CINEMATIQUE DU POINT OBJECTIFS : - Décrire les principales grandeurs cinématiques (position,vitesse,accélération). - Définir la trajectoire d’un point d’un solide ou le mouvement du solide. - Exprimer une loi qui permette d’exprimer la position, la vitesse et l’accélération d’un solide en mouvement de translation rectiligne.

I- CARACTERISTIQUES DU POINT D’UN SOLIDE : 1- Sa position : c’est la distance s parcourue sur la trajectoire depuis l’origine s = f(t)

2- Sa trajectoire : On appelle trajectoire du point (M) d’un solide (S) l’ensemble des positions occupées successivement par ce point au cours de son déplacement par rapport à un référentiel donné.   Notation : TMS/R = trajectoire du point M appartenant à S, par rapport au repère R. TMS/R

Sa trajectoire en fonction du mouvement : Mouvement de S/R Trajectoire TMS/R Translation rectiligne Droite (point, axe) Translation circulaire Cercle (centre, rayon) Rotation à axe fixe Hélicoïdal Hélice (pas) Plan sur plan Courbe quelconque dans le plan

3- Sa vitesse moyenne: c’est le rapport de la distance s parcourue par la variation de temps t correspondante V moyenne = s / t unités : [m/s] =[m]/[s] Exemple : un sprinter parcourt le 100 m en 10s. Sa vitesse moyenne est de …

4- Sa vitesse instantanée: c’est la dérivée de la position par rapport au temps . V = s’(t) unités : [m/s]

5 - Son accélération : elle s’oppose à l’inertie - l’accélération tangentielle : c’est la dérivée (variation) de la vitesse par rapport au temps at =V’ (t) unités : [m/s2] - l’accélération normale : elle dépend du changement de direction du point M. an =V 2/r unités :

II- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME: MRU 2.1.    Définition : - La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0) - Son accélération tangentielle est nulle (at=0) donc sa vitesse est constante au cours du temps (v=constante) . 2.2     Conditions aux limites du mouvement : CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES t0 = 0 s : instant initial  t : instant particulier du mouvement  x0 : le déplacement initial  x : le déplacement à l’instant t v = constante : la vitesse a = 0 m/s2 : l’ accélération tangentielle

2.3. Équations du mouvement ou horaires: v = constante x = v.t + x0 Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer v et x0 par les valeurs trouvées. 2.4. Graphes du mouvement: Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations

III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE : MRUV 3.1.    Définition : - La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0) - Son accélération tangentielle est constante (at=constante). 3.2     Conditions aux limites du mouvement : CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES t0 = 0 s : instant initial  t : instant particulier du mouvement  x0 : le déplacement initial  x : le déplacement à l’instant t v0 : la vitesse initiale  v : la vitesse à l’instant t a = constante : l’ accélération tangentielle

3.3. Équations du mouvement ou horaires: a = constante v = a.t + v0 x = ½.a.t2 + v0.t + x0 Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer a, v et x0 par les valeurs trouvées. 3.4. Graphes du mouvement: Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations

Exercice 1: Réponses : MRUV Conditions Initiales Conditions Finales Départ arrêté, un dragster parcourt le 400m en 3,995s Déterminer les équations du mouvement et sa vitesse finale Réponses : MRUV Conditions Initiales Conditions Finales t0=0s t=3,995s X0=0m X=400m V0=0m/s V= a = x = ½.a.t2 + v0.t + x0 <=> 400 = ½.a.3,9952 + 0.t + 0 => a = 50,12 m/s2 V = a.t + v0 <=> V = 50,12.3,995 + 0 V = 200,25 m/s = 721 km/h 80 m/s 50,12 m/s2

Exercice 1: suite Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en remplaçant x0, v0 et a par leur valeur) x = 4.t2 m v = 8.t m/s a = 8 m/s2

Réponses : MRUV avec v=(100/3,6)m/s à t=10s CI CF t0=0s t=10s X0=0m X= Exercice 2: Une Mercedes coupé sport passe de 0 à 100km/h en 10s Déterminer les équations du mouvement et la distance de la phase d’accélération Réponses : MRUV avec v=(100/3,6)m/s à t=10s CI CF t0=0s t=10s X0=0m X= V0=0m/s V=27,8m/s a = v = a.t + v0 <=> 27,8 = a.10 + 0 => a = 2,78 m/s2 139 m x = ½.a.t2 + v0.t + x0 <=> x = ½.2,78.102 + 0.t + 0 => x = 139 m 2,78 m/s2

Exercice 2: suite Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en remplaçant x0, v0 et a par leur valeur) x = 1,39.t2 m v = 2,78.t m/s a = 2,78 m/s2

