Branch-and-price algorithms for the solution of the multi-trip vehicle routing problem with time windows (MTVRPTW) 1

Introduction  Problème considéré : Vehicle routing problem  Spécificité : Les Véhicules doivent visiter tous les clients Pas de limite temporelle  Solution apportée 2 branch-and-price frameworks basé sur 2 types de couvrements - 1 ) les colonnes = itinéraires (séquence de trajets) - 2) les colonnes = trajets individuels. 2

I) Modèle  [0, T] horizon de planification  G = (V, A) graphe orienté - Sommet 0 : le depot - Sommet 1,..., n the customers - G = (V, A) graphe orienté  arc (i, j) ∈ A.  Pour chaque client i ∈ {1,..., n} - coût cij - temps de trajet tij - Fenêtre temporelle [ai, bi], - Temps de service sti, temps de chargement li (depot), une demand di  Autres variables - U véhicules, Capacité de chargement Q 3 3

 Master pb : Trouver un ensemble de trajets à coût minime : En utilisant au plus U véhicules, (i) tous les clients soient servis, (ii) (ii) deux voyages ne peut pas être affecté au même véhicule si les horaires de ces déplacements,y compris le chargement et le retour au dépôt, se chevauchent (iii) (iii) les chargements sont conformes avec des capacités de véhicules (iv) (iv) des contraintes de temps chez les clients et le Dépôt sont satisfaits. Formulation initiale du problème 4

II) Branch-and-price pour la formulation SSP (stands for Scheduling in SubProblem) Explication du problème de tarification : Trouver des itinéraires à coût réduit négatif A chaque étape de l'algorithme : - un sommet est sélectionné et toutes ses étiquettes non encore traitées sont étendues vers chaque sommet successeur possible. - Les étiquettes irréalisables sont rejetées. Les sommets du graphique sont traités itérativement jusqu' à ce qu'il n' y ait plus de nouveau sont créées. - Règles de dominance doivent être introduit afin d'éliminer les étiquettes non optimales Points clés : Chargement au depot  l'extension d'une étiquette à un autre sommet retarde le temps de service pour tous les sommets déjà présents. Revenir au dépôt à une étape intermédiaire de l'itinéraire Solution : Choix de revenir de l'extension à l'envers des étiquettes, Extension d'une étiquette correspond à placer un nouveau client au début de la séquence de livraisons. 5 5

III) Branch and Price pour la formation SMP  Variables = trajets plutôt que des itinéraires complets de véhicules. une heure de départ dkstart et une durée dkmin (départ – service – retour) Le MTVRPTW = un ensemble couvrant le problème, avec des contraintes d'exclusion mutuelle, où les variables représentent des déplacements. Exclusion mutuelle : visent à permettre l'affectation de trajets sélectionnés aux véhicules U, tout en évitant le chevauchement de deux trajets affectés au même véhicule. Solution : Discrétiser le temps et de définir un utc indicateur booléen qui indiquerait si trip k inclut t dans son horaire. 6 6

III) Branch and Price pour la formation SMP 7 Problème de tarification : Variables duales relatives à (7) et (8)

IV ) Solution pour la tarification pour la formulation SMP 8 8 ck est le coût réduit du trajet partiel posk = j est le sommet à partir duquel le chemin partiel commence hk est l'heure de début du service à j dk est la date d'arrivée à destination d; chk représente le temps de chargement rtk est la durée pendant laquelle une étiquette peut être retardée et encore être réalisable

V ) Méthode d’accélération  Un des Pb : Le nombre de d'exclusion mutuelle de l'ensemble couvrant la formulation présentées précédemment peut provoquer une explosion combinatoire. (6) – (10)  Solution : Appliquer une relaxation de substitution de ces contraintes en considérant des intervalles de temps plus gros que le temps  Nouvelles contraintes : 9 9

VI ) Réusltats 10

Conclusion  Deux solutions pour le problème de MTVRPTW  Deux méthodes de résolution sont basées sur branch-and-price, mais avec des formulations de couverture différentes SSP : route complète SMP : déplacements  Nécessité de contraintes d'exclusion temporelle mutuelle pour gérer combinaison trajets/routes (étiquettes représentatives + groupe)  Pb non constance du temps de chargement  Backward label + dynamic prog. 11