1.c. Correction paraxiale (Davis) 1/4 (1) (2) (3) (4) Utilisation du vecteur potentiel A et potentiel scalaire Φ. Equation d’Helmohtz pour Ψ : Changements de variables : w0 : waist l : longueur de diffraction

1.c. Correction paraxiale (Davis) 2/4 L’équation d’Helmohtz pour Ψ devient : Avec s=w0/l Décomposition en série de Ψ car w0>>λ et s<<1 : Si on ne prends que les deux premiers ordres de Ψ pour les intégrer dans l’équation ci-dessus on obtient : Ordre 0 : tous les termes en s0 Ordre 2 : tous les termes en s2

1.c. Correction paraxiale (Davis) 3/4 Pour l’ordre zéro, on retrouve bien l’équation paraxiale pour Ψ0. Solution du mode fondamental : Avec : et

1.c. Correction paraxiale (Davis) 4/4 On considère le champ électrique d’un faisceau laser tel que donc on peut réduire l’équation (2) : => On effectue un changement de variable sur l’équation : La composante transverse de E implique seulement les puissances paires de s alors que la composante longitudinale, les puissances impaires de s.

2.a. Résultat exact vectoriel Résultat satisfaisant les équations de Maxwell Utilisation du vecteur Hertz: qui satisfait l’équation d’Helmholtz, on exprime et en fonction de est polarisé linéairement à partir de Zx on peut déduire les composantes Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz

2.a. Résultat exact vectoriel Les calculs de résolution se font de manière spectrale (transformée de Fourrier) et on pose une condition limite en z=0 tel que Zx soit une gaussienne. Les résultats montrent que contrairement à l’approximation paraxiale scalaire pour une polarisation linéaire en x les composantes Ey et Ez ne sont pas nulles

2.b. Mise en évidence du paradoxe 1/2 Equation de propagation de E : (a) Avec Or pour trouver cette solution on a supposé divE=0 et en général on suppose que Ex dépend de x,y,z =>divE≠0 Mise en évidence du second paradoxe :

2.b. Mise en évidence du paradoxe 2/2 On obtient l’équation d’Helmohtz pour ψ à partir de (a): Approximation paraxiale : Maintenant nous allons voir comment faire pour éviter les 2 approximations qui ont été faites : divE et

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 1/3 On suppose un champ se propageant selon z : D’après Maxwell on a : Si maintenant on calcule les termes réels de cette équation.

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 2/3 On effectue les changements de variables habituels, on obtient ensuite des équations pour le mode transverse (ξ,η) et longitudinal (ζ) en fonction de F ζ et . Si on décompose en série de s, F ζ et

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 3/3 Les équations finales permettent de résoudre le paradoxe pour les 2 premiers ordres => E n’est que transverse. Pour les ordres supérieurs, une petite composante longitudinal apparaît. Il existe une procédure pour calculer les ordres supérieurs de la correction.

2.d. Comparaisons des différentes approximations : PSA : Approximation paraxiale Scalaire PVA: Approximation paraxiale Vectorielle

2.d à: PSA : Approximation paraxiale Scalaire PVA: Approximation paraxiale Vectorielle

2.d Conclusions Pour les approximations sont acceptables Pour les approximations sont imprécises On est dans le cas lorsqu’on focalise un faisceau gaussien avec une lentille de très forte convergence, pour l’utilisation des lasers semis conducteurs pour lesquels le waist est comparable à la longueur d’onde

3.a Cas de la polarisation croisée I. Modèle 2D connu Polarisations et incidence de Brewster Faisceau incident polarisé P linéairement P: il y a un champ électrique dans le plan d’incidence Angle de Brewster Coefficient de réflexion:

3.a Cas de la polarisation croisée II. Modèle 3D Faisceau incident polarisé linéairement et très fortement focalisé On est dans le cas Le faisceau comporte des composantes en x,y et z

3.a Cas de la polarisation croisée II. Modèle 3D Les calculs et l’expérience montrent que si on se place à incidence de Brewster avec un faisceau Gaussien « exact » polarisé P, il existe alors un faisceau réfléchit polarisé P et S TEM01 TEM10 Preuve que le faisceau incident n’est pas polarisé strictement linéairement Dans le cas

3.a Modèle 3D Polarisation radiale Le rayon réfléchit obtenu est la composition d’une onde TEM10 et TEM01 d’énergies différentes Permet des focalisations en un point plus net qu’avec d’autres polarisations