Des triplets au théorème Pythagore Des triplets au théorème Vers ~569 à ~475 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction La cohérence est une des exigences fondamentales dans la construction de la connaissance. On ne peut conserver deux théories qui se contredisent, il faut faire un choix, ou tout recommencer. Les pythagoriciens ont été confrontés à un tel choix lorsqu’ils ont constaté que le théorème de Pythagore venait en contradiction avec leur théorie de la commensurabilité. Dans cet présentation, nous allons voir les origines du théorème de Pythagore ainsi que les recherches et résultats obtenus dans le cadre de la théorie de la commensurabilité. Puis nous verrons comment ces deux composantes de la pensée pythagoricienne se sont révélées incompatibles.

Triplets pythagoriciens Durant ses voyages, Pythagore avait appris la propriété suivante : Les triangles dont les mesures des côtés sont propor-tionnelles aux nombres 3, 4 et 5 sont rectangles. Il semble que les égyptiens savaient que l’on peut former un angle droit à l’aide d’une corde sur laquelle des nœuds marquent les longueurs 3, 4 et 5. Il suffit de disposer la corde pour former un triangle dont les nœuds seront les sommets. Cette propriété était connue également des babyloniens comme en témoigne la tablette d’argile appelée Plimpton 322.

Relation entre les nombres Les pythagoriciens, habitués à la représentation ponctuelle des nombres, pouvaient facilement détecter des relations intéressantes du carré de ces nombres. Par exemple, le carré du plus petit de ces nombres est le gnomon du carré du second pour donner le carré du plus grand des trois. Ce qui, en écriture moderne, donne : 32 + 42 = 52 9 est le gnomon de 16 et, en lui ajoutant ce gnomon, on obtient le nombre carré 25.

Relation entre les nombres Les pythagoriciens ont tout naturellement cherché à connaître tous les nombres carrés décomposables en une somme de deux carrés. Puisque le gnomon d’un nombre carré est toujours un nombre impair, il faut chercher les nombre carrés qui sont impairs. Le nombre carré impair suivant est 25. On peut donc le disposer pour former le gnomon d’un autre nombre carré. Le gnomon est 25, soit 52, et la représentation par des points de ce nombre permet de trouver un autre triplet, soit : 122 + 52 = 132

Généralisation Utilisons une écriture moderne pour voir comment ils ont généralisé cette approche. Ils avaient montré que tout nombre carré, n2, est la somme du nombre carré (n – 1)2 et du gnomon (2n – 1), soit : n2 = (n – 1)2 + (2n – 1), Il leur suffisait donc de déterminer les nombres impairs qui sont des carrés. C’est-à-dire les nombres m tels que : m2 = (2n – 1). Connaissant un nombre impair qui est un carré, il est alors facile de trouver les trois nombres du triplet. Par exemple, 49 est un nombre impair carré et, en posant : m2 = (2n – 1) = 49, on trouve m = 7, n = 25 et n – 1 = 24 et on a la relation : 252 = 242 +72.

Relation de Pythagore De façon générale, si m2 est un nombre impair, alors m2 = (2n – 1) et on a : En posant (2n – 1) = m2 et dans l’expression n2 = (n – 1)2 + (2n – 1), on obtient : Relation de Pythagore Si m est un nombre entier impair plus grand ou égal à 3, alors : est un triplet pythagoricien

Relation de Platon L’inconvénient de cette généralisation, c’est que m doit être un nombre impair plus grand ou égal à 3. On échappe probablement plusieurs triplets car en prenant quatre fois un même nombre carré, on forme un autre nombre carré. Cette démarche graphique se traduit symboliquement en multi-pliant par 4 les deux membres de l’équation : 32 + 42 = 52 Ce qui donne : 4x32 + 4x42 = 4x52 22x32 + 22x42 = 22x52 (2x3)2 + (2x4)2 = (2x5)2 62 + 82 = 102 On obtient ainsi un triplet qui nous échappait par la relation de Pythagore.

Relation de Platon Généralisons en multipliant par 4 les deux membres de la relation de Pythagore, soit On obtient : D’où : En simplifiant : (m2 + 1)2 = (m2 – 1)2 + (2m)2 Relation de Platon Si m ≥ 2 est un nombre entier, alors (m2 + 1)2 = (m2 – 1)2 + (2m)2 est un triplet pythagoricien.

Euclide et les triplets Dans le premier lemme de la proposition 29 du Livre X, Euclide s’intéresse lui aussi aux triplets pythagoriciens. Ce lemme, qui explique comment procéder pour trouver des triplets, s’énonce comme suit : Choisir deux nombres plans semblables qui sont tous deux pairs ou tous deux impairs. Leur différence est alors un nombre pair, le diviser par 2. Puisqu’ils sont semblables, leur produit est un carré et celui-ci additionné au carré de la moitié de leur différence donne un carré. Rappelons que, pour les grecs, un nombre plan est un produit de deux nombres et il représente l’aire d’un rectangle. Ainsi, 6 est un nombre plan.