Réponses : MRUV avec v=(100/3,6)m/s à t=8,2s CI CF t0=0s t=8,2s X0=0m Exercice 2 bis : Une peugeot 508 SW GT passe de 0 à 100km/h en 8,2s Déterminer les équations du mouvement et la distance de la phase d’accélération Réponses : MRUV avec v=(100/3,6)m/s à t=8,2s CI CF t0=0s t=8,2s X0=0m X= V0=0m/s V=27,8m/s a = v = a.t + v0 <=> 27,8 = a.8,2 + 0 => a = 3,38 m/s2 113 m x = ½.a.t2 + v0.t + x0 <=> x = ½.3,38.8,22 + 0.t + 0 => x = 113 m 3,38 m/s2

Exercice 2 bis : suite Équations du mouvement : pour 0 <t < 8,2s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en remplaçant x0, v0 et a par leur valeur) x = 1,69.t2 m v = 3,38.t m/s a = 3,38 m/s2

Exercice 3: CI CF t0=0s t= X0=0m X=300m V0=27,8m/s V=27,8m/s a = 0m/s2 Une Mercedes coupé sport roule sur 300m à 100km/h sur une voie rapide Déterminer les équations du mouvement et sa durée Réponses : MRU avec v=(100/3,6)m/s à x=300m CI CF t0=0s t= X0=0m X=300m V0=27,8m/s V=27,8m/s a = 0m/s2 x = v.t + x0 <=>300=27,8.t+0 => t = 10,8 s 10,8 s Équations du mouvement : x = 27,8.t m pour 0 <t < 10,8s v = 27,8 m/s a = 0 m/s2

v = a.t + v0 <=> 0 = a.t + 27,8 (1) Exercice 4: Une Mercedes coupé sport roule à 100km/h puis s’arrête sur 100 m Déterminer les équations du mouvement et sa durée Réponses : MRUV avec v0=(100/3,6)= 27,8 m/s et x=100m CI CF t0=0s t= X0=0m X=100m V0=27,8m/s V= 0 m/s a = Exercice 4 : Mercedes coupe sport freinage v = a.t + v0 <=> 0 = a.t + 27,8 (1) x=½.a.t2+v0.t+x0 <=> 100 =½.a.t2 + 27,8.t + 0 (2)

Exercice 4: suite Résolution : (1) => a.t = - 27,8 Ds (2) => 100=½.(-27,8 ) .t + (27,8) .t t = 200 / 27,8 = 7,2 s Ds (1) => a = - 27,8 / 7,2 = -3,86 m/s2 ( Valeurs à indiquer dans le tableau des conditions limites du mouvement ) Équations du mouvement : pour 0 <t < 7,2s x = -1,93.t2 + 27, 8.t m v = -3,86.t + 27, 8 m/s a = -3,86 m/s2

formule utile Afin de déterminer l’accélération sans connaître la durée du mouvement, on utilisera la formule : a = (v2 – v02) / [2(x-x0)] Application à l’exercice précédent : a = [02 – (27,8)2] / [2(100 - 0)] a = - 27,82 / 200 a = - 3,86 m/s2 v = a . t + v0 0 = -3,86 . t + 27,8 t = -27,8 / -3,86 = 7,2 s

Exercice 5: Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des Tracer les graphes associés aux trois phases de mouvement de la Mercedes Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations

Exercice 6: (travail en autonomie) Le chariot d’une machine de découpage laser atteint la vitesse de 10 cm/s en 2 secondes. Le chariot évolue à vitesse constante pendant 8 secondes. Il s’arrête ensuite en l’espace de 12,5 cm. Hypothèse : les accélérations et décélérations sont supposées constantes. 1/ Déterminer la durée totale de l’opération de découpage ainsi que la distance parcourue. Pour cela, évaluer, pour les trois phases de mouvement, les conditions aux limites ainsi que les équations horaires. 2/ Tracer les graphes du mouvement du chariot.

Équations du mouvement de la phase 1 : 0 <t < 2s Corrigé Exercice 6: - Phase 1 : MRUV V = a.t + V0 => 0.10 = a . 2 + 0 => a = 0,05 m/s2 CI CF t0=0s t=2s X0=0m X= V0=0m/s V=0,10m/s a = 0,10 m Distance parcourue phase 1 : x =½.a.t2+v0.t+x0 => x = ½ . 0,05 . 22 => x = 0,10 m 0,05m/s2 Équations du mouvement de la phase 1 : 0 <t < 2s x = 0,025.t2 m v = 0,05.t m/s a = 0,05 m/s2

Équations du mouvement de la phase 2 : 0 <t < 8s Corrigé Exercice 6: Phase 2 : MRU CI CF t0=0s t=8s X0=0m X= V=V0=0,10m/s a = 0 m/s2 X = V t + X0 => X = 0,10 . 8 + 0 => X = 0,8 m 0,8 m Équations du mouvement de la phase 2 : 0 <t < 8s x = 0,10.t m v = 0,10 m/s a = 0 m/s2

