Résolution des problèmes de Laplace et de Helmholtz 1D en Collocation Gauss-Lobatto

Résolution d’un problème de diffusion 1D Correspond à un problème de diffusion stationnaire (H=0) ou instationnaire, après discrétisation temporelle.

Vérifier que c’est bien le type d’opérateur proposé dans le programme Définir l’équivalent matriciel de ce problème en collocation Gauss-Lobatto. Vérifier que c’est bien le type d’opérateur proposé dans le programme E_5_1_Lap.m Utiliser ce programme pour implémenter les conditions aux limites de type Robin.

Corrigé : L’opérateur de dérivation seconde voit sa première et sa dernière ligne remplacées par les conditions aux limites.

Quelques considérations sur le phénomène de diffusion Les équations de la mécanique des fluides sont principalement gouvernées par la compétition entre les termes d’advection et de diffusion. La diffusion agit de façon irréversible en éliminant les inhomogénéités des solutions. Ceci assure, pour un problème temporel sans source imposée et avec des conditions aux limites homogènes, que la solution tend vers 0 partout.

Les modes propres de l’opérateur de diffusion, l’opérateur de Laplace La diffusion est un problème elliptique : les valeurs propres de l’opérateur de diffusion sont donc toutes réelles et négatives. L’opérateur numérique doit, lui aussi, satisfaire cette propriété : toutes ses valeurs propres doivent être réelles négatives. A noter que toutes les conditions aux limites permises par les conditions de type Robin ne permettent pas de satisfaire cette condition (voir la partie compléments).

Analyse des modes propres de l’opérateur de diffusion discret. Les modes propres du problème continu sont les modes propres Fourier discrets, du type. Les valeurs propres de la diffusion sont donc –k2

Utiliser le programme Ex_5_2_Lap_Helm pour observer le spectre de la diffusion. Commenter le spectre en pensant à la répartition des points de collocation. Le programme Ex_5_4_Lap_Helm_DF calcule le spectre équivalent pour un opérateur différences finies et des conditions de Dirichlet. Observer les différences avec le spectre Chebyshev.

Réduction des conditions aux limites. On a le système : On veut résoudre la diffusion uniquement, tenant compte des conditions aux limites. Nous allons écrire le problème équivalent ne s’appliquant qu’aux points internes du domaine.

Réduction des conditions aux limites. On a le système : La première et dernière ligne peuvent s’écrire, en isolant les contributions des bords : Soit :

Pour résoudre la diffusion uniquement, il faut résoudre le problème rectangulaire : On passe à droite les termes de bord. On remplace alors les termes de bord par leur écriture fonction des conditions aux limites :

Opérateur interne Second membre modifié

En détaillant les termes des opérateurs : On a le système : On a le système : On veut résoudre la diffusion : Première et dernière ligne de l’opérateur (CL) : P Donc :

On veut résoudre le système rectangulaire : On peut le rendre carré et inversible en remplaçant U1 et UN+1 par : Fbc, RHS modifié Cet opérateur inversible est l’opérateur de diffusion tenant compte des conditions aux limites, appliqué à l’intérieur du domaine. C’est cet opérateur qui doit être résolu, et les conditions aux limites peuvent être imposées par la suite sur les bords.

Portons notre attention sur le second membre modifié : Cette écriture nous sera utile pour la formulation de problèmes multidimensionnels.

Résolution par diagonalisation et inverse partiel L’opérateur de diffusion interne peut être diagonalisé :

Ouvrir le programme Ex_5_3_Lap_Helm_diagonalisation. Analyser ce que fait le programme. Comparer la qualité des solutions obtenues par résolution directe et par diagonalisation avec inverse partiel pour différents types de conditions aux limites.

Compléments

Considérons l’équation de diffusion instationnaire associée aux conditions de frontière homogènes La solution tendra vers 0 si le problème aux valeurs propres a ses racines réelles négatives. On obtient la condition sur les coefficients de la condition aux limites en regardant les modes propres du problème basé sur l’énergie.

Les valeurs propres doivent être négatives. Le théorème de Green permet d’écrire : Ce terme s’annule en DD ou NN. La condition d’ellipticité devient alors : Elle ne concerne que les conditions de type Robin.