Determination of robust solutions for the DARP with variations in transportation time Maxime Chassaing, Christophe Duhamel, Gérard Fleury and Philippe Lacomme LIMOS, Université Blaise Pascal France, Clermont-Ferrand Contact : maxime.chassaing@isima.fr Bonjour Je m’appelle maxime Chassaing et je vais vous présenter les résultats obtenue sur la génération de Solutions robustes pour une problème de transport à la demande (DARP) dans lequel les temps de trajets sont représenté par des variables aléatoires. C’est traveaux ont été réalisé dans le cadre de ma thèse au labo du LI Maître de conférence Emerite MOS sous la direction de CD et PL

Stochastic DARP Problem definition Solution Dial-a-Ride Problem (DARP) Stochastic travel times Solution Associated driver policy Robustness Evaluation in the stochastic context Indirect robustness measure Simulation / Analytic evaluation Resolution methods Iterative: ELS / Bi-criteria: NSGA-2 Conclusion 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference Cette présentation se compose de 4 parties principale La premiérement dans laqule le problème sera presenté Nous définirons ce q’est une solution robuste dans ce contexte Nous parlerons ensuite des méthodes ppour généere des solutions Et nous vous presenterons les resultats avant de conclure

Stochastic problems and vehicle routing problems 29/06/2016 Type 1 Variation of collected volume Stochastic CARP : (Fleury et al., 2008) Type 2 Variation of clients to be served (Heilporn et al., 2011) Type 3 Variation of travel times. breakdowns, route hazards, congestion, traffic flow Review : (Gendreau et al., 2015) Stochastic Shortest Path (DSSPP) (Pattanamekar et al., 2003) VRP with Time Windows (Tas et al., 2013) MIM2016 : 8th IFAC conference Le problème du DARP est un problème de tournée de véhicule de la famille des GPDP , Cette famille est divisé en 3, Et nous nous intéressons au problème de type One to One : c’est-à-dire qu’a chaque sommet de collecte correspond un est un unique sommet de destination Le problème caractèristique de cette famille est le VRPTD auquels s’ajoute des contrainte de denêtre de temps Et comme nous nous interessont au problème de transport de personnes, des contrainte de temps de trajet maximal sont ajouté (contrainte qui represente la qualité du service)

Publications Dial-a-ride Problem (DARP) Instances: (Cordeau and Laporte, 2003) (Ropke and Laporte, 2007) Methods VNS (Parragh and Schmid, 2013) ALNS (Masson et al., 2014) DA (Braekers et al., 2014) Stochastic DARP (dynamic) On client’s demand (Heilporn et al., 2011) On travel time (Xiang et al., 2008) (Schilde et al., 2014) 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference event (crash) Influence area

Dial-a-Ride Problem (DARP) Definition Homogeneous fleet of 𝑴 vehicles (𝑀≥1) : capacity : 𝐶 𝑚𝑎𝑥 1 depot node 𝑵 clients (𝑁≥1) : 𝑅 𝑖  request ( origin 𝐼 +  destination 𝐼 − ) Constraints [𝑒 𝑖 𝑚𝑖𝑛 , 𝑙 𝑖 𝑚𝑎𝑥 ]  time windows : TW Total duration : 𝑻𝑹 𝑻 max Maximal riding time : 𝑻 𝑫 max OBJECTIVE: find a solution to transport each client and minimizing the total distance 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference Pour Résumer, Le DARP ou transport à la demande est un problème dans lequel M véhicule de capacité limité Doivent servir N Clients (point d’origine et un point de destination) Avec un certain nombre de contraintes à respecter : Fenêtres de temps un temps de trajet maximal pour transporter les clients de leurs points d’origine vers leur point de destination TRT un durée total pour réalisé la tournée TD L’objectif dans le cadre de DDARP est uniquement de minimiser la distance parcourue par la flotte de véhicules.

Solution of DARP instances 29/06/2016 solution = set of trips trip is vertex order : depot , 1+, 1-, 2+, 3+, 2-, 3-, depot set of variables for each vertex 𝑨 𝒊 : arrival time on i 𝑩 𝒊 : beginning of service at i 𝑾 𝒊 : waiting time on i 𝑫 𝒊 : departure time from i MIM2016 : 8th IFAC conference A une solutions est maintenant associé à un cout qui correspond au coût pour le problème déterministe et un nouveau critère qui est la robutesse de la solution et qui va correspondre au produit des critères (Cordeau et Laporte, 2003)

