Economie des ressources renouvelables Sébastien Rouillon 2011 (Première version, 2008)

1. Ressources halieutiques On étudie l’exploitation d'une espèce de poissons sur une zone de pêche. On note, pour chaque date t : x(t) = le stock de poissons à la date t. On le mesure en unités de biomasse. Biomasse : Masse de matière vivante présente à la surface du globe (ou sur une aire limitée).

1. Ressources halieutiques Sa variation pendant la période t, notée Δx(t), dépend : des caractéristiques de son milieu naturel (nourriture, prédateurs, etc.) ; de ses caractéristiques biologiques (natalité, mortalité, etc.) ; du prélèvement par le secteur de la pêche. Remarque : Δx(t) est l’accroissement de x, pendant la période t, dont la durée est Δt. Donc : - dans un modèle discret (Δt = 1), on a : Δx(t) = x(t+1) – x(t) ; - dans un modèle continu (Δt  0), on a : x’(t) = limΔt0 Δx(t)/Δt = limΔt0 [(x(t+Δt) – x(t))/Δt].

1. Ressources halieutiques Le plus souvent, on omettra la date t, pour simplifier les notations. Alors, on écrira : x = le stock de poissons à cette date, Δx = sa var° pendant cette période, sans mentionner la date t.

1.1. Caractéristiques biologiques Si l’espèce de poissons étudiée n’est pas pêchée, son évolution dépend des facteurs biologiques seulement. Alors, la variation Δx du stock de poissons, pendant la période considérée, est une fonction de l’état x du stock en début de période. En réalité, la variation Δx au cours de la période dépend de l’état x de la ressource et de l’état de l’environnement en début de période. On suppose implicitement ici que l’environnement est stationnaire.

1.1. Caractéristiques biologiques On appelle fonction d’accroissement naturel de la population de poissons, la fonction F(.), qui associe à tout stock de poissons x, en début d’une période, son accroissement Δx, pendant cette période.

1.2. Loi logistique On dit que l’accroissement naturel de la population de poissons suit une loi logistique si : F(x) = r x (1 – x/K), où : K = la capacité de charge du milieu (K > 0) ; r = le taux de croissance intrinsèque de la population de poissons (r > 0).

1.2. La loi logistique La courbe représen-tant la loi logistique est une parabole véri-fiant : F(0) = F(K) = 0 ; F’(0) = r ; F’(K/2) = 0 ; F’’(x) = - 2 r/K < 0. F(x) r K/2 K x

1.3. Analyse des systèmes dynamiques On définit un système dynamique (S) d’une variable x, en donnant : une loi d’évolution de la variable x : Δx = F(x), une condition initiale : x(0) = x0.

1.3. Analyse des systèmes dynamiques Une solution d’un système dynamique (S) est une fonction x(t), définie pour toute date t, qui vérifie : la loi d’évolution (1), à toute date t, la condition initiale (2). La représentation graphique de la solution x(t) définit une trajectoire temporelle de la variable x.

1.3. Analyse des systèmes dynamiques Supposons qu’il existe x* tel que F(x*) = 0. Alors, la fonction constante x(t) = x* est une solution stationnaire de (S), pour la condition initiale x0 = x*. En effet, on a bien : Δx(t) = 0, pour tout t ; F(x(t)) = F(x*) = 0, pour tout t ; x(0) = x* = x0.

1.3. Analyse des systèmes dynamiques On appelle tout état x* de la variable x, tel que F(x*) = 0, un équilibre du système dynamique. En effet, en vertu du résultat précédent, si le système dynamique rejoint cet état à une date t quelconque, il y reste pour toute la suite.

1.3. Analyse des systèmes dynamiques On dit qu’un équilibre x* est : localement stable si, pour tout état initial x0 proche de x*, la solution x(t) du système dynamique tend vers x*. globalement stable si, pour tout état initial x0, la solution x(t) du système dynamique tend vers x*. Dans les autres cas, il est dit instable.

1.4. Dynamique d’une population de poissons Les équilibres du systèmes sont x = 0 et x = K. (En effet, on a F(0) = F(K) = 0.) Si 0 < x < K, alors Δx = F(x) > 0. Si x > K, alors Δx = F(x) < 0. On en déduit que x = 0 est un équilibre instable et x = K est localement stable. F(x) r K x

1.5. Secteur de la pêche Le prélèvement de poissons au cours d’une période par le secteur de la pêche dépend de : la technique utilisée (lignes, filets, etc.) ; l’effort de pêche (flotte, main-d’œuvre, etc.) ; la population de poissons et son état.