Euclide et les triplets Des nombres plans sont semblables si leurs côtés sont proportionnels. Ainsi, les nombres 96 et 54 sont des nombres plans semblables et ils sont tous deux pairs. La différence de ces nombres est 42, la moitié de celle-ci est 21 et son carré est 441. Le produit des deux nombres est 54 x 96 = 5184 = 722. La somme de ces carrés est 5184 + 441 = 5625 = 752. On obtient donc le triplet pythagoricien : 722 + 212 = 752

Relation d’Euclide On peut généraliser en suivant le conseil d’Euclide : Choisissons donc deux nombres plans semblables et de même parité : a = m2pq et b = n2pq, deux nombres plans semblables, tels que a > b (ou m > n). Leur différence est alors un nombre pair, leur produit est un carré et celui-ci additionné au carré de la moitié de leur différence donne un carré. En simplifiant l’équation obtenue en effectuant cette somme, on trouve : Relation d’Euclide Soit m > n des nombres entiers, alors (m2 + n2)2 = (m2 – n2)2 + (2mn)2 forme un triplet pythagoricien.

Relation d’Euclide Remarques Dans la forme finale de la relation d’Euclide, on n’a pas à se préoccuper de la similitude des nombres plans car les facteurs communs ont été simplifiés. Il suffit de considérer deux nombres positifs m et n tels que m > n. Ainsi, en posant m = 3 et n = 2, on trouve : 132 = 52 + 122. On remarque de plus qu’en posant n = 1 dans la relation d’Euclide, on obtient la relation de Platon et en divisant celle de Platon par 4, on obtient celle de Pythagore.

Théorème de Pythagore Pour les pythagoriciens, les produits de nombres représentaient des aires de rectangles et les nombres carrés représentaient des aires de carrés. La relation entre les carrés des nombres est donc la manifestation d’une relation entre les aires des carrés construits sur les côtés d’un triangle rectangle. Cette propriété nous est connue sous l’appellation Théorème de Pythagore.

Aire d’un parallélogramme Si les pythagoriciens disposaient d’une démonstration générale de ce théorème, elle était probablement basée sur le fait que l’aire d’un parallélogramme est égale à l’aire du rectangle ayant même base et même hauteur. Si, à partir des extrémités d’un côté du parallélogramme, on trace des perpendiculaires au côté parallèle à celui choisi, on forme des triangles égaux. Il est alors simple de montrer que l’aire du parallélogramme est égale à celle du rectangle de même base et de même hauteur. Remarque Dans l’illustration, nous avons choisi un côté horizontal pour tracer les perpendiculaires au côté parallèle, mais cela n’est pas obligatoire.

Démonstration du théorème Théorème de Pythagore L’aire du carré construit sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit. Voyons comment, on peut démontrer ce résultat par les aires de parallélogrammes. Considérons un triangle rectangle et les carrés construits sur les côtés. Ces parallélogrammes ont même aire que les carrés construits sur les côtés de l’angle droit. Du sommet A du triangle, abaissons une perpendiculaire à l’hypoténuse et prolongeons cette perpendiculaire jusqu’à sa rencontre avec le côté opposé du carré construit sur l’hypoténuse. La perpendiculaire abaissée divise le carré construit sur l’hypoténuse en deux rectangles. Ceux-ci ont même aire que les parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux côtés de l’angle droit du triangle rectangle. On peut déplacer ces paral-lélogrammes par translation pour en faire coïncider les côtés avec ceux du triangle. L’aire demeure constante. Ce qui complète la démonstration.

Commensurabilité Il est à remarquer que le rapport 7/4, pour les grecs, n’est pas un nombre. C’est une qualité qu’ont en commun les deux segments. Inversons le problème. Si deux segments quelconques GH et IJ sont donnés, peut-on toujours trouver un segment qui soit commune mesure de GH et IJ? C’est à-dire, peut-on trouver un segment KL de telle sorte qu’il soit possible de reporter un nombre entier de fois la longueur de KL sur les segments GH et IJ? C’est loin d’être évident, mais les pythagoriciens croyaient que oui. Pour eux, les segments de droites sont formés de parties indivisibles, les points, dont le nombre peut être indéterminé mais le rapport des segments, qui est le reflet du nombre de ces points, peut être connu.

Commensurabilité Ce qui se profile derrière le postulat de la commensurabilité, c’est la structure même de la matière et du temps. La matière et le temps sont-ils constitués de grains indivisibles, ou, au contraire, sont-ils continus et infiniment divisibles? Les pythagoriciens étaient convaincus qu’ils étaient constitués de grains indivisibles. Cette conviction les a encouragés à poursuivre leurs recherches pour expliciter le rapport des segments de figures géométriques sous forme de proportions. Pour eux, la connaissance de l’univers passe par la découverte du rapport entre les grandeurs des figures géométriques. Cette quête était assez exigeante mais les nombreux résultats de proportionnalité de figures semblables semblaient entériner leur conviction.

