Système de coordonnées Université Hassan-II Faculté des sciences Aïn chock Casablanca Khayar-marrakh Système de coordonnées cartésiennes Réalisé par A. KHAYAR R. MARRAKH Professeurs assistants - département de physique

« Toutes les lois sont tirées de l’expérience, mais pour les énoncer, il faut une langue spéciale; le langage ordinaire est trop pauvre, il est d’ailleurs trop vague pour exprimer des rapports si délicats, si riches et si précis. Voilà donc une raison pour laquelle le physicien ne peut se passer des mathématiques, elles lui fournissent la seule langue qu’il puisse parler ». Henri Poincaré

« Les mathématiques constituent le langage à l’aide duquel une question peut être posée et résolue ». Werner Heisenberg

Khayar-marrakh  Dessiner en perspective signifie chercher à représenter sur un plan les objets de l’espace en donnant l’illusion de la profondeur c-à-d la 3ème dimension  On choisit généralement pour l’espace à trois dimensions un système ( repère ) d’axes rectangulaires représenté en perspective.

z y x  et  donne à partir Les deux murs et le sol sont remplacés par trois plans ,  et , Dans le système cartésien imaginé par DESCARTES, l’espace à trois dimensions est repéré par le coin d’une salle : ( intersection de trois plans ) Dans ce système d’axes le point M est repéré par les projections orthogonales : m dans le plan Oxy m1 : sur l’axe des x m2 : sur l’axe des y et m3 : sur l’axe des z où : x = Om1 , y = Om2 et z = Om3. appelés : surfaces de coordonnées m3  B A z z  La position d’un point M dans cet espace est parfaitement déterminée quand on connaît les distances M ( , , ) et l’intersection des plans  et  donne l’axe des coordonnées z L’intersection des plans  et  donne à partir de l’origine O l’axe des coordonnées x O L’intersection des plans  et  donne l’axe des coordonnées y y y m2 des mesures algébriques, appelées : coordonnées cartésiennes. x x m1 MA , MB et MC. C m y  x

Surfaces de Coordonnées Khayar-marrakh Surfaces de Coordonnées Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Première surface de coordonnée x = xo ( y et z varient de –  à +  ) Deuxième surface de coordonnée y = yo ( x et z varient de –  à + ) Troisième surface de coordonnée z = zo ( x et y varient de –  à +  )

z O y x x = 1 X = – 2 X = – 1 Surface de coordonnée X = 0 X = 1 X = 2 Surfaces de coordonnées x = cte . X = 3 X = 4 y x Il s’agit d’une infinité de surfaces x = cte // au plan Oyz.

z O y x Surface de coordonnée X = 3 y = – 3 y = – 2 y = – 1 y = 0 Surfaces de coordonnées y = cte . y = – 1 y = 0 O y = 1 y = 2 y = 3 y x Il s’agit d’une infinité de surfaces y = cte // au plan Oxz.

z O y x z = 3 z = 2 z = 1 Surface de oordonnée z = 0 z = – 1 z = – 2 Surfaces de coordonnées z = cte . z = 1 y Surface de oordonnée z = 0 z = – 1 x z = – 2 Il s’agit d’une infinité de surfaces z = cte // au plan Oxy.

Axes de Coordonnées Définition : Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième. Axe des x y = yo et z = zo Axe des y x = xo et z = zo Axe des z x = xo et y = yo

Leur intersection donne Axe des x Khayar-marrakh de coordonnées: On trace les deux surfaces y = yo et z = zo yo Leur intersection donne l’axe des x x zo Conclusion : L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans yo et zo , forme une droite appelée axe des x .

Leur intersection donne Axe des y Khayar-marrakh xo On trace les deux surfaces de coordonnées: x = xo et z = zo l’axe des y y Leur intersection donne zo Conclusion : L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans xo et zo , forme une droite appelée axe des y .

Leur intersection donne Axe des Z z Khayar-marrakh de coordonnées: On trace les deux surfaces x = xo et y = yo yo l’axe des z Leur intersection donne Conclusion : L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans xo et yo , forme une droite appelée axe des z . xo

 Les trois axes de coordonnées Ox , Oy et Oz sont des droites Vecteurs unitaires z y O Coordon- nées Domaine de variation Vecteurs unitaires z z Pour tracer un repère, on choisit en général Oy perpendiculaire à Oz ex ] -  , +  [ M ( , , ) X et Ox la bissectrice de l’angle yOz. porté par l’axe des x , dans le sens croissant de la variable x. y ey ] -  , +  [ ez Origine : le point O ey Porté par l’axe des y , dans le sens croissant de la variable y. y y z ez ] -  , +  [ x ex Origine : le point O x x porté par l’axe des z , dans le sens croissant de la variable z. m Origine : le point O  Les trois axes de coordonnées Ox , Oy et Oz sont des droites indéfinies orientées de vecteurs unitaires , et  ex ey ez

y ex ez ey ex ey ez Vecteurs position z x z M M ( , , ) x y z z y x x Khayar-marrakh z y ex x Dans la base cartésienne le vecteur position OM a pour expression : z M M ( , , ) x y z ez OM = Om1 + m1m + mM z ey = x + y + z ex ey ez y O x m1 x y m

x y z Déplacement élémentaire Soient M et M' deux points de l’espace. Khayar-marrakh O z y x M z x y M' x + d x Soient M et M' deux points de l’espace. y + d y N.B. : M est infiniment voisin de M. z + dz M M dx dz Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : MM' Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? dl = MM' Réponse : Question : M1 dy M2 Premier déplacement suivant l’axe des x MM1 = M1 M2 = M2 M' = dx dy dz de M vers M1 MM1 = dx Deuxième déplacement suivant l’axe des y M M1 z x y x + dx M2 M’ z x + dx y + dy z + dz M1 M2 z x y x + dx y + dy de M1 vers M2 MM' = MM1 + M1 M2 + M2 M' M1 M2 = dy z Troisième déplacement suivant l’axe des de M2 vers M' M2 M = dz

dS dy dz A retenir : = = Surfaces élémentaires Khayar-marrakh On se trouve sur le plan Oyz ( x = 0 ) x = constante M x y z O Un déplacement élémentaire MM’ sur la surface x =constante définit un élément de surface . M’ Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des y , dz dS suivi d’un autre suivant l’axe des z , on obtient l’élément : dy N.B. : M’ est infiniment voisin de M. dz dS = Λ dy dz = dy dS A retenir : dS = dy dz

dz dx dS dx dz A retenir : = = y = constante Khayar-marrakh x y z O on obtient l’élément de surface : Dans le plan Oxz ( y = 0 ) dx dS dx dz dS dz dS dz dx = Λ dx dz = A retenir : dS = dx dz

dx dS dy dx dy A retenir : = = Z = constante Khayar-marrakh x y z O on obtient l’élément de surface : Dans le plan Oxy ( z = 0 ) dS dy dS dx dx dy dS dx = Λ dy dx dy = A retenir : dS = dx dy

dt ( ) = A retenir : dx dy dz = On obtient le volume élémentaire dt Khayar-marrakh O z y x z Soient M et M' deux points de l’espace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. M' Un déplacement élémentaire MM' dt définit un élément de volume dt. M Traçons d’abord les axes de coordonnées On obtient le volume élémentaire dt et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. Surface de la base dt = ( ) Λ A retenir : dt = dx dy dz dx dz dx dy dz = dy

Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis d’achever ce travail. Septembre 2006