1.5. Secteur de la pêche Notons h le prélèvement au cours d’une période. On pose : h = q E x, où : q = un coef. de prenabilité (q > 0) ; E = l’effort de pêche ; x = le stock de poissons.

1.5. Secteur de la pêche Avec cette spécification, on rend compte du fait que le prélèvement au cours d’une période dépend de la technique et de l’espèce (q), est croissant avec les moyens matériels et humains mis en œuvre (E) et avec l’état de la population de poissons (x).

1.5. Secteur de la pêche Notons : p = le prix du poisson, c = le coût unitaire de l’effort E, le revenu net du secteur de la pêche est : RN = p h – c E. C’est la différence entre la recette totale, RT = p h, et le coût total, CT = c E.

1.6. Régime de libre-accès On suppose ici que tout individu a le droit accéder à la zone de pêche, pour y prélever toute quantité qu’il désire. On définit ainsi un régime de libre-accès. Cette hypothèse prévaut pour la pêche dans les eaux internationales (au-delà de la Zone Economique Exclusive).

1.6. Régime de libre-accès

1.6. Régime de libre-accès Le régime de libre-accès a des conséquences économiques fortes. En effet, dans ces conditions, des pêcheurs exploiteront la zone de pêche, tant qu’ils pourront en tirer un revenu plus important que celui qu’ils auraient, s’ils employaient leur main-d’œuvre et leur capital dans un autre secteur de l’économie.

1.6. Régime de libre-accès Formellement, ceci implique que l’effort de pêche augmente (resp., diminue) tant que : RN = (p h – c E) > w E, (resp. <), où w serait le taux de rémunération des moyens humains et matériels E, employés dans un autre secteur de l’économie. On supposera ci-dessous que w = 0, pour simplifier. Remarque : l’hypothèse w = 0 signifie qu’il n’existe pas de profit pur dans l’économie.

1.6. Régime de libre-accès Formellement, on est conduits à analyser le système dynamique (S) suivant : ΔE = a RN, E(0) = E0, Δx = F(x) – h, x(0) = x0, où a est un paramètre positif. Le paramètre a détermine l’inertie du secteur de la pêche. Si a = 0, le secteur de la pêche ne s’ajuste pas aux variations de la rentabilité de la zone de pêche. Si a est très grand, toute variation de la rentabilité de la zone de pêche induit une forte variation de la taille du secteur de la pêche.

1.6. Régime de libre-accès Ce système caractérise l’évolution liée du secteur de la pêche et de la ressource. Le secteur de la pêche, dont l’état est E0 initialement, croît pendant les périodes où la pêcherie est rentable, et inversement. La ressource, dont l’état est x0 initialement, croît pendant les périodes où l’effort de pêche est faible, et inversement.

1.6. Régime de libre-accès En substituant : RN = (p q x – c) E, F(x) = r x (1 – x/K), le système dynamique (S) s’écrit : ΔE = a (p q x – c) E, E(0) = E0, Δx = (r (1 – x/K) – q E) x, x(0) = x0.

1.6. Régime de libre accès Une solution de (S) est la donnée de deux fonctions E(t) et x(t), vérifiant les deux lois d’évolution, pour tout t, et les conditions initiales. On peut la caractériser, en construisant, dans le plan (O, E, x), un diagramme des phases. Il s’agit d’une figure donnant le déplacement de l’état (E, x) en tout point.

1.6.1. Diagramme des phases (Isocline ΔE = 0) La loi d’évolution de l’effort de pêche est : ΔE = a (p q x – c) E. Soit x* = c/(p q), la valeur de x qui annule le terme entre parenthèses. Il s’ensuit que : x < x*, < 0, Si x = x*, alors ΔE = 0, x > x*, > 0. On a aussi ΔE = 0 pour E = 0. Cet équilibre n’a aucun intérêt analytique. Il signifie seulement que le secteur de la pêche n’existe pas.

1.6.1. Diagramme des phases (Isocline ΔE = 0) La var° ΔE de l’effort de pêche augmente avec x (plus la ressource est abondante, plus le revenu net est grand). On sait que ΔE = 0 quand l’état de la ressource est x* = c/(p q). x ΔE > 0 ΔE = 0 c/(p q) ΔE < 0 E

1.6.2. Diagramme des phases (Isocline Δx = 0) La loi d’évolution de la ressource est : Δx = (r (1 – x/K) – q E) x. Le terme entre parenthèses est nul le long de la droite d’équation x = (1 – (q/r) E) K. Il s’ensuit que : x < (1 – (q/r) E) K, < 0, Si x = (1 – (q/r) E) K, alors Δx = 0, x > (1 – (q/r) E) K, > 0. On a aussi Δx = 0 pour x = 0. Cet équilibre n’a aucun intérêt analytique. Il signifie seulement que la population n’existe pas.

