) (respectivement cohopfien (CH) si tout endomorphisme surjectif (respectivement injectif) est bijectif. Exemples: - Un anneau A, considéré comme A-module á gauche est hopfien (H) si et seulement si (sis) tout élément inversible á gauche de A est inversible (Dedekind fini) et il est (CH) sis tout élément simplifiable á gauche est inversible. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

QUESTIONS A) Pour chaque anneau A trouvez de classes de modules hopfiens ou/et cohopfiens. Caractérisez les modules hopfiens et/ou cohopfiens parmi de classes particulières (semisimples, projectifs, injectifs, etc….) B) Déterminer la structure de ces modules, au moins dans des cas particulières (ℤ en permiere lieu). C) Caractériser les anneaux A pour lesquels tous les A-modules de type fini sont hopfiens et/ou cohopfiens . D) Caractériser les anneaux pour lesquels toutes ces notions coïncident avec la longueur finie. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

A) Modules semisimples (H) et (CH) Théorème 1 [Hmaimou, K. & Sanchez-07] : a) Soient A un anneau et M un A-module semisimple avec 𝑴=⊕{ 𝑯 𝜶 𝑴 : 𝜶∈𝚲} la décomposition de M en somme directe de ses composantes homogènes non nuls. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes : i) M hopfien ii) M est cohopfien iii) Toutes les composantes homogènes de M sont de longueur finie ( 𝑯 𝜶 𝑴 = 𝑺 𝜶 𝒏 𝜶 ). b) Soient A un anneau semisimple et M un A-module. Alors : M est hopfien ⇔ M est cohopfien ⇔ M est de longueur finie. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

B) ℤ - Modules Théorème [Sanghare-84] : i) Soit M un groupe commutatif Si M est injectif (divisible). Alors : M est (CH) ⇔ 𝑴≅ ℚ 𝒏 ⊕{ ℤ( 𝒑 ∞ ) 𝒏 𝒑 : p premier} Si M est projectif (libre). Alors M est hopfien ⇔ M≅ ℤ 𝒏 Si M est libre de torsion. Alors M est (H) et (CH) ⇔ M≅ ℚ 𝒏 Théorème  [S-84] : a) Les p-groupes réduits dénombrables (H) ou (CH), sont finis. Les p-groupes réduits (H) et (CH), infinis ont le cardinal du continue ( 𝟐 ℕ ). Il existe un p-groupe réduit (CH) infini b) Il existe un groupe commutatif (H) et (CH) dont le sous-groupe de torsion n’est pas facteur direct. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

C) Anneaux dont les modules de type fini sont (H) ou/et (CH) Théorème [Vasconcelos-69] Pour un anneau commutatif A, tout A-module de type fini est hopfien (H). Thèoréme [Vasconcelos-70] Soit A un anneau commutatif. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes: i) Tout A-module de type fini est cohopfien (CH) ii) Tout idéal premier de A est maximal On connait les caractérisations dans le cas non commutatif [AFS-78] pour la (CH) et [Go-87]. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

