Révision des systèmes LIT, convolution et série de Fourier ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunication Révision des systèmes LIT, convolution et série de Fourier

Introduction Le diagramme bloc d’un système de télécommunication est démontré ci-dessous Source Émetteur Canal Destination Récepteur Présentation 1

Éléments d’un système de télécommunication Source Produit un message d’information Destination Récipiendaire qui va utiliser l’information produite. Canal Le lien physique qui portera l’information de la source à la destination. Présentation 1

Éléments d’un système de télécommunication Émetteur L’émetteur transforme le message de sa forme actuel à une forme qui permettra sa transmission sur le canal. Récepteur Le récepteur fait l’opération inverse de l’émetteur et, si possible, du canal. Erreur quadratique Taux d’erreurs. Présentation 1

But de l’ingénieur Concevoir des émetteurs et des récepteurs qui ne sont pas dispendieux à produire minimisent la largeur de bande requise maximisent le transfert d’information (la similarité du signal reçu au signal transmis) utilisent efficacement la puissance Parfois les buts sont contraire aux autres Par exemple, on améliore le transfert d’information en augmentant la puissance du signal transmis Il faut parfois échanger des qualités désirées contre des autres Présentation 1

Signaux et systèmes linéaires Plusieurs systèmes dans la nature sont linéaires de nature. Plusieurs exemples de canaux de communication peuvent être modélisés comme linéaires. Une modélisation linéaire permet de simplifier l’analyse d’un tel système. Présentation 1

Domaine temporel Les signaux de communication sont généralement représentés dans le domaine temporel. Un exemple d’un signal voix est représenté dans la Figure 1.1. Présentation 1

Opérations de base sur les signaux Décalage dans le temps : Le signal 𝑥 𝑡− 𝑡 0 représente une version décalée de 𝑥 𝑡 . Réflexion dans le temps (miroir) : Le signal 𝑥 −𝑡 représente une version miroir de 𝑥 𝑡 . Mise à l’échelle : Le signal 𝑥 𝑎𝑡 représente une version mise à l’échelle de 𝑥 𝑡 . Présentation 1

Présentation 1

Classification des signaux Signaux à temps continu et signaux à temps discret Un signal à temps continu 𝑥 𝑡 est un signal dont la variable indépendante (𝑡) prend des valeurs réelles. Un signal à temps discret 𝑥 𝑛 est un signal dont la variable indépendante (𝑛) prend des valeurs entières. Présentation 1

Classification des signaux Signaux pairs et impairs Un signal 𝑥 𝑡 est pair s’il y a une symétrie par rapport à l’axe vertical (𝑥 −𝑡 =𝑥 𝑡 , ∀𝑡 ). Il est impair s’il y a une antisymétrie par rapport à l’origine (𝑥 −𝑡 =−𝑥 𝑡 , ∀𝑡 ). Présentation 1

Classification des signaux Signal à valeur complexe hermitienne Un signal à valeur complexe est hermitienne si la partie réelle est paire et la partie imaginaire est impaire (𝑥 −𝑡 +𝑗𝑦 −𝑡 =𝑥 𝑡 −𝑗𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 +𝑗𝑦 𝑡 ∗ ), ∗ représente le conjugué. Ceci revient également à dire que l’amplitude est paire et la phase est impaire. Présentation 1

Classification des signaux Signaux périodiques et non périodiques Un signal périodique est un signal qui se répète dans le temps. Dans le cas d’un signal périodique à temps continu de période 𝑇 0 , 𝑥 𝑡+ 𝑇 0 =𝑥 𝑡 , ∀𝑡 avec 𝑇 0 un nombre réel strictement positif. Pour un signal périodique à temps discret de période 𝑁 0 , 𝑥 𝑛+ 𝑁 0 =𝑥 𝑛 , ∀𝑛 avec 𝑁 0 un nombre entier strictement positif. Présentation 1

Signaux élémentaires importants L’impulsion 1 t Présentation 1

Ci-dessous quelques propriétés de l’impulsion de Dirac : 𝑥 𝑡 δ 𝑡− 𝑡 0 =𝑥 𝑡 0 δ 𝑡− 𝑡 0 Pour toute fonction 𝜙 𝑡 continue à 𝑡 0 , −∞ ∞ 𝜙 𝑡 δ 𝑡− 𝑡 0 𝑑𝑡 =𝜙 𝑡 0 Le produit de convolution : 𝑥 𝑡 ∗δ 𝑡 =𝑥 𝑡 et 𝑥 𝑡 ∗δ 𝑡− 𝑡 0 =𝑥 𝑡− 𝑡 0 il existe un lien entre l’impulsion de Dirac et la fonction échelon : δ 𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑢 𝑡 ou encore 𝑢 𝑡 = −∞ 𝑡 δ 𝜏 𝑑𝜏 Le produit de convolution : 𝑥 𝑡 ∗𝑢 𝑡 = −∞ 𝑡 𝑥 𝜏 𝑑𝜏 Quelques résultats relatifs aux dérivées successives de la fonction de Dirac : −∞ ∞ δ 𝑛 𝑡− 𝑡 0 𝜙 𝑡 𝑑𝑡 = −1 𝑛 𝑑 𝑛 𝑑𝑡 𝑛 𝜙 𝑡 𝑡= 𝑡 0 𝑥 𝑡 ∗ δ 𝑛 𝑡 = 𝑥 𝑛 𝑡 Présentation 1