1.6.2. Diagramme des phases (Isocline ΔE = 0) La var° Δx de la ressource diminue avec E (plus l’effort de pêche croît, plus le prélèvement augmente). On sait que Δx = 0 le long de la droite d’équation x = (1 – (q/r) E) K. x K Δx = 0 Δx < 0 Δx > 0 r/q E

1.6.3. Diagramme des phases On superpose maintenant, sur une même figure, les 2 isoclines ΔE = 0 et Δx = 0. Elles découpent le plan (O, E, x) en 4 régions, autour de leur point d’intersection A*. Dans chaque région, on connaît les signes de ΔE et Δx. On représente cette information sous la forme de flèches, appelés vecteurs gradients.

1.6.3. Diagramme des phases (E et x) Une solution du système est une trajectoire passant par l’état initial A0 = (E0, x0) et, en tout point (E, x), tangente au vecteur gradient (ΔE, Δx) associé au point (E, x). x K Δx = 0 ΔE = 0 c/(p q) A* x x A0 r/q E

1.6.3. Diagramme des phases Le point d’intersection A* = (E*, x*) des frontières ΔE = 0 et Δx = 0 est appelé l’équilibre bio-économique du système. On calcule facilement : E* = (r/q) [1 – c/(p q K)], x* = c/(p q).

1.6.4. Trajectoires possibles Dans le cas général, trois types de trajectoires sont possibles : x A* x A* x A0 x A* x A0 x A0 Dynamique amortie Dynamique cyclique Dynamique explosive

1.6.4. Trajectoires possibles Pour le cas où F(x) suit une loi logistique, on montre que la dynamique est amortie. Théorème : Si F(x) = r x (1 – x/K), on a une dynamique amortie. Donc, quel que soit l’état initial A0 = (E0, x0), la solution de (S) tend vers l’équilibre bio-économique A* = (E*, x*).

1.6.5. Illustrations numériques Cette figure est réalisée avec le logiciel SW 5.5, en spécifiant : c = 1/2 et p = q = r = K = 1.

1.6.5. Illustrations numériques Cas de la pêche aux harengs en mer du Nord, sur la période 1963-1977 (Bjorndal et Conrad, 1987, CJE).

1.7. Régulation du secteur de la pêche On suppose maintenant que l’accès à la zone de pêche est sous la juridiction d’une autorité de régulation, pouvant utiliser différents instruments (normes, licences, quotas, taxes, marché, etc.). Sauf traité international, ce régime n’est applicable qu’à l’intérieur de la Z.E.E. sous la juridiction de l’autorité de régulation.

1.7. Régulation du secteur de la pêche En utilisant ces instruments, l’autorité de régulation modifie l’évolution de effort de la pêche à travers le temps, soit directement, s’il agit sur les inputs, (normes, licences), soit indirectement, s’il agit sur les outputs (quotas, taxes, marché).

1.7.1. Régulation des inputs Supposons que le régulateur parvienne à maintenir indéfiniment un niveau donné d’effort de pêche, que nous notons E. La dynamique de la population de poissons est alors décrite par le système dynamique : Δx = F(x) – h, x(0) = x0, avec : F(x) = r x (1 – x/K) et h = q E x.

1.7.1. Régulation des inputs On a : h = q E x F(x) Δx <, = ou > 0, selon que : F(x) <, = ou > h. L’éq. de la population est x, obtenu à l’intersection entre F(x) et h = q E x. Cet équilibre est localement stable. F(x) h = q E x F(x) Remarque : On suppose que E < r/q. Sinon, sachant que F’(0) = r et F’’(x) < 0, le rayon h = q E x est toujours au-dessus de F(x). x x

1.7.1. Régulation des inputs Théorème : Quel que soit l’état initial x0 de la ressource, en maintenant indéfiniment un effort de pêche E, l’état de la ressource, à long terme, vérifie : Δx = (r (1 – x/K) – q E) x = 0, et est égal à : x = (1 – (q/r) E) K.

1.7.2. Régulation des outputs Supposons que le régulateur parvienne à maintenir indéfiniment un niveau donné de prélèvement, que nous notons h. La dynamique de la population de poissons est alors décrite par le système dynamique : Δx = F(x) – h, x(0) = x0, avec : F(x) = r x (1 – x/K).

