Physique mécanique (NYA) Vecteurs

Vecteurs et scalaires La physique reconnaît deux sortes de quantités : Scalaire : Quantité physique ayant une valeur numérique (+ ou -) et des unités. Exemple : T = - 20 °C Vecteur : Quantité physique ayant une grandeur (+), des unités et une direction. Exemple : v = 5 m/s à 200° (degré d’angle pas celcius)

Parenthèses Pourquoi y a-t-il 360° dans un cercle ? Pourquoi est-ce important de bien distinguer les quantités vectorielles et scalaires ?

Représentation graphique des vecteurs (sans système de coordonnées) Quelques vecteurs Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même grandeur et la même direction. On peut les placer n’importe où sur la feuille

Méthode du polygone pour additionner graphiquement des vecteurs Appelée aussi méthode à la queue-leu-leu est appelée la résultante L’addition est commutative

Exemples de commutativité de l’addition :

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Vecteur inverse Est-ce qu’un vecteur peut être négatif ? Vecteur A Vecteur inverse B Le vecteur inverse d'un vecteur A est de même grandeur que le vecteur A et de direction opposée. B= -A

Soustraction graphique de vecteurs Pour soustraire un vecteur C d'un vecteur A, nous ajouterons à la suite du vecteur A le vecteur inverse du vecteur C; le vecteur résultant sera le vecteur différence (A - C). A + (-C)= A-C Graphiquement cela donne ce qui suit :

Multiplication d’un vecteur par un scalaire Modifie la grandeur et peut inverser la direction

Système de coordonnées Vous êtes au centre Bell et vous voyez une belle fille (beau gars) avec vos jumelles de l’autre côté de la glace. Comment allez-vous expliquez à votre voisin (e) où regarder ? Un système de coordonnées doit posséder un point d’origine, des axes orientés et gradués et des règles de repérage. Il y en a beaucoup de variétés (surtout à 3-D) mais nous n’en n’utiliserons que deux (2-D) : cartésien et polaire.

Système de coordonnées cartésien Le croisement des deux axes à leurs origines respectives marque le point appelé l'origine du système d'axes et est souvent désigné par la lettre O. Tout point dans le plan peut être situé par rapport à l'origine du système d'axes en utilisant des projections abaissées à partir de ce point vers chacun des axes (une projection est une droite tracée à partir du point vers l'axe et perpendiculairement à cet axe). La distance mesurée à partir de l'origine de l'axe jusqu'au pied de la projection d'un point est la coordonnée de ce point sur cet axe. P1 = (3 ; 2) P3 = (-5 ; -2)

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Système de coordonnées polaire En coordonnées polaires, un vecteur est repéré par une grandeur et un angle mesuré en tournant dans le sens antihoraire depuis l’axe des x positif.

Suite Corriger l’erreur : l’angle devrait s’écrire thêta () P1 = (3,61 ; 33,7°) P3 = [ 5,39 ; -158,2° ] ou encore [ 5,39 ; 201,8° ].

Conversions Le passage de polaire à cartésien est facile, si l’angle est trigonométrique : Le passage de cartésien à polaire est plus délicat en raison de l’arc tangente.

Travail analytique sur les vecteurs Notation analytique : en coordonnées cartésiennes on écrit plutôt les vecteurs sous la forme : que : Où i, j, k sont les vecteurs unitaires associés aux axes x, y, z.

Addition et soustraction analytique de vecteurs Désolé pour l’austérité de la présentation, mais l’idée est simple, il s’agit de faire les opérations en gardant les composantes bien distinctes et séparées.

Vecteurs unitaires quelconques Exemple 2.5

La relativité galiléenne À basse vitesse les vitesses d’un référentiel à l’autre se comparent par une addition vectorielle simple Cap apparent Cap réel eau rive ver vbe + = vbr

Applications et implications Vous êtes immobile à un feu rouge… Pourquoi prendre un élan avant de botter un ballon ? Addition négative : marche arrière autobus Si on lance quelque chose en l’air à v cte ? Ascenseur qui tombe Si un OVNI va à c, est-ce qu’un observateur au sol verra la lumière des phares à 2c ?

Différence entre la relativité galiléenne et celle d’Einstein (relativité restreinte) Galilée : Toutes les vitesses se combinent sans limite de vitesse. Toutes les vitesses sont relatives au référentiel dans lequel on les mesure. Einstein : Il existe une vitesse qui est la même peu importe le référentiel : la vitesse de la lumière (c). Tout n’est pas relatif.

Un exemple Un bateau qui peut aller à 25 km/h en eau calme maintient un cap apparent à 40º à l’ouest du nord mais que le courant à une grandeur de 10 km/h à 30º au nord de l’est, quel est le cap réel du bateau ? vbe ver vbr 80° 25 15 a

Une course pipée ver ver=0,3 m/s vBr vBe Deux rigolos décident de faire une cours. Partant les deux du même point, le premier (A) nagera vers l’amont sur 100m puis reviendra en aval. L’autre (B) traversera la rivière perpendiculairement à la rive. Si la rivière a une largeur de 100m, que les nageurs peuvent nager à 1 m/s en eau calme et que le courant est de 0,3 m/s, qui va l’emporter ? ver Trajet de B ver=0,3 m/s vBr vBe Trajet de A

Des calculs est gagnant !!! Mais est-ce vrai pour n’importe quel courant ? Vous pouvez en faire la preuve vous-même, ça ne demande que des maths élémentaires. Pourquoi avoir le courant dans le dos ne compense pas le courant de face ? (1/x et )

Vous rêvez de vacances, vous surfez sur le site de Travelocity pour avoir des informations sur les détails d’un aller-retour Montréal-Paris-Montréal. Faute d’argent, vous décidez d’estimer la vitesse du courant jet, ce courant aérien qui s’écoule de l’Amérique vers l’Europe. Vous savez que la distance Montréal-Paris est de 5 500 km et qu’il faut soustraire 6 h à l’heure de Paris pour avoir l’heure de Montréal. Vous supposez également, pour que le problème soit réaliste, que l'avion choisit une route à l'aller qui lui permet d'avoir la partie la plus intense du courant jet dans le dos mais qu'au retour il choisit une route plus au sud qui ne lui en fait subir que la moitié.