Détection et isolation de défauts dans les procédés industriels Génération de résidus

Génération de résidus - Méthodes

Génération de résidus - Modèles

Modèle déterministe (1) Représentation en variables d’état Comportement au voisinage d’un état d’équilibre Introduire écarts: …

Modèle déterministe (2) Système linéaire permanent Défauts additifs Défaut de capteur: et Défaut d’actionneur: et Défauts multiplicatifs

Exemple: conduite d’un navire (1) Vitesse de rotation:

Exemple: conduite d’un navire (2)

Exemple: conduite d’un navire (3) Equations d’état Relation à l’équilibre entre angle du gouvernail et vitesse de rotation

Exemple: conduite d’un navire (4) Modèle linéarisé pour faible vitesse de rotation

Discrétisation du modèle (1) Contexte de la régulation numérique Système réglé Régulateur CNA CAN

Discrétisation du modèle (2) CNA=bloqueur d’ordre zéro Relations entre les grandeurs aux instants d’échantillonnage Choisir t=(k+1)T; ; pour Hypothèse , pour

Discrétisation du modèle (3) Soit Dans la suite omission de l’indice T dans les matrices. On distingue système en temps continu et système en temps discret par le contexte

Génération de résidus – Conception de relations de parité (1) Calcul de la sortie entre l’instant k-s et l’instant k avec

Génération de résidus – Conception de relations de parité (2) Pour s suffisamment grand ( si suffisamment petit), il existe tel que Multiplication à gauche de par donne = Relation de parité et

Génération de résidus – Conception de relations de parité (3) Vecteur et espace de parité base du noyau à gauche de Vecteur de parité Espace de parité: espace engendré par les vecteurs de parité (cf infinité de bases)

Génération de résidus – Conception de relations de parité (4) Condition nécessaire et suffisante pour que le défaut i (se manifestant par composante i non nulle dans f) soit détectable: (rang normal)

Génération de résidus – Conception de relations de parité – Isolation (1) Détermination du défaut qui s’est produit Résidus structurés Ensemble de codage Matrice d’incidence 1

Génération de résidus – Conception de relations de parité – Isolation (2) Méthode de conception Faisabilité : utiliser CNS précédente

Génération de résidus – Conception de relations de parité – Isolation (3) Ensembles de codage assurant isolation forte: éviter que le manque de réaction d’un résidu ne provoque une fausse isolation code dégradé code normal 1 Isolation faible isolation forte

Génération de résidus – Mise en oeuvre Soustraire les valeurs nominales aux grandeurs mesurées Soit valeurs fournies par modèle non-linéaire Soit valeurs obtenues par moyenne glissante (attention dynamique du filtre plus lente que la plus petite dérive que l’on souhaite déceler)

Génération de résidus – Effet des bruits (1) Modèle en variables d’état

Génération de résidus – Effet des bruits (2) Relation entrées – sorties sur un horizon s Résidu

Génération de résidus – Effet des bruits (3)

Génération de résidus – Effet des bruits (4) « Blanchiment » du résidu Besoin pour compatibilité théorique avec les algorithmes classiques de détection de changements (résidu blanc); Peut induire en pratique une perte de sensibilité au défaut Distribution du résidu filtré si les suites aléatoires sont de distribution gaussienne - En l’absence de défaut: L (r(k))=N (0,I) - En présence de défaut L (r(k))=N ( où r

Génération de résidus – Isolation et bruits (1) Approche alternative pour l’isolation intérêt: approche systématique Résidu vectoriel Covariance des bruits

Génération de résidus – Isolation et bruits (2) Défaut caractérisé par composante de f(k) constante et non nulle: Espérance mathématique du résidu

Génération de résidus – Isolation et bruits (3) Variance du vecteur résidu Résidu transformé N ( en présence du défaut i moyenne nulle en l’absence de défaut

Génération de résidus – Isolation et bruits (4) Test d’hypothèse Test basé sur table donnant, pour un taux de fausses alarmes fixé , un seuil h tel que

Génération de résidus – Isolation et bruits (5) défaut i le plus probable si mesure de l’angle:

Génération de résidus – Isolation et bruits (6) Analyse hors ligne de l’algorithme Matrice de diagnostic Ajustement de l’horizon s

Génération de résidus – Capteurs redondants Modèle discret

Analyse structurelle – Motivation Limitations de l’approche analytique systématique par calcul symbolique pour les système non linéaires - non linéarité polynomiale - expressions lourdes - impossibilité de traitement pour certains modèles même d’ordre peu élevé (5 à 10) (taille mémoire) Analyse structurelle plus « transparente » et permet traitement non linéarités plus générales (et même tables)

Analyse structurelle – modèles non linéaires Modèle algébro-différentiel non linéaire Introduction de comme variables  contraintes supplémentaires

Analyse structurelle – Graphe bipartite(1) Ensemble des variables: Ensemble des contraintes (algébriques) Graphe bipartite Sommets : éléments de Z et C Arcs : il existe un arc entre le sommet et le sommet si et seulement si la variable apparaît dans la contrainte .