Illustration of trip’s variables (specific to the DARP) 29/06/2016 (Cordeau et Laporte, 2003) MIM2016 : 8th IFAC conference The Decision variable is the Bi Deterministic case : 𝑩 𝒊 (known) ⟹ 𝑫 𝒊 (known) ⟹ 𝑨 𝒊+𝟏 (known) Evaluation : (Cordeau et al. 2003), (Firat and Woeginger, 2011)

Illustration of trip’s variables Stochastic travel times (implies choices on policy of drivers) 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference For the stochastic case : 𝑩 𝒊 (known) ⟹ 𝑫 𝒊 (known) ⇏ 𝑨 𝒊+𝟏 (unknown)

Travel time model used Main model: normal distribution T ij ~𝑁( 𝑡 𝑖𝑗 , 𝜎 𝑖𝑗 ) with 𝜎 𝑖𝑗 = 𝑡 𝑖𝑗 /10 example : 𝑡 𝑖𝑗 = 10 min 𝑃 (9 𝑚𝑖𝑛≤ 𝑇 𝑖𝑗 ≤11 𝑚𝑖𝑛) ≅70% Other model: gamma distribution (Tas et al., 2013) shifted gamma distribution 29/06/2016 expected value = 𝑡 𝑖𝑗 Standard deviation = 𝑡 𝑖𝑗 𝛾 Disadvantages : for a given 𝛾 expected value and variance are linked MIM2016 : 8th IFAC conference Dans le darp les temps de trajet entre les clients sont determiniqte, Nous nous interessons ici à une extention de ce problème deans lequel, les temps de trajts sont modélisé par ce problème Nous avons fait le choix de modélisé (choix justifiable) cette variation par une loi normal centré sur la valeur du temps de trajet dans le problème déterministe et avec un variance égale à 10 % de la valeur deterministe. C’est-à-dire que pour un temps de trajet de 10

Consequences of stochastic travel time 29/06/2016 Using the expected values 𝑨 𝒊 ; 𝑩 𝒊 ; 𝑾 𝒊 ; 𝑫 𝒊 can be computed But for realizations: 𝝎 and 𝝎′ travel time became 𝐓 𝐢𝐣 (𝝎) and 𝐓 𝐢𝐣 ( 𝝎 ′ ) So, become random values: 𝑨 𝒊 (𝝎) ; 𝑩 𝒊 (𝝎) ; 𝑾 𝒊 (𝝎) ; 𝑫 𝒊 (𝝎) MIM2016 : 8th IFAC conference Meme si il n’est pas detaillé dans cette présentation, ce compotement influenne la robustesse aussi que les méthodes comme l’evaluation*. Et doit être pris en compte dans la phase d’optimisation .

Driver’s policies 29/06/2016 Because 𝐴 𝑖 𝜔 ≠ 𝐴 𝑖 the driver have different choices: 𝑖𝑓 𝐴 𝑖 𝜔 > 𝐴 𝑖 then  ??? 𝑖𝑓 𝐴 𝑖 𝜔 < 𝐴 𝑖 then ??? Different driver’s policies can be defined: « if the driver is early then he waits until 𝐵 𝑖  » « the driver has to respect the waiting time 𝑊 𝑖  » … MIM2016 : 8th IFAC conference Meme si il n’est pas detaillé dans cette présentation, ce compotement influenne la robustesse aussi que les méthodes comme l’evaluation*. Et doit être pris en compte dans la phase d’optimisation .

New criterion : robustness 29/06/2016 A solution of DARP order of vertices Defined dates 𝑨 𝒊, 𝑩 𝒊 , 𝑾 𝒊 , 𝑫 𝒊 Robustness 𝑷(𝑺) : probability that the solution satisfies each constraint 𝑃(𝑆) = 𝑖 𝑃 𝑡 𝑖 with 𝑃 𝑡 𝑖 probability that a trip is valid Driver’s policy : meet 𝑩 𝒊 , 𝐞𝐧𝐬𝐮𝐫𝐞 𝑾 𝒊 , … MIM2016 : 8th IFAC conference A une solutions est maintenant associé à un cout qui correspond au coût pour le problème déterministe et un nouveau critère qui est la robutesse de la solution et qui va correspondre au produit des critères

PROPOSITION 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference A une solutions est maintenant associé à un cout qui correspond au coût pour le problème déterministe et un nouveau critère qui est la robutesse de la solution et qui va correspondre au produit des critères

1- Evaluation for the SDARP Evaluation for the DARP is, for a fixed order of clients, compute Bi on vertices which respect constraints This schedule affects the robustness 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference Plusieur dates sont possible Pas d’importance pour le DARP deterministe mais pour le SDARP , Ces dates vont influance