Équations du mouvement de la phase 3 : 0 <t < 2,5s Corrigé Exercice 6: Phase 3 : MRUV a=(v2 – v02) / [2(x-x0)] => a = -0,102 / [2 . 0,125] => a = - 0,04 m/s2 CI CF t0=0s t= X0=0m X=0,125m V0=0,10m/s V=0m/s a = 2,5 s Durée de l’arrêt : V = a t + V0 0 = -0,04 . t + 0,10 => t = 2,5 s - 0,04 m/s2 Équations du mouvement de la phase 3 : 0 <t < 2,5s x = -0,02.t2 + 0,10t m v = -0,04t + 0,10 m/s a = -0,04 m/s2

Corrigé Exercice 6: - Durée totale de l’opération : t = 2 + 8 + 2,5 = 12,5 s - Distance totale parcourue : x = 0,10 + 0,8 + 0,125 = 1,025 m

Corrigé Exercice 6: Graphe des abscisses Graphe des vitesses Graphe des accélérations

Exercice 7: (travail en autonomie) Un canon tire un obus verticalement. On supposera que l’obus n’est soumis qu’à l’accélération de la pesanteur (g=9,81 m/s2). Conditions initiales du mouvement : v0 = 400m/s, y0 = 0. 1) Quelle altitude atteint l’obus ? 2) Au bout de combien de temps touchera-t-il le sol ? 3) A quelle vitesse initiale aurait-il fallu tirer pour atteindre une altitude de 50 km ?

Corrigé Exercice 7: 1 - MRUV CI CF t0=0s t= Y0=0m Y= V0=400m/s V=0m/s a = -9.81 m/s2 1/ calcul de l’altitude atteinte : a = (v2 – v02) / [2(y-y0)] -9,81 = (02 – 4002) / [2(Y – 0)] Y = -4002 / 2 . (-9,81) => Y = 8 155 m 40,77 s 8 155 m durée mouvement ascensionnel : V = a. t + V0 => 0 = -9,81.t + 400 => t = 40,77 s

Corrigé Exercice 7: (suite) 2 / durée jusqu’au contact avec le sol : t = 2 x 40,77 (aller retour) t = 81,54 s 3 / vitesse initiale pour atteindre 50 km : a = (v2 – v02) / [2 . (y-y0)] -9,81 = (02 – V02) / [2 . (50 000 - 0)] -V02 = -9,81 x 100 000 V0 = 990 m/s = 3564 km/h

Exercice QCM 8: La position d’un solide animé d’un mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3.t2. A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ? q 18 m q 27 m q 81 m

Exercice QCM 9: La position d’un solide est définie par la relation : x = 20 + 2.t Son mouvement est donc : q uniforme q uniformément accéléré q uniformément décéléré

Exercice QCM 10: Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84,8 km/h. Calculer alors son accélération. q 3 m/s2 q 6 m/s2 q 9 m/s2

Exercice QCM 11: Un véhicule roule à 72 km/h et s’arrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ? q x = 72.t – 2 t2 q x = 20.t – 2 t2 q x = 14,4.t – 5 t2

Exercice QCM 12: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.t Quelle est la vitesse du solide au début du mouvement ? q 20 m/s2 q 4 km/h q 72 km/h

Exercice QCM 13: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.t Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? q 80 s q 16 s q 5 s

Exercice QCM 14: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.t Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x0 = 0 m q x = 20.t – 2 t2 q x = – 2 t2 q x = – 4 t

Quelle est la valeur de son accélération ? Exercice QCM 15: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Quelle est la valeur de son accélération ? q 1 m/s2 q 2 m/s2 q 4 m/s2 V (m/s) 2 t (s) 2 6 9

Combien de temps dure le mouvement uniforme ? Exercice QCM 16: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Combien de temps dure le mouvement uniforme ? q 2 s q 3 s q 4 s V (m/s) 2 t (s) 2 6 9

Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ? Exercice QCM 17: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ? q v = 2 – (2/3).t q v = 9 + (2/3).t q v = -3.t V (m/s) 2 t (s) 2 6 9

Exercice 18: cascade de film Quelle est la vitesse mini du véhicule afin d’éviter le contact entre la voiture et le peintre cascadeur   4,29 m 4 m 1,32 m  Pour cela, écrire les équations horaires de la voiture et celles du cascadeur.

