Droites et plans, positions relatives Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Des droites et des plans dans l’espace peuvent être parallèles, concourants ou gauches. C’est ce qu’on appelle les positions relatives des droites et des plans. Nous verrons dans cette présentation les procédures pour déterminer les positions relatives de droites dans R2 ainsi que de droites et de plans dans R3.

Positions relatives de droites dans R2 Droites parallèles Caractéristiques des droites parallèles Les vecteurs normaux sont parallèles : $ k Î R tel que N1 = k N2 Les vecteurs directeurs sont parallèles : $ k Î R tel que D1 = k D2 Le vecteur normal de l’une des droites est perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite : D1 • N2 = 0 et N1 • D2 = 0

Positions relatives de droites dans R2 Droites parallèles Caractéristiques des droites parallèles distinctes Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : si R Î ∆1, alors R Ï ∆2 Il n’y a aucun point d’intersection. Caractéristiques des droites parallèles confondues Lorsqu’un point R(x1; y1) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite : si R Î ∆1, alors R Î ∆2 Il y a une infinité de points d’intersection.

Positions relatives de droites dans R2 Droites concourantes Caractéristiques des droites concourantes Les droites ne sont pas parallèles. Les vecteurs normaux sont non colinéaires : " k Î R\{0}, N1 ≠ k N2 Les vecteurs directeurs sont non colinéaires : " k Î R\{0}, D1 ≠ k D2 Le vecteur normal de l’une des droites n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite : N1 • D2 ≠ 0 et D1 • N2 ≠ 0 Il y a un seul point d’intersection.

Exemple 11.3.5 Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où : x = 2 + 3t y = 4 + 2t S S ∆1 : 2x – 3y + 16 = 0 et ∆2 : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Pour déterminer si les droites sont distinctes ou confondues, il suffit de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier s’il est sur l’autre droite. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal   N1 = (2; –3). Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur En posant, par exemple, x = 1 dans l’équation de ∆1, on obtient 2 – 3y + 16 = 0, d’où –3y = –18 et y = 6. Le point P1(1; 6) est donc un point de ∆1.  D2 = (3; 2). Le produit scalaire donne :  N1 • D2 = (2; –3) • (3; 2) = 6 – 6 = 0. En substituant les coordonnées de ce point dans les équations de la droite ∆2, on obtient : Par conséquent, les vecteurs sont perpendiculaires et les droites sont parallèles. 1 = 2 + 3t, d’où : t = –1/3 6 = 4 + 2t, d’où : t = 1 Ces égalités contradictoires indiquent que le point (1; 6) n’est pas sur la droite ∆2.  Les droites sont donc parallèles distinctes.

Exercice Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où : x = –3 + 3t y = 12 – 4t S S ∆1 : 4x + 3y – 24 = 0 et ∆2 : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Pour déterminer si les droites sont distinctes ou confondues, il suffit de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier s’il est sur l’autre droite. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal   N1 = (4; 3). Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur En posant, par exemple, x = 3 dans l’équation de ∆1, on obtient 12 + 3y – 24 = 0, d’où 3y = 12 et y = 4. Le point P1(3; 4) est donc un point de ∆1.  D2 = (3; –4). Le produit scalaire donne :  N1 • D2 = (4; 3) • (3; –4) = 12 – 12 = 0. En substituant les coordonnées de ce point dans l’équation de la droite ∆2, on obtient : Par conséquent, les vecteurs sont perpendiculaires et les droites sont parallèles. 3 = –3 + 3t, d’où : t = 2 4 = 12 – 4t, d’où : t = 2 Ces égalités indiquent que le point (3; 4) est sur la droite ∆2.  Par conséquent, les droites sont parallèles confondues.

Exemple 11.3.6 Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où : x = 7 + 5t y = 1 + 4t S S ∆1 : 4x – y – 11 = 0 et ∆2 : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Pour déterminer le point de rencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela donne : Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal   N1 = (4; –1). Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur 4(7 + 5t) – (1 + 4t) – 11 = 0 28 + 20t – 1 – 4t – 11 = 0 16t + 16 = 0 t = –1 En substituant dans les équations paramétriques, on trouve :  D2 = (5; 4). Le produit scalaire donne : = (4; –1) • (5; 4) = 20 – 4 = 16 ≠ 0.  N1 • D2 Par conséquent, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et les droites sont concourantes. x = 7 + 5 ´ (–1) = 2 y = 1 + 4 ´ (–1) = –3 Le point de rencontre des deux droites est donc (2; –3).