D) S, I et B- ANNEAUX Définition: Un anneau A est dit S (respectivement I)- anneau, si tout module (H) (respectivement (CH)) est noetherien (respectivement artinien). Un I et S anneau sera dit B-anneau. Théorème [K. and Sanghare-88] Soit A un anneau commutatif. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes : i) A est un S-anneau ii) A est un I-anneau iii) A est un B-anneau iv) A est artinien á idéaux principaux. En [S-92], Sanghare, étend ce résultat au cas des duo- anneaux. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Quelques questions ouvertes 1) La classification des groupes commutatifs hopfiens ou/et cohopfiens (même dans le cas de p-groupes) n’est pas connu. 2) La caractérisation des S ou/et I-anneaux non commutatif reste un défi (même dans le cas des algèbres de dimension finie). 3) En général l’hopficité et cohopficité ne passent pas aux sous modules et aux modules quotients [V-00]. i) Caractériser les anneaux pour lesquels ces deux propriétés sont héréditaires. ii) Caractériser les groupes commutatifs hopfiens ou/et cohopfiens héréditaires. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Modules de Fitting Généralisés Definition Un A-module M est dit fortement-hopfien (SH) si pour tout f ∈𝐸𝑛𝑑(𝑀) la suite croissante: 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⊆𝐾𝑒𝑟 𝑓 2 ⊆…⊆𝐾𝑒𝑟 (𝑓 𝑛 )⊆… est stationnaire. (ii) M est appelé fortement cohopfien (SCH), si la suite décroissante: 𝐼𝑚 𝑓 ⊇𝐼𝑚 𝑓 2 ⊇….⊇𝐼𝑚 (𝑓 𝑛 ) ⊇ ···, est stationnaire. iii) M est dit de Fitting (F), si pour tout f ∈𝐸𝑛𝑑(𝑀) il existe 𝑛≥1 tel que 𝑀=𝐾𝑒𝑟 (𝑓 𝑛 ) ⨁𝐼𝑚 (𝑓 𝑛 ). A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Exemples et remarques : Tout module noetherien est (SH) et tout module (SH) est (H) Tout module artinien est (SCH) et tout module (SCH) est (CH). Soit A un anneau, A considéré comme A-module á gauche est (SCH) sis A est fortement 𝝅-régulier. Et (SH), sis, pour tout a dans A il existe 𝒏≥𝟏 tel que 𝒍( 𝒂 𝒏 )=𝒍( 𝒂 𝒏+𝟏 ) . Où l(a) = {x∈𝑨:𝒙𝒂=𝟎} est l’annulateur á gauche de a. ii) Un module M est de Fitting (F) ⟺ M est (SH) et (SCH) ⟺ End(M) est fortement 𝝅-régulier [AFS-78]. iii) ℚ ℤ le groupe additif de nombres rationnels est (SH) et (SCH) qui n’est ni noetherien ni artinien. iv) Il existe un groupe abélien semisimple (H) et (CH) qui n’est ni (SH) ni (SCH). A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Modules semisimples (SH) et (SCH)   Théoréme [Hmaimou, K. & Sanchez-07] a) Soit M un A-module semisimple et 𝑴=⊕ 𝑯 𝜶 𝑴 : 𝜶∈𝜦 𝑯 𝜶 𝑴 : 𝜶∈𝜦 . Alors les affirmations suivantes sont équivalentes. i) M est (SH). ii) M est (SCH). iii) M est (F). iv) 𝑺𝒖𝒑{ 𝒏 𝜶 : 𝜶∈𝚲}<∞ où 𝒏 𝜶 est la longueur de 𝑯 𝜶 𝑴 (M est borné). b) Si A est semisimple et M un A-module on a : M est (SH) ⟺ M est (SCH) ⟺ M est (F) ⟺ M est (H) ⟺ M est (CH) ⟺ M est de longueur finie. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Groupes Abéliens (SH) et (SCH) Théorème [Hmaimou-10] i) Soit M un p-groupe commutatif réduit. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes : M est (SH) ⟺ M est (SCH) ⟺ M est fini. ii) Soit M un groupe commutatif de torsion et 𝑴≅𝑫⨁𝑹 avec D divisible et R réduit. Alors : M est (FCH) ⟺ 𝑫≅{⨁ ℤ 𝒑 ∞ 𝒏 𝒑 :𝒑∈𝓟 et 𝑹≅{⨁ 𝑹 𝒑 : 𝒑∈ 𝓟} avec 𝑺𝒖𝒑{ 𝒏 𝒑 : p∈𝓟 }<∞ et 𝑺𝒖𝒑{ 𝑹 𝒑 :𝒑∈ 𝓟}<∞ . iii) Soit M un groupe commutatif de torsion. Alors : M est (SH) ⟺ M est (SCH) réduit ⟺ M est (F) iv) Soit M un groupe commutatif sans torsion alors : M est de Fitting sis 𝑴≅ ℚ 𝒏 v) Il existe un groupe abélien (F) dont le sous-groupe de torsion n’est pas facteur direct de M. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Modules projectifs ou injectifs (SH) et (SCH) Théorème [HKS-07] Soit M un A-module. Alors on a: Tout A-module projectif (SCH) est (SH). ii) Tout A-module injectif (SH) est (SCH). Remarque : pour le cas M = A, considéré comme A-module á gauche i) est l’analogue du Théorème d’Hopkins-Levitzqui pour les anneaux artiniens. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Modules de type fini (SH) et (SCH) Théorème [HKS-07] Pour un anneau, A, les affirmations suivantes sont équivalentes : Tout A-module de type fini est (H) et (CH). ii) Tout A-module de type fini est (SH) et (SCH). iii) 𝑴 𝒏 (𝑨) est complétement 𝝅− régulier á gauche. Définition 5. Un anneau A est dit complétement 𝝅− régulier á gauche, si l’idéalisateur de tout idéal á gauche J de A est fortement 𝝅− régulier. L’idéalisateur de J est 𝑩 𝑱 ={𝒃∈𝑨:𝑱𝒃⊆𝑱} . A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Un analogue du théorème de la base d’Hilbert Théorème [HKS-07] Soit A un anneau commutatif (SH) alors A[X] est [SH]. Remarque : S. Hizem, [HI- 2010], a montré que le résultat précédent n’est pas vrai pour l’anneau de séries formelles. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