1.7.2. Régulation des outputs On a : Δx <, = ou > 0, selon que : F(x) <, = ou > h. On a trois équilibres stationnaires : 0, x, ou X. Seuls les équilibres x = 0 et x = X sont localement stables. F(x) h F(x) Remarque : on suppose que h < maxx F(x). x X x

1.7.2. Régulation des outputs Théorème : Considérons un prélèvement h, maintenu indéfiniment, tel que l’équation F(x) = h admette 2 solutions x et X, avec x < X. Selon l’état initial x0, à long terme, l’état de la ressource est : x0 < x, 0, Si x0 = x, x = x, x0 > x, X.

1.8. Modèle Gordon-Schaefer Le modèle Gordon-Schaefer sert à étudier les conséquences à long terme du choix d’un niveau d’effort de pêche E quelconque, maintenu indéfiniment. On néglige donc la dynamique de transition de la ressource, entre l’état initial et l’équilibre, associé à l’effort de pêche E, pour se situer d’emblée en ce dernier. On rappelle que h = q E x.

1.8. Modèle Gordon-Schaefer Pour tout niveau d’effort E maintenu indéfiniment, on sait que la pêcherie rejoint, à long terme, un état tel que : Δx = F(x) – h = 0, où l’état de la ressource est égal à : x = (1 – (q/r) E) K.

1.8. Modèle Gordon-Schaefer Donc, à long terme (c.-à-d., pour Δx = 0), la recette tot. du secteur de la pêche sera : RT = p h, = p q E x, = p q K (1 – (q/r) E) E.

1.8. Modèle Gordon-Schaefer On déduit du revenu total RT : La recette moyenne, noté RM (c.-à-d., le recette par unité d’effort) : RM = RT/E = p q K (1 – (q/r) E) ; La recette marginale, noté Rm (c.-à-d., le recette de la dernière unité d’effort) : Rm =  RT/ E = p q K (1 – 2 (q/r) E).

1.8. Modèle Gordon-Schaefer Pour la représentation graphique, complétons le tableau suivant : E 0 r/(2 q) r/q RT 0 p r K/4 0 RM p q K - 0 Rm p q K 0 -

1.8. Modèle Gordon-Schaefer On trace ici les courbes représentant RT, RM et Rm. Notons le lien entre ces courbes : RT est maximum quand Rm = 0 ; RM = 0 implique RT = 0. € RT prK/4 pqK RM Rm Remarque : Selon le cas, on peut avoir p q K < p r K/4 (comme c’est le cas ici), ou l’inverse. r/2q r/q E

1.8.1. Le prélèvement maximum soutenable On atteint la situation de prélèvement maximum soutenable (PMS) lorsque les deux propriétés suivantes sont réunies : L’état de la ressource est stationnaire (c.-à-d., Δx = 0) ; Le recette totale du secteur de la pêche est maximale.

1.8.1. Le prélèvement maximum soutenable La situation de PMS s’obtient pour un effort de pêche EPMS tel que : RT est maximum ; Rm = 0. € RT p hPMS Rm EPMS r/q E

1.8.1. Le prélèvement maximum soutenable On calcule l’état de PMS en trouvant la valeur E tel que Rm = 0, que l’on note EPMS. On en déduit : EPMS = r/(2 q) ; xPMS = K/2 ; hPMS = r K/4.

1.8.2. L’équilibre bio-économique L’équilibre bio-économique est la réunion de deux propriétés : L’état de la ressource est stationnaire (c.-à-d., Δx = 0) ; Le revenu net du secteur de la pêche est nul (car alors, ΔE = 0). Remarque : on se souvient que RN = 0 est la condition pour que l’effort de pêche soit stationnaire.

1.8.2. L’équilibre bio-économique On calcule l’équilibre bio-économique en trouvant la valeur E telle que RT = CT, que l’on note E*. On en déduit : E* = (r/q) [1 – c/(p q K)] ; x* = c/(p q) ; h* = r [1 – c/(p q K)] [c/(p q)] . Remarque : de façon équivalente, E s’obtient aussi comme la solution de RM = CM.

1.8.2. L’équilibre bio-économique Sur la figure, on trace la courbe de CT et de CM. L’éq. bio-économique s’obtient à l’intersection : de RT et CT ; de RM et CM. € RT CT pqK RM CM E* q/r E

1.8.2. L’équilibre bio-économique La valeur du coût unitaire c détermine la position de l’équilibre bio-économique par rapport à la situation de PMS : c < p q K/2, E* > EPMS, Si c = p q K/2, alors E* = EPMS, c > p q K/2, E* < EPMS. Dans le 1-ier cas, on parle surexploitation biologique de la pêcherie.

