SPECIFICATION DES VARIABLES Variable dépendante Variable indépendante niveau-niveau Y Xj niveau-log log(Xj) log-niveau log(Y) log-log

NIVEAU-NIVEAU Y = b1 + b2 X2 + b3 X3 + … + bK XK + e Y = fonction linéaire de X2 Relation utile pour caractériser des rendements marginaux constants de X2 sur Y Le coefficient b2 mesure l’effet « ceteris paribus », ou l’effet marginal, de X2 sur Y, sachant que DY/DX2 = b2 si X2 augmente de 1 unité de mesure (soit DX2=1), alors Y varie de b2 unité(s) de mesure, toutes choses étant égales par ailleurs

Y = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e NIVEAU-LOG Y = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e Y = fonction linéaire de log(X2)

b1 chapeau 1 b2 chapeau 0,5

Y = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e NIVEAU-LOG Y = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e Y = fonction linéaire de log(X2) Y = fonction logarithme, donc non-linéaire, de X2 Relation utile pour caractériser des rendements marginaux décroissants de X2 sur Y

b1 chapeau 1 b2 chapeau 0,5

Y = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e NIVEAU-LOG Y = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e Y = fonction linéaire de log(X2) Y = fonction logarithme, donc non-linéaire, de X2 Relation utile pour caractériser des rendements marginaux décroissants de X2 sur Y Le coefficient b2 mesure l’effet marginal de X2 sur Y, sachant que DY/DX2 = b2/X2  DY = b2DX2/X2  DY = b2/100 %DX2 si X2 augmente de 1 pourcent, soit %DX2=1, alors Y varie de b2/100 unité(s) de mesure, toutes choses étant égales par ailleurs

log(Y) = b1 + b2 X2 + b3 X3 + … + bK XK + e LOG-NIVEAU log(Y) = b1 + b2 X2 + b3 X3 + … + bK XK + e log(Y) = fonction linéaire de X2

b1 chapeau 1 b2 chapeau 0,5

log(Y) = b1 + b2 X2 + b3 X3 + … + bK XK + e LOG-NIVEAU log(Y) = b1 + b2 X2 + b3 X3 + … + bK XK + e log(Y) = fonction linéaire de X2 Y = fonction exponentielle, donc non-linéaire, de X2 Relation utile pour caractériser des rendements marginaux croissants de X2 sur Y

b1 chapeau 1 b2 chapeau 0,1

log(Y) = b1 + b2 X2 + b3 X3 + … + bK XK + e LOG-NIVEAU log(Y) = b1 + b2 X2 + b3 X3 + … + bK XK + e log(Y) = fonction linéaire de X2 Y = fonction exponentielle, donc non-linéaire, de X2 Relation utile pour caractériser des rendements marginaux croissants de X2 sur Y Le coefficient b2 mesure l’effet marginal de X2 sur Y, sachant que Dlog(Y)/DX2 = b2  100 Dlog(Y)/DX2 = 100 b2  %DY  100 b2 DX2 si X2 augmente de 1 unité de mesure, soit DX2=1, alors Y varie d’environ 100 b2 pourcent(s), toutes choses étant égales par ailleurs

LOG-NIVEAU Si X2 augmente de 1 unité de mesure, soit DX2=1, alors Y varie d’exactement 100 [exp(b2) -1] pourcent(s) Preuve : Dlog(Y)/DX2 = b2  log(Y1) - log(Y0) = b2DX2  log(Y1/Y0) = b2DX2  log(Y1/Y0 – 1 + 1) = b2DX2  log(1+((Y1 – Y0 ) /Y0)) = b2DX2  exp[log(1+(DY /Y0))] = exp(b2DX2)  1+(DY /Y0)= exp(b2DX2)  100 (DY /Y0)= 100[exp(b2DX2)-1]  %DY = 100 [exp(b2DX2)-1]

log(Y) = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e LOG-LOG log(Y) = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e log(Y) = fonction linéaire de log(X2)

b1 chapeau 1 b2 chapeau 0,5

log(Y) = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e LOG-LOG log(Y) = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e log(Y) = fonction linéaire de log(X2) Relation entre Y et X2 à élasticité constante, égale à b2 Y = fonction généralement non-linéaire de X2 sauf si l’élasticité est unitaire, par exemple

beta1 1 beta2 0,5

log(Y) = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e LOG-LOG log(Y) = b1 + b2 log(X2) + b3 X3 + … + bK XK + e log(Y) = fonction linéaire de log(X2) Relation à élasticité constante entre Y et X2 Y = fonction généralement non-linéaire de X2 sauf si l’élasticité est unitaire, par exemple Le coefficient b2 mesure l’effet marginal d’une variation de X2 sur Y, sachant que Dlog(Y)/Dlog(X2) = b2  100Dlog(Y)/100Dlog(X2) = b2  %DY/ %DX2  b2  %DY  b2 %DX2 si X2 augmente de 1 pourcent, soit %DX2=1, alors Y varie d’environ b2 pourcent(s), toutes choses étant égales par ailleurs

INTERPRETATION DES COEFFICIENTS : SYNTHESE Variable dépendante Variable indépendante b2 Interprétation de b2 niveau-niveau Y X2 0,2507 DY = b2 DX2 niveau-log log(X2) 4,1317 DY = (b2/100) %DX2 log-niveau log(Y) 0,0083 %DY ≈ (100 b2) DX2 log-log 0,1413 %DY ≈ (b2) %DX2 Y = POURC_TB_SANTE X2 = REVMED_MEUROS

INTERPRETATION DES COEFFICIENTS : SYNTHESE Modèle Variable dépendante Variable indépendante Interprétation de bj niveau-niveau Y X2 DY = bj DXj niveau-log log(Xj) DY = (bj/100) %DXj log-niveau log(Y) %DY ≈ (100bj) DXj (*) log-log %DY ≈ (b2) %DX2 (*) %DY = 100 ( exp(b2 DXj)-1)

AUTRES TRANSFORMATIONS Variable « en niveau » Variable transformée Z Z0,5 Z-1 Z2 Zp