F-Anneaux Définition Un anneau A est dit F-anneau á gauche si tout A-module de Fitting est de longueur finie. Théoréme [KS-86] Soit A un anneau commutatif. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes : A est un S- anneau. ii) A est un I-anneau iii) A est un B -anneau. iv) A est un F-anneau. v) A est artinien á idéaux principaux. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

2) Classification de groupes abéliens (F). 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 Si A est complétement 𝝅− régulier. Est-ce que 𝑴 𝒏 (𝑨) l’est aussi, pour tout 𝒏≥𝟏. 2) Classification de groupes abéliens (F). 3) Structure de A-modules (F) héréditaires pour des anneaux particulières, même pour ℤ. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Modules Fortement Fitting Définition 7. On dit qu’un A-module M est Endo-Ker-fini (EKF) si pour toute suite (𝒇 𝒏 ) , 𝒇 𝒏 ∈𝑬𝒏𝒅(𝑴) telle que : 𝑲𝒆𝒓 𝒇 𝟏 ⊆𝑲𝒆𝒓 𝒇 𝟐 ⊆…⊆ 𝑲𝒆𝒓 𝒇 𝒏 ⊆… Il existe m tel que 𝑲𝒆𝒓 𝒇 𝒏 = 𝑲𝒆𝒓 𝒇 𝒎 pour tout 𝒏≥𝒎. On dit que M est Endo-Im-fini (EIF), si pour toute suite (𝒇 𝒏 ) , 𝒇 𝒏 ∈𝑬𝒏𝒅(𝑴) telle que : 𝑰𝒎 𝒇 𝟏 ⊇𝑰𝒎 𝒇 𝟐 ⊇ ..⊇ 𝑰𝒎 𝒇 𝒏 ⊇… Il existe m tel que 𝑰𝒎 𝒇 𝒏 = 𝑰𝒎 𝒇 𝒎 pour tout 𝒏≥𝒎 . Si M est (EKF) et (EIF) il sera appelé Fortement Fitting (SF). A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Exemples et remarques : Tout module noetherien est EKF, tout module artinien est EIF et tout module de longueur finie est SF. ii) Tout module EKF est SH, tout module EIF est SCH et tout module SF est F. iii) Il existe un groupe abélien semisimple F qui n’est, ni EKF, ni EIF. iv) L’anneau A, considéré comme A-module á gauche, est EIF sis A est un anneau parfait á droite (vérifie la ccd sur les idéaux á gauche cycliques). Et il est EKF s’il vérifie la cca sur les annulateurs á gauche d’un élément. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