Signaux élémentaires importants L’impulsion rectangulaire 1 -0.5 0.5 t Présentation 1

Signaux élémentaires importants L’impulsion triangulaire 1 -1 1 t Présentation 1

Signaux élémentaires importants Sinus cardinal (sinc) Présentation 1

Signaux élémentaires importants Sinc carré Présentation 1

Signaux élémentaires importants Fonction échelon La version à temps continu de la fonction échelon est donnée par : 𝑢 𝑡 = 1, 𝑡>0 0, 𝑡<0 La version à temps discret de la fonction échelon est donnée par : 𝑢 𝑛 = 1, 𝑛≥0 0, 𝑛<0 Présentation 1

Signaux élémentaires importants Fonction signe ou signal signum Ce signal est défini par : sgn 𝑡 = 1, 𝑡>0 −1, 𝑡<0 0, 𝑡=0 Le signal signum peut être obtenu en faisant la limite du signal : Présentation 1

𝑥 𝑛 𝑡 = 𝑒 − 𝑡 𝑛 , 𝑡>0 − 𝑒 𝑡 𝑛 , 𝑡<0 0, 𝑡=0   𝑥 𝑛 𝑡 = 𝑒 − 𝑡 𝑛 , 𝑡>0 − 𝑒 𝑡 𝑛 , 𝑡<0 0, 𝑡=0 lorsque 𝑛→∞. Cette définition est utilisée pour trouver la transformée de Fourier du signal signum. Présentation 1

Propriétés des systèmes Un système est une boite noire qui admet comme entrée un signal 𝑥 et produit une sortie 𝑦=𝐻 𝑥 x(t) H(•) y(t) = H(x(t)) Présentation 1

Linéarité Un système est linéaire si la propriété de superposition est satisfaite Supposons le système produit la sortie y1(t) pour l’entrée x1(t) et la sortie y2(t) pour l’entrée x2(t). Alors y1(t) = H(x1(t)) et y2(t) = H(x2(t)) le système H est linéaire si pour x3(t) = ax1(t)+bx2(t), y3(t)=H(x3(t)) = aH(x1(t))+bH(x2(t)) = ay1(t)+by2(t). Présentation 1

Exemple 1 y(t) = x2(t). Pour l’entrée x1(t), la sortie est y1(t) = x12(t) et pour l’entrée x2(t), la sortie est y2(t) = x22(t). Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = x32(t) = (ax1(t) + bx2(t))2 = a2x12(t) + 2abx1(t)x2(t) + b2x22(t). Si le système est est linéaire, y3(t) doit être ay1(t) + by2(t) = ax12(t) + bx22(t) ≠ y3(t) ; alors ce système n’est pas linéaire. Présentation 1

Exemple 2 y(t) = tx(t). Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = t(ax1(t) + bx2(t)) = a(tx1(t)) + b(tx2(t)) = ay1(t) + by2(t). Alors ce système est linéaire. Présentation 1

Système invariant en temps Un système est invariant en temps si un délai à l’entrée ne cause que le même délai à la sortie.. Si y1(t) est la sortie qui correspond à l’entrée x1(t) et x2(t) = x1(t-t) est l’entrée qui produit une sortie y2(t). Le système est invariant en temps si y2(t) = y1(t-t). Présentation 1

Exemples y(t) = tx(t)? y(t) = 3+4x2(t)? Présentation 1

Systèmes LIT Un système est LIT s’il est linéaire et invariant en temps Un système LIT est décrit par sa réponse impulsionnelle. Réponse impulsionnelle , h(t), est la sortie qui correspond à l’entrée x(t) = d(t). Propriétés du signal d(t). . Présentation 1

La sortie d’un système LIT Si x(t) est l’entrée d’un système LIT, la sortie correspondante est y(t) = x(t)*h(t), où * indique la convolution. Présentation 1

Propriétés x(t)*(y1(t) + y2(t)) = x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t). Présentation 1

Convolution avec l’impulsion Présentation 1

Exemple y(t) = P(t) *P(t) Utilisez des dessins afin de trouver les limites d’intégration. Présentation 1