Definition of valid constraint Deterministic case Constraints : 𝐵 𝑖 ≤ 𝐶𝑠𝑡 𝐵 𝑖 ≥ 𝐶𝑠𝑡 𝐵 𝑖 − 𝐵 𝑗 ≤ 𝐶𝑠𝑡 Stochastic case 𝐵 𝑖 (𝜔) depends on realizations of travel time - for some 𝜔 the constraint is valid - for some 𝜔 ′ the constraint is not valid PROPOSITION : In the model a constraint is consider valid to the order ρ if: 𝑷{ 𝐵 𝑖 (𝜔)≤𝐶𝑠𝑡 } ≥ ρ ⇔ 𝐵 𝑖 +𝑐 (ρ)𝜎 𝑖 ≤𝐶𝑠𝑡 𝑷{ 𝐵 𝑖 𝜔 ≥𝐶𝑠𝑡 } ≥ ρ ⇔ 𝐵 𝑖 +𝑐 (ρ)𝜎 𝑖 ≥𝐶𝑠𝑡 𝑷{ 𝐵 𝑖 (𝜔)− 𝐵 𝑗 (𝜔)≥𝐶𝑠𝑡 } ≥ ρ ⇔ 𝐵 𝑖 − 𝐵 𝑗 +𝑐 ρ (𝜎 𝑖 + 𝜎 𝑗 )≤𝐶𝑠𝑡 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference La réalisation d’un vaiable aléatoir qui modélise une valeur de la date

PROPOSITION: compute 𝐵 𝑖 for a fixed ρ Using the definition of valid constraint to the order ρ Evaluate a trip is possible if is known : - the driver’s policy - the ρ value 29/06/2016 evaluation proposed by (Firat and Woeginger , 2011) using the new constraints MIM2016 : 8th IFAC conference FIRAT !!! Time Windows min constraints Time Windows max constraints Riding time max and total duration max constraints

PROPOSITION: to improve the solution robustness 29/06/2016 Maximize a criterion of robustness Objective : For each trip find the maximal value of ρ possible: ρ max 𝑡 Dichotomy to find ρ max 𝑡 using ρ max 𝑡 of each trip a criterion associated to the robustness of a solution have been created: ρ* = 𝑡 ρ max 𝑡 ρ* will by used in the metaheuristic to replace 𝑃(𝑆) (Warning) ρ* ≠ 𝑃(𝑆) MIM2016 : 8th IFAC conference L’o

2 - Robustness estimator 29/06/2016 For a driver policy and affected dates on vertices The robustness of a solution can be compute : analytically  𝑷(𝒔) by simulation  𝑭 𝒔,𝒏 an estimator of 𝑃(𝑆) with 𝑛 number of replications MIM2016 : 8th IFAC conference

Comparison between ρ* and 𝐹 𝑠,𝑛 On the 20 instances proposed by (Cordeau et Laporte, 2003) BKS (Best known solution): (Braekers et al., 2014) (Parragh et Schmid, 2013) Results for normal distribution H1 : driver have to met Bi 𝑩 𝒊 theoretical beginning of service 29/06/2016 value MIM2016 : 8th IFAC conference instances

Generate robust solutions 29/06/2016 Two methods : 1 – mono-criterion with 1 𝑠𝑡 : 𝑃(𝑆) (solution robustness)  ρ*(criteria associated) 2 𝑛𝑑 : 𝐶(𝑆) (solution cost)  Evolutionary local search (ELS) (Wolf and Merz, 2007) 2 – multi-criteria : a solution  label (ρ∗(𝑆),𝐶(𝑆))  NSGA-II algorithm MIM2016 : 8th IFAC conference

Results BKS vs BFS BKS: Best Known Solution for the DARP determinist (Braekers et al., 2014) (Parragh et Schmid, 2013) (Cordeau et Laporte, 2003) BFS: Best Found Solution obtain with the ELS 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference

Results with NSGA-2 ( Extreme solutions of the front ) 29/06/2016 column with avg. of 5 runs : 𝑛𝑏 ; 𝑔𝑎𝑝 ; 𝐹 𝐻1 (𝑆,𝑛) column with best results of 5 runs : 𝑔𝑎𝑝* ; 𝐹 𝐻1 (𝑆,𝑛) * MIM2016 : 8th IFAC conference

Conclusion Proposition Methods Results obtained 1 - a robustness criterion (usable in a metaheuristic) 2 - an evaluation method  to obtain robust schedules (according to a driver’s policy) Methods General framework to optimize the robustness Results obtained For classic literature DARP instances. 1 - the BKSs for the determinist DARP are not robust 2 - the solutions we computed provide a « reasonable » cost Detailed results are available online : http://fc.isima.fr/~chassain/SDARP/SDARP.php 29/06/2016 MIM2016 : 8th IFAC conference