1.8.3. L’état optimal L’état optimal de la pêcherie est la réunion des deux propriétés : L’état de la ressource est stationnaire (c’est-à-dire Δx = 0) ; Le revenu net du secteur de la pêche est maximum.

1.8.3. L’état optimal On trouve l’état optimal : au point de tangence entre la parallèle à CT tangente à RT ; au point d’intersection entre Rm et Cm. € RT CT pqK Rm Cm E° r/q E

1.8.3. L’état optimal On calcule l’état optimal en trouvant la valeur E telle que Rm = Cm, que l’on note E°. On en déduit : E° = [r/(2 q)] [1 – c/(p q K)] ; x° = [1 + c/(p q K)] K/2 ; h° = {1 – [c/(p q K)]²} r K/4. Remarque : de façon équivalente, E s’obtient aussi comme la solution de RM = CM.

1.9. Instruments de régulation des pêcheries La gamme des instruments à disposition du régulateur pour gérer un pêcherie est large (normes techniques ; licences ; quotas agrégés ; taxes ; quotas individuels transférables).

1.9.1. Normes techniques Les pêcheurs doivent respecter : des moratoire sur certaines espèces ; des dates d’ouverture et de fermeture de la saison de pêche ; une taille minimale des prises. Certaines techniques sont interdites : l’utilisation de filets dérivants.

1.9.2. Licences Pour exercer, un pêcheur doit posséder une licence. Le nombre de licences en circulation fixe un plafond pour l’effort de pêche. Si les licences sont payantes, cette pratique augmente aussi le coût unitaire de l’effort de pêche.

1.9.2. Licences L’effort de pêche, étant par nature multidimensionnel (bateaux, équipement électronique, puissance, main-d’œuvre, etc.), il est impossible, en pratique, de contrôler l’effort de pêche effectif. Par ex., on contrôle la taille de la flotte (nombre de bateaux), pas sa productivité, fonction de facteurs invérifiables.

1.9.2. Licences Un contrôle incomplet de l’effort de pêche incite les pêcheurs à accroître leur productivité, en investissant dans les déterminants non vérifiables de l’effort de pêche. On observe alors une situation où la pêcherie reste surexploitée et où, en outre, la flotte est suréquipée.

1.9.2. Licences En supposant qu’on peut contrôler parfaitement l’effort de pêche, on peut aussi rendre la licence payante et en délivrer autant qu’il y a de pêcheurs désireux d’en acheter. C’est alors le prix de la licence, noté P, qui, en accroissant le coût de l’effort de pêche, va permettre une meilleure gestion de la pêcherie.

1.9.2. Licences CT ’ Si le prix de la licence, noté P, est fixé adroitement, alors la nouvelle courbe de coût total, représentant CT ’ = (c + P) E, est sécante avec la courbe représentant RT au point d’abscisse E°. C’est le nouvel éq. Bio-écon. ; il est optimal. € RT CT E° q/r E

1.9.3. Taxes Chaque pêcheur doit payer une taxe unitaire, notée t, sur le poisson débarqué. La recette nette devient donc : RT = (p – t) q K (1 – (q/r) E) E. Ceci revient au même, donc, que la situation où le prix du poisson serait p’ = p – t, au lieu de p.

1.9.3. Taxes Si la taxe t est fixée adroitement, alors la nouvelle courbe de recette totale, représentant RT ’, est sécante avec la courbe représentant CT, au point d’abscisse E°. C’est le nouvel éq. bio-écon. ; il est optimal. € RT CT RT ‘ E° q/r E

1.9.4. Prélèvement maximum autorisé Le régulateur fixe, pour la saison de pêche, un prélèvement maximum autorisé, noté H. La saison est déclarée fermée lorsque le secteur de la pêche a prélevé H. La pratique a montré que ce système avait deux effets indésirables : Suréquipement du secteur de la pêche ; Raccourcissement de la saison de pêche.

1.9.5. Quotas individuels transférables Le régulateur fixe, pour la saison de pêche, un prélèvement maximum autorisé, noté H. Le quota est alloué aux pêcheurs sous forme de quotas individuels transférables. Chaque pêcheur i reçoit donc hi. Les quotas de pêche individuels sont librement échangeables entre les pêcheurs.

1.9.5. Quotas individuels transférables On peut montrer que ce système permet de réaliser l’état optimal, sous la forme d’un équilibre du marché des quotas de pêche individuels. Il est aujourd’hui très largement utilisé (Australie, Nouvelle-Zélande, etc.). Il a fait la preuve de son efficacité, malgré certains inconvénients.