Diagonale et côté du carré Les recherches des pythagoriciens pour déterminer le rapport de la diagonale du carré et de son côté, ont connu une conclusion qui a sapé les fondements de leur conception de l’univers. En effet, ils ont découvert qu’il est impossible d’exprimer le rapport de la diagonale et du côté du carré comme quotient de nombres entiers. Pour les pythagoriciens qui avaient la conviction que toutes les grandeurs sont commensurables, cela était un dur coup. Deux parties importantes de leur enseignement, la commensurabilité des grandeurs de même nature et le théorème de Pythagore se révélaient incompatibles à l’intérieur d’un simple carré. Cette découverte serait l’œuvre du pythagoricien Hippasus de Métaponte vers 430 av. J.-C.

Raisonnement d’Hippasus En supposant que la diagonale et le côté sont commensurables, leurs longueurs s’expriment par des nombres entiers dans l’unité de la plus grande commune mesure des deux segments. Les entiers mesu-rant la diagonale et le côté sont donc les plus petits possibles, c’est-à-dire que ces nombres n’ont pas de facteur commun. Puisque l’aire du carré AEFC est le double de l’aire du carré ABCD, l’aire du carré AEFC est donnée par un nombre pair (ce qui signifie pour Hippasus qu’il comporte un nombre pair de points mais cela n’est pas indispensable ici).

Raisonnement d’Hippasus Cependant, le carré d’un nombre impair ne peut jamais donner un nombre pair. La longueur de la diagonale est donc donnée par un nombre pair. Puisque le carré d’un nombre pair est divisible par 4, l’aire du carré AEFC est divisible par 4. Cette aire étant le double de celle du carré ABCD, l’aire du carré ABCD est également donnée par un nombre pair. Par conséquent, la longueur du côté du carré ABCD est également donnée par un nombre pair. La diagonale et le côté du carré ont donc un facteur commun. Cela contredit le fait que les nombres n’ont pas de facteur commun.

Raisonnement d’Hippasus Cette contradiction vient de l’hypothèse selon laquelle la diagonale et le côté du carré ont une commune mesure. Il faut donc rejeter cette hypothèse. La dia-gonale et le côté du carré sont donc incommensurables. Cette démonstration a eu un impact majeur sur la philosophie pythagoricienne. Cela signifie qu’il existe des grandeurs non commensurables, et pas n’importe quelles longueurs, la diagonale et le côté du carré, des grandeurs qui pourtant sont reliées par le théorème de Pythagore. De plus, c’est la première démonstration par l’absurde dans l’histoire. Ce n’est pas la dernière.

Conclusion L’étude des rapports et proportions entreprise par les pythagoriciens s’est révélée pleine de surprises. Ils ont démontré plusieurs propriétés des figures géométriques mais, ils ont également découvert qu’il est impossible d’exprimer le rapport de la diagonale et du côté du carré comme rapport de deux nombres entiers. Tant qu’ils n’avaient pas réussi à déterminer un tel rapport, il pouvaient garder espoir. Si on ne réussit pas à exprimer le rapport de deux longueurs comme quotient de deux entiers on ne peut pas pour autant conclure que ce rapport est impossible. Pour tirer une telle conclusion, il faut démontrer que cela est effectivement impossible, ce qui est beaucoup plus exigeant. C’est ce que Hippasus a fait pour le rapport de la diagonale du carré à son côté.

Conclusion Cette découverte a porté un dur coup aux pythagoriciens, car elle détruisait le fondement de leur conception de l’univers. Ils n’en ont pas nécessairement vu les implications tout de suite. Pour être convaincu par une démonstration, il faut prendre le temps d’y réfléchir, de la critiquer, de voir si elle n’a pas de faille. Une fois convaincu, il fallait faire un choix entre le théorème de Pythagore, qui avait fait l’objet d’une démonstration, et le postulat de la constitution granulaire de la matière et du temps. Le théorème a survécu. Par sa démonstration, Hippasus a introduit une nouvelle façon de s’assurer de la cohérence de la connaissance, la démonstration par l’absurde. Lorsqu’une hypothèse entraîne une contradiction avec un résultat préalablement démontré, il faut rejeter l’hypothèse.

Conclusion Mais alors, qu’advient-il de tous les résultats de proportionnalité obtenus à partir de ce postulat? La théorie des proportions qui ne pouvait plus se fonder sur la commensurabilité a été formulée autrement par Eudoxe de Cnide (408 à 355 av. J.-C) qui fut élève de Platon (vers 427-348 av. J.-C.) et du pythagoricien Archytas de Tarente (vers 430 av. J.-C.). Les travaux d’Eudoxe ont été repris et complétés par Euclide avec qui la théorie des proportions se dégage complètement du postulat de la commensurabilité. Ce postulat avait cependant permis de développer un impressionnant corpus de connaissances qui a été préservé en utilisant d’autres fondements.

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