Analyse structurelle – Graphe bipartite(2) Schéma du système « réservoir »

Analyse structurelle – Graphe bipartite(3) Exemple du système « réservoir » Réservoir : Vanne : Tuyau de sortie: Mesure de niveau: Loi de réglage:

Analyse structurelle – Graphe bipartite(4) Matrice d’incidence Contraintes Entrées/ Sorties Variables internes u(t) y(t) h(t) 1 2 3 4 5

Analyse structurelle – Graphe bipartite(5) Graphe bipartite pour le réservoir sans régulateur

Analyse structurelle – Graphe bipartite(6) Notion de couplage Sous-ensemble d’arcs tel que aucun arc ne possède un ou plusieurs nœuds en commun arcs couplés représentés en gras dans le graphe bipartite et par un 1 entouré d’un cercle dans la matrice d’incidence

Analyse structurelle – Graphe bipartite(7) Matrice d’incidence pour le 2e couplage Contraintes Entrées/ Sorties Variables internes u(t) y(t) h(t) 1 2 3 4 5 6

Analyse structurelle – Graphe bipartite(7) Couplage maximal M tel que aucun arc ne peut être ajouté sans violer la définition du couplage Couplage complet par rapport à C: nombre d’arcs de M = nombre d’éléments de C Couplage complet par rapport à Z: nombre d’arcs de M = nombre d’éléments de Z

Analyse structurelle – Graphe bipartite(8) Graphe orienté associé à une contrainte - Contrainte couplée arc orienté de la variable non couplée (entrée) vers la contrainte et de la contrainte vers la variable couplée (sortie) - Contrainte non couplée Considérer toutes les variables comme des entrées

Analyse structurelle – Graphe bipartite(9) Causalité Orientation  calcul sortie à partir entrées supposées connues Contraintes algébrique : hypothèse 1: Une contrainte algébrique c définit une surface de dimension dans l’espace des variables Q(c).

Analyse structurelle – Graphe bipartite(10) Hypothèse  Au moins une variable peut être couplée dans une contrainte

Analyse structurelle – Graphe bipartite(11) Contraintes différentielles -Causalité différentielle: -Causalité intégrale: -

Analyse structurelle – Graphe bipartite(12) Exemple du « réservoir »; couplage inutilisable pour le calcul des variables inconnues Contraintes Entrées/ Sorties Variables internes u(t) y(t) h(t) 1 2 3 4 5 6

Analyse structurelle – Graphe bipartite(13) Imposition de la causalité différentielle Contraintes Entrées/ Sorties Variables internes u(t) y(t) h(t) 1 2 3 4 5 6 x

Analyse structurelle – Graphe bipartite(14) Boucles - Boucles dans un graphe  traiter l’ensemble des contraintes simultanément pour extraire variables inconnues à partir de variables connues - Exemple: 2 contraintes algébriques à 2 inconnues Contraintes 1 2

Analyse structurelle – Graphe bipartite(15) Boucle représentée par un seul noeud c 1 2

Analyse structurelle – Couplage(1) Algorithme de propagation des contraintes ou de classement (ranking algorithm) Donnée: Matrice d’incidence ou graphe structuré Etapes: - 1: marquer les variables connues; i=0 - 2: Déterminer toutes les contraintes renfermant exactement une variable non marquée; associer la classe (le rang) i à ces contraintes, marquer ces contraintes et les variables correspondantes

Analyse structurelle – Couplage(2) - 3: S’il existe des contraintes non marquées dont toutes les variables sont marquées, leur associer le rang i, les marquer et les connecter avec la pseudo-variable ZERO - 4: Assigner i:=i+1 - 5: S’il existe des variables non marquées reprendre à l’étape 2 Résultat : contraintes ordonnées

Analyse structurelle – Couplage(3) rang = nombre de pas requis pour calculer une variable inconnue à partir des variables connues algorithme n’engendre que des graphes sans boucle  peut ne pas trouver un couplage complet même si il existe

Analyse structurelle – Couplage(4) Exemple du « réservoir » 1: variables connues: u et y i=0 2: 3: néant 4: i=1 3: rang de ;

Analyse structurelle – Couplage(5) rang h u y 1 2 3 4 5 6

Analyse structurelle- Relations de parité (1) Détermination d’un couplage maximal pour le graphe structurel, en assurant la causalité différentielle Relations de parité = contraintes ne faisant pas partie du couplage dans lesquelles toutes les inconnues ont été couplées

Analyse structurelle- Relations de parité (2) h u y ZERO rang 1 2 3 4 6 x Graphe bipartite résultant

Analyse structurelle- Relations de parité (3) Elimination successive des inconnues entre  relation de parité