L’excitation sismique : rappels Durée Accélération maximale Contenu fréquentiel Nombre de pics par seconde (fe = 1/Te)

Vibration des structures La ‘ force ’ sismique Accélération à la base Forces internes Équilibre dynamique Force interne Élasticité et raideur (rappels de statique) Paramètres de la raideur Oscillations libres et fréquence propre Théorie Maquettes Notion d ’amortissement Le phénomène Des ordres de grandeurs

Accélération : a (m/s²) La ‘ force ’ sismique Accélération : a (m/s²) Force d ’inertie : F = m.a L ’accélération des pieds du personnage est équivalente, du point de vue de son équilibre, à une force qui tend à le renverser. On peut considérer que ses pieds sont fixes (le camion est le référentiel), mais que son corps est soumis à une force horizontale de m x a (masse par accélération)

La ‘ force ’ sismique <=> Accélération : a (m/s²) Force d ’inertie : F = m.a La force est donc proportionnelle à la masse, et sa distribution dans l ’espace est directement liée à celle de la masse. a.F1 a.F2 a.F3 a.F4 a.F5 a.F6 a t Histoire de l'accélération <=> Appliquée à la base Appliquée aux masses

Accélération : a (m/s²) Les forces internes Le personnage s’arque boute et tend ses muscles, la structure se déforme, les contraintes engendrées résultent en des forces internes. Accélération : a (m/s²)

Modélisation - oscillateur simple

Equilibre dynamique En terme de force En terme d ’énergie Ec = Energie cinétique Ep = Energie potentielle (de déformation) Fi : Force d ’inertie Fr : Force de réaction u est le déplacement de la base par rapport au sol (relatif) u prime est la dérivée : c ’est la vitesse relative. u seconde est la dérivée seconde : c ’est l ’accélération relative. Ici, on ne parle pas d ’amortissement. .. M.u + K.u = -M.a

Force interne et raideur Raideur k : Charge entraînant un déplacement unitaire de la structure Rapport Force/déplacement En N/m Force F Déplacement u u F k

La raideur dépend : De l ’inertie des sections Du matériau (module d ’élasticité) De la longueur (portée) De la nature des liaisons

Exemples de raideurs K = n.E.I/L3 n : coefficient dépendant de la nature des liaisons E (Mpa) : Module d ’Young du matériau I (m4) : Inertie des sections L (m) : Longueur de l’élément

Oscillations libres, non amorties Force d ’inertie Force de rappel .. m.u + k.u = 0 La solution est harmonique : u(t) = Q.Cos(wt+f), avec w² = k/m . w est la pulsation, proportionnelle à la fréquence (w = 2pf) La période de ce mouvement vibratoire est : T = 2p m/k T

Oscillations forcées et résonance Au lieu de laisser vibrer librement la structure, on lui applique une excitation périodique a(t), de période Te. m.u + k.u = -m.a Si Te est proche de Ts (période propre), les vibrations de la structure sont amplifiées. Si Te = Ts, il y a résonance : sans amortissement, l ’amplitude de vibration deviendrait infinie. ..

L ’amortissement Mouvement amorti : Une force supplémentaire, Une énergie supplémentaire, dissipée. .. . m.u + C.u + k.u = -m.a

Origines de l ’amortissement Amortissement externe (maquettes, balançoire, cloche …) Il s ’agit du frottement entre la structure et son environnement (sol, éléments non-structuraux) Amortissement interne Dissipation d ’énergie par dégradation du matériau : fissuration, plastification, frottements internes. Le comportement du matériau est dit hystérétique. On fait couramment l ’hypothèse que la dissipation d ’énergie par hystérésis matériau est assimilable à un frottement visqueux. Force Déplacement

Amortissement interne Fd Comportement ductile Force Déplacement Energie dissipée Matériaux z Maçonnerie 0.05 Béton non armé 0.03 Béton armé 0.04 Béton précontraint 0.02 Bois cloué Bois boulonné Bois lamellé collé Acier soudé Acier boulonné N.B. : SI x > 1, le mouvement est trop amorti pour être oscillatoire