Exercice Déterminer la position relative des droites ∆1 et ∆2, où : x = 9 + 2t y = 3 + 3t S S ∆1 : 7x + 3y – 26 = 0 et ∆2 : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Pour déterminer le point de rencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela donne : Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal   N1 = (7; 3). Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur 7(9 + 2t) + 3(3 + 3t) – 26 = 0 63 + 14t + 9 + 9t – 26 = 0 23t + 46 = 0 t = –2 En substituant dans les équations paramétriques, on trouve :  D2 = (2; 3). Le produit scalaire donne :  N1 • D2 = (7; 3) • (2; 3) = 14 + 9 = 23 ≠ 0. Par conséquent, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et les droites sont concourantes. x = 9 + 2 ´ (–2) = 5 y = 3 + 3 ´ (–2) = –3 Le point de rencontre des deux droites est donc (5; –3).

La droite dans R3, intersection de plans On peut décrire une droite dans l’espace en donnant les équations de deux plans concourants. Pour connaître un vecteur directeur de la droite, on peut alors effectuer le produit vectoriel des vecteurs normaux à ces plans. Cependant, si on veut connaître un point et un vecteur directeur, il est plus simple de résoudre le système d’équations linéaires formé de ces deux équations. Comme il y a deux équations pour trois inconnues, on a une variable libre que l’on représente par un paramètre pour obtenir les équations paramétriques de la droite d’intersection; on a alors la description en fonction d’un de ses points et d’un vecteur directeur.

{(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t} Exemple 11.3.7 Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans : ∏1 : x – 2y + 3z = 5 et ∏2 : 2x – 3y + 5z = 8 Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors : Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques : 1 –2 3 5 L1 1 –2 3 5 ≈ x = 1 – t y = –2 + t z = t 2 –3 5 8 L2 – 2L1 1 –1 –2 ∆ : S S L1 + 2L2 1 1 1 On peut conclure que la droite passe par le point R(1; –2; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur ≈ L2 1 –1 –2 = (–1; 1; 1). D On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est : {(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t}

Exercice L1 ≈ ∆ : L2 – 3L1 S S L1 – 3L2 ≈ L2 Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans : ∏1 : x + 3y – 12z – 28 = 0 et ∏2 : 3x + 10y – 41z – 92 = 0 Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors : Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques : 1 3 –12 28 L1 1 3 –12 28 ≈ x = 4 – 3t y = 8 + 5t z = t 3 10 –41 92 ∆ : L2 – 3L1 1 –5 8 S S L1 – 3L2 1 3 4 On peut conclure que la droite passe par le point R(4; 8; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur ≈ L2 1 –5 8 = (–3; 5; 1). D On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est : {(x; y; z) | x = 4 – 3t, y = 8 + 5t, z = t}

Positions relatives de droites dans R3 Droites parallèles Caractéristique des droites parallèles Les vecteurs directeurs sont parallèles : $ k Î R tel que D1 = k D2 Caractéristiques des droites parallèles distinctes Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : si P Î ∆1, alors P Ï ∆2 Il n’y a aucun point d’intersection. Caractéristiques des droites parallèles confondues Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite : si P Î ∆1, alors P Î ∆2 Les droites ont une infinité de points d’intersection.

Positions relatives de droites dans R3 Droites non parallèles Caractéristique des droites non parallèles Les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles : " k Î R, D1 ≠ k D2 Caractéristique des droites concourantes Les droites ont un et un seul point d’intersection. Caractéristiques des droites gauches Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : si P Î ∆1, alors P Ï ∆2 Les droites n’ont aucun point d’inter-section.

Exemple 11.3.8 a Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. x = 2 + 3s y = –4 – 2s z = 5 + s x = 8 + 6t y = 12 – 4t z = 7 + 2t ∆1 : et ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (3; –2; 1) et D2 = (6; –4; 2). Ils sont parallèles, puisque : 2 D1 = D2 Les droites sont donc parallèles et, si elles ont un point commun, elles sont confondues. Vérifions si elles ont un point commun. En posant t = 0 dans les équations de ∆2, on a le point P(8; 12; 7). En substituant ces coordonnées dans les équations de ∆1. On obtient : S S 8 = 2 + 3s 12 = –4 – 2s 7 = 5+s Ce système d’équations n’a pas de solution. Par conséquent, les droites sont parallèles distinctes.

