LES TREILLIS

1- Définition Les treillis sont des structures portantes planes formées de barres bi-articulées assemblées les unes aux autres à leurs extrémités par des liaisons pivots appelées nœuds. H A B C D E G F Noeuds Barres

1- Définition Les treillis sont réalisés en bois, en acier ou en aluminium. Ils sont utilisés pour les ponts, les toitures de halls ou de bâtiments, les engins de levage en raison de leur grande légèreté. Exemple: Ferme de toiture Modélisation

1- Définition Les treillis sont réalisés en bois, en acier ou en aluminium. Ils sont utilisés pour les ponts, les toitures de halls ou de bâtiments, les engins de levage en raison de leur grande légèreté. Exemple: Ferme de toiture

1- Définition Les treillis sont réalisés en bois, en acier ou en aluminium. Ils sont utilisés pour les ponts, les toitures de halls ou de bâtiments, les engins de levage en raison de leur grande légèreté. Exemple: Poutres en treillis

2 - Hypothèses: Les assemblages sont supposés indéformables Les nœuds sont des articulations parfaites (liaisons pivots sans frottement) Le problème est supposé plan Le poids des barres est négligé Les nœuds sont supposés équivalents à des liaisons pivots Les barres ne sont soumises qu’à des efforts axiaux de traction ou compression. F G A B C D E F F C C Compression Traction

3 - Conception Un treillis doit constituer une structure stable qui ne doit pas se déformer sous l’application des charges. Exemple: Avec plus de 4 barres, la structure est instable (mécanisme) 4 barres 6 barres 8 barres 9 barres

3 - Conception Avec 3 barres, la structure est stable, elle ne peut plus se déformer:

3 - Conception Un treillis se construit à partir d’une structure de base constituée d’un triangle Barres b=3 Nœuds n=3 b=2n-3 Barres b=5 Nœuds n=4 Barres b=7 Nœuds n=5

4 – Liaisons d’un treillis avec son environnement La liaison avec son environnement doit permettre d’éliminer 3 degrés de liberté: TX, TY, RZ. H Exemple 1: Une pivot Une ponctuelle F G   A E B C D O  

4 – Liaisons d’un treillis avec son environnement La liaison avec son environnement doit permettre d’éliminer 3 degrés de liberté: TX, TY, RZ. H Exemple 1: Une pivot Une ponctuelle F G   A E Exemple 2: 3 ponctuelles B C D O  

5 – Actions mécaniques extérieures Les actions mécaniques extérieures sont appliquées aux nœuds du treillis. Elles sont connues, ce sont les données du problème. Exemple: poids d’un véhicule H F G   A E B C D O  

5 – Actions mécaniques extérieures Les actions mécaniques extérieures sont appliquées aux nœuds du treillis. Elles sont connues, ce sont les données du problème. Exemple: poids d’un véhicule H F G   A E B C D       O  

5 – Actions mécaniques extérieures   H   F G     A E   B C D         O Soit r=3 inconnues de liaison XA, YA, YB  

6 – Actions mécaniques intérieures Ce sont les actions mécaniques exercées dans les barres qui peuvent être sollicitées en traction ou en compression. F F C C Compression Traction A chaque barre correspond une action mécanique intérieure. S’il y a b barres, il y a donc b actions mécaniques intérieures inconnues.

6 – Actions mécaniques intérieures  

6 – Actions mécaniques intérieures Exemple: Inconnues de liaison: r = 3 Nombre de barres: b = 13 Nombre de noeuds: n = 8 Nombre d’équations: 2xn = 16 Conclusion: b+r = 2n = 16 Système isostatique H F G   A E B C D O  

6 – Actions mécaniques intérieures Exemple: Inconnues de liaison: r = 3 Nombre de barres: b = 14 Nombre de noeuds: n = 8 Nombre d’équations: 2xn = 16 Conclusion: b+r = 17 2n = 16 Système hyperstatique H F G   A E B C D O  

6 – Actions mécaniques intérieures Exemple: Inconnues de liaison: r = 3 Nombre de barres: b = 12 Nombre de noeuds: n = 8 Nombre d’équations: 2xn = 16 Conclusion: b+r = 15 2n = 16 Système hypostatique (déformable) H F G   A E B C D O  

6 – Actions mécaniques intérieures Exemple: Inconnues de liaison: r = 4 Nombre de barres: b = 13 Nombre de noeuds: n = 8 Nombre d’équations: 2xn = 16 Conclusion: b+r = 17 2n = 16 Système hyperstatique H F G   A E B C D O  

7 – Démarche de résolution Vérifier que le problème est isostatique. Isoler le treillis et déterminer les r inconnues de liaison. Simplifier éventuellement le treillis en éliminant les barres qui ne sont soumises à aucune sollicitation. Déterminer les actions mécaniques dans les barres: Soit en étudiant l’équilibre de chaque nœud, Soit par la méthode des sections.

7 – Démarche de résolution Exemple : Isoler le treillis et déterminer les inconnues de liaison.   H       F G   45° E   A a B C D      

7 – Démarche de résolution Représentation des actions mécaniques des barres sur les noeuds F A F   Si NAF >0, la barre AF travaille à la traction A F   Si NAF <0, la barre AF travaille à la compression     A   Action mécanique exercée par la barre AF sur le nœud A A F A F  

7 – Démarche de résolution Représentation des actions mécaniques des barres sur les noeuds F F           A A     Action mécanique exercée par la barre AF sur le nœud A Action mécanique exercée par la barre AF sur le nœud F        

7 – Démarche de résolution Exemple : Isoler le nœud A et en déduire les actions mécaniques dans les barres AB et AF.     H   F   A B   F G       A E   B C D      

7 – Démarche de résolution Exemple : Isoler le nœud A et en déduire les actions mécaniques dans les barres AB et AF.         A           Barre AF travaille à la compression Barre AB travaille à la traction    

7 – Démarche de résolution Exemple : Isoler le nœud B (2 inconnues) et en déduire les actions mécaniques dans les barres BC et BF.     F H   A   B C       F G   A E     B C D      

7 – Démarche de résolution Exemple : Isoler le nœud B (2 inconnues) et en déduire les actions mécaniques dans les barres BC et BF.     F   A     B C         Barre AF travaille à la traction   Barre AB travaille à la traction    

7 – Démarche de résolution Isoler le nœud A : en déduire NAD et NAF Isoler le nœud B : en déduire NBC et NBF Isoler le nœud F : en déduire NFC et NFH Isoler le nœud H : en déduire NHC et NHG Isoler le nœud C : en déduire NCG et NCD Isoler le nœud D : en déduire NDG et NDE Isoler le nœud E : en déduire NEG     F G   A E   B C D