A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ? Corrigé Exercice QCM 8: La position d’un solide animé d’un mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3.t2. A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ? x = 3 . t2 = 3 . 32 = 27m q 18 m  27 m q 81 m

Corrigé Exercice QCM 9: La position d’un solide est définie par la relation : x = 20 + 2 . t soit x = x0 + v0.t + ½ . a . t2 donc x0 = 20m ; v0 = 2m/s ; a = 0m/s2 Son mouvement est donc :  uniforme q uniformément accéléré q uniformément décéléré

Calculer alors son accélération. CI CF Corrigé Exercice QCM 10: Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84,8 km/h. Calculer alors son accélération. Données : V0 = 20km/h ; V = 84,8 km/h et t = 6s. Calcul de son accélération : v = a t + v0 => a =(v – v0 ) / t => a =(64,8/3,6) / 6 = 3m/s2 CI CF t0=0s t=6s X0= X= V0=5.5m/s V=23.5m/s a = 3m/s2  3 m/s2 q 6 m/s2 q 9 m/s2

Corrigé Exercice QCM 11: Un véhicule roule à 72 km/h et s’arrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ? Données :V0 =72km/h=20m/s ;V = 0 km/h et t = 5s. Calcul de son accélération : v = a t + v0 => a =(v – v0) / t => a =(-20) / 5 = -4m/s2 Équation : x = x0 + v0.t + ½.a.t2 = 0 + 20.t + ½.(-4) .t2 CI CF t0=0s t=5s X0=0m X= V0=20m/s V=0m/s a = -4m/s2 q x = 72.t – 2 t2  x = 20.t – 2 t2 q x = 14,4.t – 5 t2

Quelle est la vitesse du solide au début du mouvement ? CI CF Corrigé Exercice QCM 12: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.t Quelle est la vitesse du solide au début du mouvement ? soit v = v0 + a.t donc v0 = 20m/s = 72km/h ; a = -4m/s2 CI CF t0=0s t= X0= X= V0=20m/s V= a = -4 m/s2 q 20 m/s2 q 4 km/h  72 km/h

Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? CI CF Corrigé Exercice QCM 13: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.t Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? Soit l’arrêt effectif lorsque v = 0 donc 0 = 20 – 4 t => t = 5s CI CF t0=0s t= 5 s X0= X= V0=20m/s V=0m/s a = -4 m/s2 q 80 s q 16 s  5 s

Quelle est l’équation définissant la position du solide ? Corrigé Exercice QCM 14: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.t Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x0 = 0 m soit v = v0 + a.t donc v0 = 20m/s ; a = -4m/s2 Équation : x = x0 + v0.t + ½.a.t2 = 0 + 20.t + ½.(-4) .t2 CI CF t0=0s t= X0=0m X= V0=20m/s V= a = -4 m/s2  x = 20.t – 2 t2 q x = – 2 t2 q x = – 4 t

Quelle est la valeur de son accélération ? Corrigé Exercice QCM 15: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Quelle est la valeur de son accélération ? v = a . t + v0 a =(v – v0 ) / t = 2 / 2 = 1 m/s2  1 m/s2 q 2 m/s2 q 4 m/s2 V (m/s) CI CF t0=0s t=2s X0=0m X= V0=0m/s V=2m/s a = 1 m/s2 2 t (s) 2 6 9

Combien de temps dure le mouvement uniforme ? Corrigé Exercice QCM 16: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Combien de temps dure le mouvement uniforme ? q 2 s q 3 s  4 s CI CF t0=0s t=4s X0=0m X= V0=2m/s a = 0 m/s2 V (m/s) 2 t (s) 2 6 9

v-v0= -2m/s tF-ti = 3s Corrigé Exercice QCM 17: On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation. Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ? a =(v – v0 ) / t = -2/3 m/s2  v = 2 – (2/3).t q v = 9 + (2/3).t q v = -3.t V (m/s) CI CF t0=0s t=3s X0=0m X= V0=2m/s V=0m/s a = -2/3 m/s2 2 v-v0= -2m/s 2 6 9 t (s) tF-ti = 3s

Corrigé Exercice 18: cascade de film Équations horaires du peintre : MRUV CI CF t0=0s t= Y0=0m Y=2,68m V0=0m/s V= a = 9,81 m/s2 y = ½. a.t2+v0.t+y0 => y = 4,905.t2 0,74s v = a.t+v0 => v = 9,81.t a = constante => a = 9,81 m/s2 4,29 m 4 m 1,32 m Calcul du temps pour chuter de 2,68m y = 4,905.t2 => 2,68=4,905.t2 => t = 0,74s

Corrigé Exercice 18: cascade de film Équations horaires de la voiture : MRU   CI CF t0=0s t= x0=0m x=4,29m V0 =V = a = 0 m/s2 x = ½. a.t2+v0.t+x0 => x = v.t 0,74s v = constante => v = ? a = 0 => a = 0 m/s2 Calcul de la vitesse nécessaire pour passer de 4,29m en 0,74s : 4,29 m 4 m 1,32 m x = v.t => 4,29 = v.0,74 => v = 5,8m/s = 20,87km/h

TD d’approfondissement Exercice n°1 : On donne le graphe des vitesses suivant. V (m/s) 20 15 5 t (s) 2 5 Déterminer les équations horaires pour chaque phase