Exemple 11.3.8 b L3 L1 ≈ L1 ≈ L2 – 3L1 L2 L3 + 2L2 L1 L1 – 3L2 S S ≈ Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. x = 2 + 3s y = –4 – 2s z = 5 + s x = 5 – t y = –2 + 2t z = –2 – 3t ∆1 : et ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (3; –2; 1) et D2 = (–1; 2; –3). En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k , k D1 ≠ D2 3 1 3 1 1 3 –7 L3 3 –7 L1 –2 –2 2 ≈ L1 3 1 3 ≈ L2 – 3L1 –8 24 Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Vérifions si elles ont un point commun, c’est-à-dire un point qui satisfait aux équations des deux droites, soit : 1 3 –7 L2 –2 –2 2 L3 + 2L2 4 –12 L1 1 3 –7 L1 – 3L2 1 2 S S ≈ L2 /(–8) 1 –3 ≈ L2 1 –3 2 + 3s = 5 – t –4 – 2s = –2 + 2t 5 + s = –2 – 3t 3s + t = 3 – 2s –2t = 2 s + 3t = –7 2L3 + L2 L3 d’où On trouve donc s = 2 et t = –3. En substituant dans les équations des droites, on obtient que celles-ci se rencontrent au point (8;–8; 7).

Exemple 11.3.8 c L1 L1 ≈ ≈ 2L2 + L1 L2 /(–3) L3 + 2L1 3L3 – L2 S S S S Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. x = 3 – 2s y = –4 + s z = –3 + 4s x = 5 – t y = –2 + 2t z = –2 + 3t ∆1 : et ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–2; 1; 4) et D2 = (–1; 2; 3). Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k , k D1 ≠ D2. En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : –2 1 2 –2 1 2 L1 –2 1 2 L1 Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun. 1 –2 2 ≈ ≈ 2L2 + L1 –3 6 L2 /(–3) 1 –2 4 –3 2 L3 + 2L1 –1 5 3L3 – L2 9 En comparant les équations paramétriques, on a : S S S S 3 – 2s = 5 – t –4 + s = –2 + 2t –3 + 4s = –2 + 3t –2s + t = 2 s – 2t = 2 4s – 3t = 1 Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les droites n’ont pas de point de rencontre. Puisque les droites ne sont ni parallèles ni concourantes, ce sont donc des droites gauches. , d’où : On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.

Exercice L1 L1 ≈ ≈ L2 – 2L1 L2 /(–11) 2L3 + 3L1 L3 /5 L1 – 3L2 S S S S Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. x = 7 + 2s y = 6 + 4s z = –1 – 3s x = 12 – 3t y = –17 + 5t z = –1 + 2t ∆1 : et ∆2 : En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (2; 4; –3) et D2 = (–3; 5; 2). Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout k scalaire, k D1 ≠ D2. 2 3 5 L1 2 3 5 L1 2 3 5 4 –5 –23 ≈ ≈ L2 – 2L1 –11 –33 L2 /(–11) 1 3 Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun. –3 –2 2L3 + 3L1 5 15 L3 /5 1 3 On trouve s = – 2 et t = 3. En substituant ces valeurs dans les équations paramétriques de ∆1 et de ∆2, on trouve (3; –2; 5). C’est le point de rencontre des deux droites. En comparant les équations paramétriques, on a : L1 – 3L2 2 –4 S S S S ≈ L2 1 3 2s + 3t = 5 4s – 5t = –23 –3s – 2t = 0 7 + 2s = 12 – 3t 6 + 4s = –17 + 5t –1 – 3s = –1 + 2t , d’où : L3 – L2 On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.

