La fonction quadratique. Déterminer l’équation.

Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et f(x) dans une fonction. Chaque valeur de f(x) est déterminée en fonction de chaque valeur de x par une équation. Ainsi dans l’équation : f(x) = - ( x – 2 ) Si x = 5 f(5) = - ( 5 – 2 ) f(5) = - ( 3 ) f(5) = f(5) = - 6 Nous obtenons ainsi le couple ( 5, - 6 ) Introduction

Ainsi, le couple ( 1, 2 ) appartient à la courbe de la fonction f(x) = - ( x – 2 ) De ce fait, il découle que: Chaque couple de coordonnées, qui vérifie l’équation ( qui rend l’équation vraie ), appartient à la courbe. 2 = - ( 1 – 2 ) car: ( 1, 2 ) 2 = - ( - 1 ) = = 2 Vrai

À l’inverse, les coordonnées d’un point sur la courbe vérifie l’équation. f(x) = - ( x – 2 ) = - ( -1 – 2 ) = - ( -3 ) = = ( -1, - 6 ) Vrai

Pour déterminer l’équation d’une fonction quadratique: Pour la forme canonique, il faut connaître: Pour la forme générale, il faut connaître: il faut un minimum d’informations. - les coordonnées du sommet de la parabole - les zéros de fonction - les coordonnées d’un autre point de la courbe. x y 1 1 f(x) = a (x – h) 2 + k f(x) = ax 2 + bx + c y x 1 1

Une fonction quadratique passe par un point dont les coordonnées sont ( 4, 102 ). Son sommet se situe à ( - 2, - 6 ). Quelle est son équation ? À partir des informations fournies, il faut utiliser la forme canonique. f(x) = a ( x – h ) 2 + k Sommet ( - 2, - 6); donc h = - 2 k = = a ( ) = a ( 6 ) Coordonnées du point ( 4, 102 ); donc à ce point, x = 4 y = = 36a = a ( – ) 2 + Remplaçons: Effectuons les calculs: En remplaçant les différents termes par les coordonnées fournies, nous obtenons une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule inconnue.

102 = 36a Isolons a : 108 = 36a 36 3 = a Sachant que a = 3, h = - 2, k = - 6 L’équation est donc: f(x) = a ( x – h ) 2 + k f(x) = 3 ( x + 2 ) Il ne reste qu’à déterminer la valeur de a.

Lorsque l’on connaît les zéros de fonction et les coordonnées d’un autre point, il faut utiliser la forme générale factorisée: Pour bien comprendre le procédé, nous devons nous souvenir d’un des procédés pour trouver les zéros de fonction: Avec la forme générale: Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul. Exemple:f(x) = 2x 2 + 4x = 2 (x 2 + 2x - 8 ) 0 = 2 ( x + 4 ) ( x – 2 ) si x + 4 = 0 alors x = - 4 si x - 2 = 0 alors x = 2 Les zéros de fonction sont donc de signes contraires des coefficients des binômes. f(x) = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

De cette démonstration, on peut déduire la version théorique de la forme générale factorisée. f(x) = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) x 1 et x 2 sont les zéros de fonction le - signifie l’opposé des zéros. et Ainsi, si une fonction quadratique a comme zéros de fonction 5 et - 3, alors les binômes qui la composent sont ( x – 5 ) et ( x + 3 ).

Une fonction quadratique a comme zéros de fonction -1 et 3. De plus, elle passe par le point dont les coordonnées sont ( 4, 10 ). Quelle est son équation ? Les zéros sont -1 et 3 donc x 1 = - 1 et x 2 = 3 f(x) = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) Remplaçons: Déterminons les binômes : a ( x - ) ( x - ) f(x) = f(x) = a ( x + 1 ) ( x - 3 ) Coordonnées du point ( 4, 10 );donc à ce point, x = 4 y = f(x) = a ( x + 1 ) ( x - 3 ) = a ( + 1 ) ( - 3 ) Remplaçons:

Sachant que a = 2, x 1 = - 1 et x 2 = 3 f(x) = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) f(x) = 2 ( x – -1 ) ( x – 3 ) f(x) = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 ) Développons: f(x) = 2 ( x 2 - 2x – 3 ) f(x) = 2x 2 - 4x – 6 Calculons : 10 = a ( ) ( 4 – 3 ) 10 = a X 5 X 1 10 = 5a 2 = a