vi) Les modules EKF et EIF vérifient la cca et ccd sur les facteurs directes.   Théorème [K. and Sanchez] : Soit M un A-module SF. Alors M admet une décomposition en somme directe d’un nombre fini de modules indécomposables (essentiellement unique). M vérifie le théorème de Krull-Schmidt A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Modules semisimples (SF)   Théorème 13 [KS] Soit M un A-module semisimple. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes : M est EKF ii) M est EIF iii) M est SF iv) M est de longueur finie. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Théorème 14 [KS] Soit M un groupe abélien : Groupes Abeliens SF   Théorème 14 [KS] Soit M un groupe abélien : Si M est EKF ou EIF. Alors le sous-groupe de torsion de M est facteur direct de M (𝑴=𝒕(𝑴)⨁ N). ii) M est EIF sis 𝑴≅ ℚ 𝒏 ⨁{ ℤ 𝒑 𝒊 ∞ 𝒏 𝒊 : 𝟏≤𝒊≤ 𝒎}⨁𝑭 , où F est fini. iii) M est SF sis 𝑴≅ ℚ 𝒏 ⨁𝑭 , avec F fini. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Modules de type fini SF   Théorème 15 [K. & Sanchez] Pour un anneau, A, les affirmations suivantes sont équivalentes : Tout A-module de type fini est EIF ii) Tout A-module cyclique est EIF Le A-module 𝑨 𝒏 est EIF pour tout n. iv) A est parfait á droite. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Modules projectifs ou injectifs SF   Théorème [KS] Soit M un A-module. Si M est injectif. Alors M est EKF sis End(M) est parfait á gauche. ii) Si M est projectif. Alors M est EIF sis End(M) est parfait á droite. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA FEZ INTERNATIONAL WORKSHOP ON Algebra and Applications A.

Questions Caractériser l’anneau des endomorphismes d’un module SF.   Caractériser l’anneau des endomorphismes d’un module SF. 2) Déterminer les groupes abéliens EKF. 3) Caractériser les anneaux A pour lesquels tout A-module de type fini est EKF. 4) Caractériser les anneaux A pour lesquels tout A-module F est SF. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Eapaces de Banach Hopfians ou cohopfiens   Définition : Un espace de Banach, X, est dit hopfien, si tout opérateur linéaire continu surjectif de X sur X est bijectif. Il est dit cohopfien, si tout opérateur linéaire continu injectif de X en X, est surjectif. Exemples et remarques : Les espaces de Banach de dimension finie sont hopfiens et cohopfiens. Théorème 17 [Gowers-94] Ils existent d’espaces de Banach hopfiens de dimension infinie. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Théorème [Avillés Kouzmider-13] Il existe un espace de Banach de dimension infinie cohopfien. Dans [Haily K. &Rodriguez-10] et [HKR-11], ont montre que les espaces de Banach Hopfiens ou cohopfiens sont des DES-éspaces (vérifient l’égalité du spectre descente). Thèoréme [Burgos, K. Mbekhta & Oudghiri-06] Les espaces de Banach SH ou SCH sont de dimension finie. Théoréme [BKMO-06], [HKS-07] Les algèbres de Banach SCH sont algébriques. Ils existent des algèbres de Banach SH sans radical de Jacobson de dimension infinie. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Questions 1) Est-ce que tout espace de Banach cohopfien est hopfien. 2) Caractériser les espaces topologiques compacts, K, tels que l’espace de Banach C(K) soit hopfien ou/et cohopfien. 3) caractériser les espaces de Banach hopfiens ou/et cohopfiens , X, par des propriétés de leur álgèbre de Banach BL(X). 4) Exist-ils d’espaces de Banach Hopfiens ou cohopfiens heréditaires de dimension infinie? A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