Positions relatives d’une droite et d’un plan Droite et plan parallèles Caractéristiques Le vecteur normal au plan est perpendicu-laire au vecteur directeur de la droite : N∏ • D∆ = 0 Droite contenue dans le plan Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la droite, il est également dans le plan : si P Î ∆, alors P Î ∏ Droite non contenue dans le plan Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la droite, il n’est pas dans le plan : si P Î ∆, alors P Ï ∏

Positions relatives d’une droite et d’un plan Droite et plan concourants Caractéristiques Le vecteur normal du plan n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de la droite : N∏ • D∆ ≠ 0 Il existe un seul point commun à la droite et au plan : Il existe un et un seul point P tel que : P Î ∆ et P Î ∏

Exemple 11.3.9 Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t ∏ : 2x + 3y + 4z + 9 = 0 et ∆ : Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient : Le vecteur directeur de ∆ est : D∆ = (–3; 7; –2). Le vecteur normal à ∏ est : N∏ = (2; 3; 4). 2(2 – 3t) + 3(–5 + 7t) + 4(–3 – 2t) + 9 = 0 4 – 6t – 15 + 21t – 12 – 8t + 9 = 0 7t – 14 = 0 t = 2 Le produit scalaire donne : S S S D∆ • N∏ = (–3; 7; –2) • (2; 3; 4) = –6 + 21 – 8 = 7 ≠ 0. Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne : Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants. La droite et le plan se rencontrent au point (–4; 9; –7). x = 2 – 3 ´2 = –4 y = –5 + 7 ´2 = 9 z = –3 – 2 ´2 = –7

Exercice Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. x = 10 + 2t y = –2 – 3t z = –7 – 4t ∏ : x – 2y + 5z – 15 = 0 et ∆ : Le vecteur directeur de ∆ est : Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient : D∆ = (2; –3; –4). Le vecteur normal à ∏ est : N∏ = (1; –2; 5). (10 + 2t) – 2( –2 – 3t) + 5(–7 – 4t) – 15 = 0 10 + 2t + 4 + 6t – 35 – 20t – 15 = 0 –12t – 36 = 0 t = –3 Le produit scalaire donne : S S S D∆ • N∏ = (2; –3; –4) • (1; –2; 5) = 2 + 6 – 20 = 12 ≠ 0. Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants. Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne : La droite et le plan se rencontrent au point (4; 7; 5). x = 10 + 2 ´(–3) = 4 y = –2 – 3 ´(–3) = 7 z = –7 – 4 ´(–3) = 5

Exemple 11.3.10 L1 ≈ 2L2 – L1 S S L3 – 2L1 L1 ≈ L2 7L3 + 5L2 Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. ∏ : 2x – 3y + 4z – 32 = 0 et ∆ : x – 5y + 3z – 28 = 0 et 4x – y – 3z + 1 = 0. Les vecteurs perpendicu-laires à ∆ sont : Le vecteur normal à ∏ est : N∏ = (2; –3; 4). Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient : N∆1 = (1; –5; 3) et N∆2 = (4; –1; –3). Le produit mixte de ces vecteurs donne : 2 –3 4 32 L1 2 –3 4 32 2 –3 4 1 –5 3 28 ≈ 2L2 – L1 –7 2 24 S S = 2 ´(15 + 3) – (–3)´(–3 – 12) + 4 ´(–1 + 20) 1 –5 3 4 –1 –3 –1 L3 – 2L1 5 –11 –65 4 –1 –3 L1 2 = 36 – 45 + 76 = 67 ≠ 0. –3 4 32 La dernière ligne donne z = 5 et par substitution, on trouve y = –2 et x = 3. ≈ L2 –7 2 24 Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants. 7L3 + 5L2 –67 –335 La droite et le plan se rencontrent au point (3; –2; 5).

Exercice L1 ≈ L2 – 2L1 S S 2L3 – L1 L1 ≈ L2 3L3 – 5L2 Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. ∏ : 2x + y – 3z + 16 = 0 et ∆ : 4x + 5y – 2z + 19 = 0 et x + 3y + 2z – 4 = 0. Les vecteurs perpendicu-laires à ∆ sont : = (2; 1; –3). N∏ Le vecteur normal à ∏ est : = (4; 5; –2) et N∆1 = (1; 3; 2). N∆2 Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient : Le produit mixte de ces vecteurs donne : 2 1 –3 –16 L1 2 1 –3 –16 4 5 –2 –19 ≈ L2 – 2L1 3 4 13 2 1 –3 S S 1 3 2 4 2L3 – L1 5 7 24 4 5 –2 = 2 ´(10 + 6) – 1 ´(8 + 2) + (–3) ´(12 – 5) L1 La dernière ligne donne z = 7 et par substitution, on trouve y = –5 et x = 5. 1 3 2 2 1 –3 –16 = 32 – 10 – 21 = 1 ≠ 0. ≈ L2 3 4 13 3L3 – 5L2 1 7 Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants. La droite et le plan se rencontrent au point (5; –5; 7).