Causalité Un système est causal si la sortie ne dépend pas des valeurs futures de l’entrée. Pour un système LIT Quand l < 0, y(t) depend de x(t-l)=x(t+|l|). Pour que le système LIT soit causal il faut que h(l)=0 quand l <0. Présentation 1

Stabilité Un système est stable si, pour n’importe quelle entrée bornée, la sortie est aussi bornée. Pour qu’un système LIT soit stable, il faut que Présentation 1

Domaine fréquentiel Permet généralement d’avoir un meilleur aperçu sur le comportement d’un système LTI Soit un système LTI avec une réponse impulsionnelle ℎ 𝑡 . La réponse de ce système à un signal sinusoïdal exponentiel à valeur complexe 𝑥 𝑡 =𝐴 𝑒 𝑗 2𝜋 𝑓 0 𝑡+𝜃 , produit la sortie : 𝑦 𝑡 =x 𝑡 ∗ℎ 𝑡 = −∞ ∞ ℎ 𝜏 𝑥 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 = −∞ ∞ ℎ 𝜏 𝐴 𝑒 𝑗 2𝜋 𝑓 0 𝑡−𝜏 +𝜃 𝑑𝜏 =𝐴 𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗 2𝜋 𝑓 0 𝑡 −∞ ∞ ℎ 𝜏 𝑒 −𝑗2𝜋 𝑓 0 𝜏 𝑑𝜏 =𝐴 𝑒 𝑗𝜃 𝐻 𝑓 0 𝑒 𝑗 2𝜋 𝑓 0 𝑡 Présentation 1

Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel: Série de Fourier généralisée Supposons que nous ayons un ensemble de fonctions {fn(t)}n=0,1,2,…,N où Si cn= 1 pour n’importe quelle valeur de n, on dit que c’est un ensemble de fonctions orthonormales. Présentation 1

Série de Fourier généralisée Prenons une fonction x(t). On veut approximer la fonction x(t) sur l’intervalle (to, to + T) par la fonction xa(t) qui est donnée par : L’erreur quadratique moyenne (mean square error – MSE) est donnée par :

Série de Fourier généralisée La meilleure approximation, xa(t), est la fonction qui minimise l’erreur quadratique moyenne.

Série de Fourier généralisée le terme est 0 quand n ≠ i et c’est |Xn|2cn quand n = i. Soit

Série de Fourier généralisée eN est minimisée quand Xn = (1/cn)yn.

Série de Fourier généralisée Alors la meilleure approximation est Où Et

Exemple 2 Le signal x(t) = t2. Nous voulons trouver la meilleure approximation pour x(t) sur l’intervalle 0 ≤ t ≤ 1 avec les fonctions orthogonales démontrées ci-dessous. Trouvez et pour N = 2 et 3.

Exemple 2: Solution

Exemple 2: Solution eN diminue en augmentant N.

Introduction à la série de Fourier exponentielle complexe Il existe des ensembles de fonctions orthogonales {fn(t)}-∞ ≤ n ≤ ∞, pour lequel l’approximation s’approche au signal originale sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T.

La fonction exponentielle complexe n est un entier La fonction est périodique avec période Tp. Donc Tp = m/nfo et la période fondamentale, Tf, est la plus petite valeur positive de Tp. Donc la période fondamentale est Tf = 1/|n|fo.

Orthogonalité et la constante cn Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to+T, pour fo = 1/T. = Pour m≠n Pour m=n

La série de Fourier exponentielle complexe La série de Fourier exponentielle complexe du signal x(t) sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est  où

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques Considérons le signal sur l’intervalle -∞ ≤ t ≤ ∞. Nous savons que les fonctions exponentielles complexes sont périodiques. La période fondamentale d’une fonction exponentielle complexe est T/|n|. La sommation des fonctions périodiques est aussi périodique s’il existe un plus petit commun multiple des périodes des fonctions individuelles. Dans ce cas, le plus petit commun multiple des périodes est T.

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 2 est périodique avec période T = 1/fo. La fréquence fondamentale est l’inverse de la période fondamentale, donc fo est la fréquence fondamentale. Donc si x(t) est aussi périodique avec période T, =x(t) pour -∞ < t < ∞ Alors un signal périodique, x(t), avec période T a une série de Fourier x(t) =

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 3 Nous pouvons déterminer les coefficients de Fourier en faisant l’intégral sur n’importe quelle période de x(t)

Exemple Trouvez la série de Fourier exponentielle complexe du signal périodique x(t)

Solution Il faut déterminer La période de x(t) ainsi que fo. Les coefficients Xn La série de Fourier

Solution 2 Dans notre exemple, la période est 0.5, alors fo = 2. L’ensemble de fonctions est ej4pnt. Alors

Solution 3 Pour n = 0, nous avons X0 = 0/0.

Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe Supposons que le signal x(t) est un signal réel. C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn* est donné par :