II- Modules dont l’anneau des endomorphismes est « similaire » á celui d’un espace vectoriel Remarques Soit M un espace vectoriel, E = End(M), l’algèbre des endomorphismes de M et 𝒇∈𝑬. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes : f est inversible á gauche dans E. ii) f est injectif (monomorphisme). iii) f est simplifiable á gauche dans E. Soit A un anneau, M un A-module, E , l’anneau des endomorphismes de M , et 𝒇∈𝑬 . Alors on a : 𝒊)⟹𝒊𝒊)⟹𝒊𝒊𝒊), mais en général iii) ⇏ i), iii) ⇏ ii) et ii) ⇏ i) [HK-98]. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

M est dit MLI si tout monomorphisme est inversible ,a gauche. Définition Soit M un A-module, on dit que M est LQ si tout endomorphisme simplifiable á gauche est inversible á gauche. M est dit MLI si tout monomorphisme est inversible ,a gauche. M est dit LRM si tout endomorphisme simplifiable á gauche est monomorphisme. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Exemples et remarques  Tout module semisimple ou QI non singulier est LQ and RQ Tout module de Fitting (F) est LQ et RQ. Pour un anneau parfait primaire A. Tout A-module est LRM et RRE. Théorème 21[HK-98] Soit A un anneau. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes : Tout A-module est LQ-module. ii) Tout A-module est MLI-module. iii) Tout A-module est ERI-module. iv) A est semisimple. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

QUESTIONS a) Pour chaque anneau A, Trouver de classes de modules LQ, MLI o LRM et déterminer leur structure. b) Etudier le cas particulier des groupes commutatifs (𝕫 -modulos). c) Caractériser les anneaux A pour lesquels tout A-module de type fini est LQ, MLI, LRM. . d) Caractériser les anneaux A, pour lesquels toute A-module es LQ , MLI ou LRM. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

A est parfait á gauche et tout A-module est un RRE-module Thèoréme [HK-99] Soit A un anneau commutatif parfait. Alors tout A-module est un LRM et RRE-module. Thèoréme [HK-99] Soit A un anneau. Alors les affirmations suintes sont équivalentes: L’anneau des endomorphismes de tout A-module M (End(M)) est un anneau de quotients. Tout A-module est LRM et RRE A est parfait á gauche et tout A-module est un RRE-module A est parfait isomorphe a un produit direct d’anneaux primaires A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

III. Modules déterminés par leur anneau d’endomorphismes Remarques: Ils existent deux groupes commutatifs non isomorphes ayant leurs anneaux d’endomorphismes isomorphes 𝑭𝑼−𝟕𝟑 . 2) Deux espaces vectoriels sont isomorphes sis leurs anneaux d’endomorphismes sont isomorphes. 3) Théorème de Baer-Kaplansky : deux groupes commutatifs de torsion sont isomorphes sis leurs anneaux d’endomorphismes sont isomorphes s 𝑭𝑼−𝟕𝟑 . A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

Definition: Soit A un anneau et 𝒞 une classe de A-modules. On dit que 𝒞 es « endomorphiquement determinée» si deux A-modulos en 𝒞 sont isomorphes sis leurs anneaux d’endomorphismes sont isomorphes . A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

QUESTIONS a) Pour chaque anneau A trouver de classes de A-modulos Endomrphiquement déterminées. b) Caractériser les anneaux A tels que la classe de tous les A-modules soit endomorphiquement déterminées. c) Caractériser les anneaux A pour lesquels certeins classes particulières de A modules (de tipe fini, inyectifs, projerctifs, non singulièrs etc… ) soient endomorphiquement déterminées . d) Étant donné un anneau A, caractériser les A-modules dont l’anneau d’endomorphismes possède des propriétés particulieres (corps, simple, artinien, régulièr von Newman etc…). A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

