Vecteurs algébriques et forces Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Il y a deux modes d’écriture des vecteurs dans R2 que l’on appelle coordonnées polaires et coordonnées rectangulaires. Nous allons maintenant présenter ces deux modes d’écriture et les utiliser dans la résolution de quelques problèmes mettant en cause des forces et des vecteurs donnés sous forme polaire.

Coordonnées polaires et coordonnées rectangulaires La notation en coordonnées polaires, consiste à donner le module r et l’angle q, au sens trigonométrique, que le vecteur fait avec un axe de référence. On appelle cet angle l’argument du vecteur. On note alors le vecteur : v = rÐ q La notation en coordonnées rectangulaires (ou cartésiennes), consiste à donner les composantes du vecteur dans le repère orthonormé usuel. On note alors : v = (a; b) Pour passer d’un système à l’autre, il suffit de résoudre un triangle rectangle.

Exemple 8.3.1 Représenter graphiquement et exprimer en coordonnées polaires le vecteur : v = (–2; –5) Le module est : r = (–2)2 + (–5)2 5,39 5,39Ð 248,20° = 29 ≈ 5,39 –5 –2 L’angle a est : a = arctan = 68,20° La représentation du vecteur dans un système d’axes nous indique que le vecteur est dans le troisième quadrant. On a alors : q = a + 180° = 68,20° + 180° = 248,20° En coordonnées polaires, le vecteur s’écrit : v = 5,39Ð 248,20° Remarque L’argument peut être noté en radians. S

Exercice Représenter graphiquement et exprimer en coordonnées polaires le vecteur : 5Ð 143,13° v = (–4; 3) Le module est : r = (–4)2 + (3)2 = 25 = 5 3 –4 L’angle a est : a = arctan = –36,87° La représentation du vecteur dans un système d’axes nous indique que le vecteur est dans le deuxième quadrant. On a alors : q = a + 180° = –36,87° + 180° = 143,13° En coordonnées polaires, le vecteur s’écrit : v = 5Ð 143,13° S

Exemple 8.3.2 Représenter graphiquement et exprimer en coordonnées cartésiennes le vecteur : v = 3,4Ð 62° Puisque r = 3,4 et q = 62°, on a : v = (r cos q; r sin q) = (3,4 cos 62°; 3,4 sin 62°) = (1,60; 3,00) Les composantes du vecteur sont donc 1,60 et 3,00 et, en coordonnées cartésiennes, le vecteur s’écrit : v = (1,60; 3,00) S

Exercice Représenter graphiquement et exprimer en coordonnées cartésiennes le vecteur : v = 4,2Ð 108° Puisque r = 4,2 et q = 108°, on a : v = (r cos q; r sin q) = (4,2 cos 108°; 4,2 sin 108°) = (–1,30; 3,99) Les composantes du vecteur sont donc –1,30 et 3,99 et, en coordonnées cartésiennes, le vecteur s’écrit : v = (–1,30; 3,99) S

Exemple 8.3.3 Trouver la résultante des forces illus-trées ci-contre. Déterminons la forme polaire des vecteurs représentant les forces. R F1 F2 F3 = + = (6Ð 35°) + (8Ð 130°) + (4Ð 250°) = (6 cos 35°; 6 sin 35°)+ (8 cos 130°; 8 sin 130°)+ (4 cos 250°; 4 sin 250°) = (–1,5955; 5,8110) = (a; b) b a Cela donne : r = ≈ 6,03 et a = arctan a2 + b2 = –74,65° Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, q = a + 180°= 105,35°. D’où : R = 6,03Ð 105,35° La résultante est une force de 6,03 N faisant un angle de 105,35° avec l’horizontale. S

Addition et coordonnées polaires Procédure pour additionner des vecteurs donnés sous forme polaire 1. Exprimer les vecteurs sous forme trigonométrique : v = (r cos q; r sin  q) 2. Effectuer la somme sous forme rectangulaire. 3. Exprimer le vecteur résultant sous forme polaire en calculant le module et l’argument. 4. Interpréter le résultat selon le contexte.

Exercice S Trouver la résultante des forces illus-trées ci-contre. 2,89Ð 142,18° Déterminons la forme polaire des vecteurs représentant les forces. R F1 F2 F3 = + = (7,2Ð 24°) + (5,6Ð 142°) + (6,4Ð 226°) Rx = 7,2 cos 24° +  5,6 cos 142° + 6,4 cos 226° = –2,28 = a Ry = 7,2 sin 24° +  5,6 sin 142° + 6,4  sin 226° = 1,77 = b b a Cela donne : r = a2 + b2 ≈ 2,89 et a = arctan = –37,82° Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, q = a + 180°= 142,18°. D’où : R = 2,89Ð 142,18° La résultante est une force de 2,89 kN faisant un angle de 142,18° avec l’horizontale. S

Exemple 8.3.4 Un arpenteur a pris les notes suivantes pour décrire un parcours : OP : N55°E, 420 m; PQ : N24°O, 660 m Représenter graphiquement ce par-cours et déterminer la direction et la distance du parcours OQ. OQ = OP + PQ = (420Ð 35°) + (660Ð 114°) = (420 cos 35°; 420 sin 35°)+ (660 cos 114°; 660 sin 114°) = (75,60; 843,84) = (a; b) b a Cela donne : r = a2 + b2 ≈ 847,2 et a = arctan = 84,88° Puisque le vecteur est dans le premier quadrant, q = a = 84,88°. Le parcours OQ peut être décrit comme suit : OQ = 847,2Ð 84,88° ou OQ : N5,12°E, 847,2 m S