Positions relatives de plans dans R3 Plans parallèles Caractéristiques des plans parallèles Les vecteurs normaux sont parallèles : $ k Î R tel que N1 = k N2 Caractéristiques des plans parallèles distincts Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un des plans, il ne peut être sur l’autre plan : si R Î ∏1, alors R Ï ∏2 Il n’y a aucun point d’intersection. Caractéristiques des plans parallèles confondus Lorsqu’un point R(x1; y1; z1) est sur l’un des plans, il est sur l’autre plan : si R Î ∏1, alors R Î ∏2 Les plans ont une infinité de points d’intersection.

Positions relatives de plans dans R3 Plans non parallèles Caractéristiques des plan non parallèles Les vecteurs normaux ne sont pas parallèles : " k Î R, N1 ≠ k N2 L’intersection des deux plans (∏1 Ç ∏2) est une droite ∆. On dit que les plans sont concourants ou sécants.

Exemple 11.3.11 ∏1 : x + 2y + 2z = 4 Déterminer la position relative des plans suivants : ∏2 : 2x + 3y + 3z = 7 S S Les plans ne sont pas parallèles, puisque leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. En résolvant le système formé de ces deux équations à l’aide d’une matrice, on a : 1 2 2 4 L1 1 2 2 4 L1 + 2 L2 1 2 ≈ ≈ 2 3 3 7 L2 – 2 L1 –1 –1 –1 –L2 1 1 1 Il ne reste que deux équations où z est une variable libre. En posant z = t, on trouve comme solution générale : {(x; y; z)| x = 2, y = 1 – t, z = t} Cet ensemble représente une droite qui passe par le point (2; 1; 0) et dont = (0; –1; 1) est un vecteur directeur. Les deux plans sont sécants et leur intersection est une droite. D1

Exemple 11.3.12 ∏1 : x + 3y – 2z = 10 Trouver l’intersection des plans suivants : ∏2 : 2x – 4y + 5z = –8 S S ∏3: 3x – y + 2z = 4 En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a : 1 3 –2 10 L1 1 3 –2 10 10L1 + 3L2 10 7 16 2 –4 5 –8 ≈ L2 – 2L1 –10 9 –28 ≈ L2 –10 9 –28 3 –1 2 4 L3 – 3L1 –10 8 –26 L3 – L2 –1 2 L1 + 7L3 10 30 L1 /10 1 3 ≈ L2 + 9L3 –10 –10 ≈ L2 /(–10) 1 1 L3 –1 2 L3/(–1) 1 –2 Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; 1; –2).

Exercice ∏1 : x + 3y – 2z = –10 Trouver l’intersection des plans suivants : ∏2 : 3x – 2y + 4z = 31 S S ∏3 : 5x + 4y + z = 16 En résolvant le système formé de ces trois équations à l’aide d’une matrice, on a : 1 3 –2 –10 L1 1 3 –2 –10 11L1 + 3L2 11 8 73 3 –2 4 31 ≈ L2 – 3L1 –11 10 61 ≈ L2 11 –10 –61 5 4 1 16 L3 – 5L1 –11 11 66 L3 – L2 1 5 L1 – 8L3 11 33 L1 /11 1 3 ≈ L2 + 10L3 11 –11 ≈ L2 /11 1 –1 L3 1 5 L3 1 5 Dans ce cas, le système a une solution unique. Les trois plans se rencontrent donc en un même point. C’est le point (3; –1; 5).

Positions relatives et systèmes d’équations La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues. S S Infinité de solutions Aucune solution Solution unique Lorsque la matrice échelonnée com-porte une équation impossible, le système n’a aucune solution. Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une infinité de solutions. Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une solution unique. a b c d a a b c d e b f c g d , où i ≠ 0. , où h ≠ 0. e f g e f i g h i Deux des plans peuvent être parallèles distincts. Les trois plans se rencontrent alors en un même point. Les trois plans ont une droite comme intersection. Ils peuvent également être confondus s’il reste une équation pour trois inconnues. Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes.

Conclusion À l’aide des vecteurs et des système d’équations, on peut déterminer algébriquement les positions relatives de droites dans R2 ainsi que de droites et de plans dans R3.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 340 à 354. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367.