RÉFERENCES A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA [AK-13] A. Avilés and P. Koszmider, A Banach space in which every injective operator is surjective , Bull. Lond. Math. Soc. 45 (2013) 1065-1074. [AFS-78] E.P. Armendariz, J.N. Fisher and R.L. Snider, On injective and surjective endomorphismes of finitely generated modules, Comm. Algebra, Vol. 6(7) (1978), 659- 672. [BKMO-06] M.Burgos, A. Kaidi, M. Mbekhta, M. Oudghiri, The descent spectrum and perturbations, Journal of Operator Theory, 56 (2006), 259-271. [FA-98] A. Facchini Module Theory (Endomorphism rings and direct sum decompositions in some classes of modules. PM 167 Birkhäuser (1998). [FU-73] L. Fuchs Infinite Abelian Groups, Vol. 2 Academic Press Inc. (1973). [GO-87] Surjective endomorphisms of finitely generated modules, Com. Algebra, 15(3), (1987), 589-609. [G-94] T. Gowers, A solution to Banach’s hyperplane problem. Bull. London Math. Soc. 26, (1994) no. 6, 523-530. [HK-98] A. Haily and A. Kaidi, Modules with a «nice » endomrphism ring and a new characterization of semisimple modules and rings, Comm. In Algebra, 26(8), 2445-2452 (1998). [HK-99] A. Haily and A. Kaidi, Charactérisation de certaines classes d’anneaux par des propriétés des endomorphismes de leurs modules, Comm. In Algebra, 27(10), 4943-4951 (1999). [HKR-10] A. Haily, A. Kaidi and A. Rodriguez, Algebra Descen A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA HKR-11] A. Haily, A. Kaidi and A. Rodriguez, Centralizers in semisimple algebras, and descent spectrum in Banach algebras Journal of Algebra 347, 214-223 (2011). [HKS-07] A. Hmaimou, A. Kaidi and E. Sanchez, Generalized Fitting modules and rings, Journal of Algebra 308, 199-214 (2007) [H-10] A. Hmaimou Modules Fortement Hopfiens et Modules Fortement cohopfiens Thèse. Département de Mathématiques, Université Abdelmalek Essaadi, Tetouan, Maroc 2010. [HKS] A. Hmaimou, A. Kaidi, E. Sanchez, Sur les modules fortement hopfiens et cohopfiens. Preprint (2012) [HS-95] D. Herbera and A. Samchuddin, Modules with semi-local endomorphism ring, Proc. Amer. Math. Soc. 123, 3593-3600 (1995). [KS] A. Kaidi and E. Sanchez Strongly Fitting Modules and rings Preprint . [KS-88] A. Kaidi et M. Sanghare Une caractérisation des anneaux artiniens á idéaux principaux, Lectures Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1328, 245-254 (1988) . [KT-08] P.A. Krylov and A. A. Tuganbaev, Modules over Discrete Valuation Domains. De Gruyter Expositions in Mathematics 43, Walter de Gruyter. Berlin. New York (2008). [S-84] M. Sanghare, Sur une classe de modules et d’anneaux liés aux conditions de chaines, Thèse de 3e cycle, Université Mohammed V, Rabat, (1984). [S-92] M. Sanghare On S-Duo rings, Comm. In Algebra 20(9), (1992), 2327-2348. [S-93] M. Sanghare, Sur les I-anneaux, les S-Anneaux et les F-anneaux, Thèse d’Etat, UCAD, Faculté des Sciences et Techniques, Dakar (1993) A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

[V-00] K. Varadarajan, Some results on Hopficity, co-Hopficity and related properties. International symposium on ring Theory. Birkhäuser (2000) 371-392. [VS-69] Vasconcelos, W.V, On finitely generated flat modules.Trans.Amer.Math.Soc.138 (1969) 505-512. [VS-70] W.V. Vasconcelos, W.V: On injective endomorphisms of finitely generated modules. Proc.Amer.Math.Soc.25 (1970) 900-901. A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA

MERCI POUR VOTRE ATTENTION A. KAIDI UNIVERSIDAD DE ALMERIA