Exercice Un arpenteur a pris les notes suivantes pour décrire un parcours : OP : N32°O, 510 m; PQ : N24°E, 720 m 720Ð 66° Représenter graphiquement ce par-cours et déterminer la direction et la distance du parcours 510Ð 122° OQ. OQ = OP + PQ = (510Ð 122°) + (720Ð 114°) = (510 cos 122°; 510 sin 122°)+ (720 cos  66°; 720 sin 66°) = (22,59; 1090,26) = (a; b) b a Cela donne : r = a2 + b2 ≈ 1090,49 et a = arctan = 88,81° Puisque le vecteur est dans le premier quadrant, q = a = 88,81°. Le parcours OQ peut être décrit comme suit : OQ = 1090,49Ð 88,81° ou OQ : N1,19°E, 1090,49 m S

Exemple 8.3.5 La masse suspendue dans l’assemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 700 N. b) Établir les équations d’équilibre et trouver l’intensité des forces. a) Représenter dans un système d’axes les forces agissant au point A. Le système étant en équilibre, on a, pour les composantes horizontales : On a donc le système d’équations : La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. PÐ 270° = (P cos 270°; P sin 270°) = (0; –P) T cos 40° – C = 0 T sin 40° – 700 = 0 Tx + Cx + Px = 0 T cos 40° + C cos 180° + 700 cos 270° = 0 T cos 40° – C = 0 La deuxième équation donne : La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction notée : TÐ 40° = (T cos 40°; T sin 40°) = (Tx; Ty) 700 sin 40° Pour les composantes verticales, on a : T = = 1 089 N Ty + Cy + Py = 0 T sin 40° + C sin 180° + 700 sin 270° = 0 T sin 40° – 700 = 0 En substituant dans la première : La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction notée : CÐ 180° = (C cos 180°; C sin 180°) = (–C; 0) 1 089 cos 40° – C = 0, d’où : C = 1 089 cos 40° = 834 N S S S

Exemple 8.3.6 Les trois câbles de la situation illustrée ci-contre supportent une masse qui exerce une force de 2,54 kN. Par la méthode des com-posantes (vecteurs algébriques), déterminer la tension dans chacun des câbles. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. PÐ 270° = (P cos 270°; P sin 270°) = (0; –P) Le système étant en équilibre, on a : On a donc le système d’équations : Td cos 33° + Tg cos 128° = 0 Td sin 33° + Tg sin 128° = 2,54 Tdx + Tgx + Px = 0 Tdy + Tgy + Py = 0 D’où : D’où l’on tire : En isolant Td dans la première équation, on obtient : Les câbles sont en tension et exercent au point A des forces de réaction notées : TdÐ 33° = (Td cos33°; Td sin 33°) = (Tdx; Tdy) Tg ≈ 2,14 kN Td cos 33° + Tg cos 128° + 2,54 cos 270° = 0 Td sin 33° + Tg sin 128° + 2,54 sin 270° = 0 et, par substitution : Td ≈ 1,57 kN. – Tg cos 128° cos 33° Td = La tension est donc de 2,54 kN dans le câble vertical, de 1,57 kN dans le câble de droite et de 2,14 kN dans le câble de gauche. Puisque cos 270° = 0 et sin 270° = –1, on a : En substituant dans la deuxième équation : En substituant dans la deuxième équation : TgÐ 128° = (Tg cos128°; Tg sin 128°) = (Tgx; Tgy) Td cos 33° + Tg cos 128° = 0 Td sin 33° + Tg sin 128° – 2,54 = 0 – Tg cos 128° cos 33° sin 33° + Tg sin 128° = 2,54 S S S S

Exercice La masse suspendue dans l’assemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 900 N. b) Établir les équations d’équilibre et trouver l’intensité des forces. a) Représenter dans un système d’axes les forces agissant au point A. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. PÐ 270° = (P cos 270°; P sin 270°) = (0; –P) On a donc le système d’équations : Le système étant en équilibre, on a : T cos 140° + C cos 20° = 0 T sin 140° + C sin 20° = 900 Tx + Cx + Px = 0 Ty + Cy + Py = 0 D’où : La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction notée : TÐ 140° = (T cos140°; T sin 140°) = (Tx; Ty) En isolant T, dans la première équation, on a : D’où l’on tire : C ≈ 796 N T cos 140° + C cos 20° + 900 cos 270° = 0 T sin 140° + C sin 20° + 900 sin 270° = 0 –C cos 20° cos 140° et, par substitution, T ≈ 977 N. T = En substituant dans la deuxième équation : Puisque cos 270° = 0 et sin 270° = –1, on a : La tension est donc de 900 N dans le câble vertical, de 977 N dans l’autre câble et la barre rigide subit une pression de 796 N. La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction notée : CÐ 20° = (C cos 20°; C sin 20°) = (Cx; Cy) T cos 140° + C cos 20° = 0 T sin 140° + C sin 20° – 900 = 0 –C cos 20° cos 140° sin 140° + C sin 20° = 900 S S S S

Conclusion La description en coordonnées polaires véhicule toute l’information sur un vecteur, son module, sa direction et son sens. Dans plusieurs situations, la description en coordonnées polaires est plus facile à obtenir. On peut par la résolution d’un triangle rectangle passer des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires pour effectuer les opérations. En effectuant le passage des coordonnées polaires aux coordonnées polaires, on peut utiliser les vecteurs algébriques pour déterminer la résultante de plusieurs forces dont les lignes d’action (droite support) sont concourantes en un point. On peut également analyser des systèmes de forces en équilibre par la méthode dite des composantes.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.1, p. 158 à 162. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.2, p. 164, no 19 à 34.